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我們在第一冊已經學過數線,知道數線上任意一點都可以用一個數來表示它的位置,也就是說,數線上的每一個點都有一個坐標,所以數線也稱為直線坐標系。 - PowerPoint PPT Presentation


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我們在第一冊已經學過數線,知道數線上任意一點都可以用一個數來表示它的位置,也就是說,數線上的每一個點都有一個坐標,所以數線也稱為直線坐標系。. 我們可以用類似國小學過的平面坐標表示法,來表示平面上點的位置。例如:以 臺北市 忠孝東、西路與中山南、北路的交叉路口為中心點,如圖 ( 一 ) 所示,如果把中心點以東當作正向,那麼中心點以西即為負向;同理,把中心點以北當作正向,那麼中心點以南即為負向,如圖 ( 二 ) 所示。.

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Presentation Transcript



  • 像前面的圖我們可以用類似國小學過的平面坐標表示法,來表示平面上點的位置。例如:以(二)一樣,在平面上畫出兩條互相垂直且有共同原點 O 的數線,我們把這兩條數線所在的平面稱為直角坐標平面,簡稱為坐標平面;水平的數線稱為 x 軸,以 x 軸上箭頭的方向(向右)為正向,反方向(向左)為負向;鉛垂的數線稱為 y 軸,以 y 軸上箭頭的方向(向上)為正向,反方向(向下)為負向。x 軸和 y 軸也稱為坐標軸,x 軸與 y 軸的交點稱為這個直角坐標平面的原點,通常以英文字母 O 表示,如下圖所示。


正向

正向

負向

負向


  • 我們在國小學過用 (a , b)來表示點在坐標平面上的位置,(a , b)這種含有一對(兩個)數的表示方式,稱為數對。

  • 在坐標平面上,從原點 O 出發,先沿著 x 軸的正向(向右)走 4 個單位,到達 P 點;再從 P 點開始,朝著 y 軸的正向(向上)走 3 個單位,到達 A 點,我們可以用數對(4 , 3)來表示 A 點的位置,如圖(三)。此時我們就說 A 點的坐標是(4 , 3),記作 A(4 , 3),其中 4 稱為 A 點的 x 坐標或橫坐標,3 稱為 A 點的 y 坐標或縱坐標。

  • 同樣的,從原點 O 出發,先沿著 x 軸的負向(向左)走 3 個單位,到達 Q點;再從 Q 點開始,朝著 y 軸的負向(向下)走 4 個單位,到達 B 點,則 B 點的坐標為(-3 , -4),記作 B(-3 , -4)。而原點 O 的坐標記作 O(0 , 0)。


y

P(m,n)

n

│m│

│n│

x

O

m

  • 當數對(m , n)表示 P 點的位置,(m , n)就稱為 P 點的坐標,記作P(m , n)。其中 m 稱為 P 點的 x 坐標或橫坐標,│m│為 P 點到y 軸的距離;n 稱為 P 點的 y 坐標或縱坐標,│n│為 P 點到 x軸的距離。


  • 如果數對 (2 , -1)表示 P 點的位置,那麼 P 點的 x 坐標是 ,y 坐標是 。P 點到 x 軸的距離是 ,P 點到 y 軸的距離 。

-1

2

1

2



  • 坐標平面上有 在坐標平面上,任意一點都可以找到一組數對來表示它。例如:下圖P、Q、R、S 四點,寫出它們的坐標。


  • 在坐標平面上,任意一點都可以找到一組數對來表示它。例如:下圖過 P 點作垂直 x 軸的直線,

  • 找到的 x 坐標為 2;

  • 再過 P 點作垂直 y 軸的直線,

  • 找到的 y 坐標為 3;

  • 則 P 點的坐標為(2 , 3)。

  • ⑵ 依此方法,Q 點的坐標為(-4 , 2);

  • R 點的坐標為(-3 , -1);

  • S 點的坐標為(3 , )。


( , 2)在坐標平面上,任意一點都可以找到一組數對來表示它。例如:下圖

  • 坐標平面上有 A、B、C、D 四點,則:

  • A 點的坐標是 。

  • B 點的坐標是 。

  • C 點的坐標是 。

  • D 點的坐標是 。

(2 , 1)

(-2 , -2)

(4 , -3)



  • 在坐標平面上標出下列各點。前面提到,在坐標平面上,任意一點都可以找到一組數對來表示它,同樣的,任意一組數對,都可以在坐標平面上找到一個點與它對應。

  • A(-3 , 4)B(4 , -2)C(,-3)

A(-3 , 4):x 坐標為-3,所以先從原點出發,沿著 x 軸的負向(向左)走3 個單位到 P 點;y 坐標 為 4,所以再從 P 點出發,沿著 y軸的正向 (向上)走 4 個單位,最後的位置就是 A 點。

B(4 , -2):x 坐標為 4,所以先從原點出發,沿著 x 軸 的正向(向右)走 4個單位到 Q 點;y 坐標為 -2,所以再從 Q 點出發,沿著 y軸的負向 (向下)走 2 個單位,最後的位置就是 B 點。


  • C前面提到,在坐標平面上,任意一點都可以找到一組數對來表示它,同樣的,任意一組數對,都可以在坐標平面上找到一個點與它對應。(,-3):先在 x 軸上找到 R(, 0),過 R 點作一 條垂直 x 軸的直線;接著在 y 軸上找到 S(0 , -3),過 S 點作一條垂直y軸的直 線;兩條直線相交的點就是C 點。


  • 前面提到,在坐標平面上,任意一點都可以找到一組數對來表示它,同樣的,任意一組數對,都可以在坐標平面上找到一個點與它對應。2 中,如果從原點出發,先向上走 4 個單位,再向左走 3 個單位,所找到的點是否也是 A 點?


  • 前面提到,在坐標平面上,任意一點都可以找到一組數對來表示它,同樣的,任意一組數對,都可以在坐標平面上找到一個點與它對應。在下面的方格紙上畫一坐標平面,並在平面上標出下列各點。

  • D(3 , -2)

  • E(, 2)

  • F(-3 , )

  • G(-2 , 3)

  • H(2 , 4)


  • 前面提到,在坐標平面上,任意一點都可以找到一組數對來表示它,同樣的,任意一組數對,都可以在坐標平面上找到一個點與它對應。承⑴,(3 , -2)與(-2 , 3)所表示的點是否相同?

從上圖中可以知道(3 , -2)與(-2 , 3)所表示的點不相同。


  • 由上面的隨堂練習⑵中可以知道:坐標前面提到,在坐標平面上,任意一點都可以找到一組數對來表示它,同樣的,任意一組數對,都可以在坐標平面上找到一個點與它對應。(3 , -2)與(-2 , 3)所表示的點不相同。事實上,當 m≠n 時,坐標(m , n)和坐標(n , m)所表示的點是不同的。


  • 在坐標平面上標出下列各點。前面提到,在坐標平面上,任意一點都可以找到一組數對來表示它,同樣的,任意一組數對,都可以在坐標平面上找到一個點與它對應。

  • A(3 , 0)B(-4 , 0)C(0 , 2)D(0 , -3)

A(3 , 0): y 坐標為 0,從原點出發,沿著 x 軸的正向 走3 個單位即可。

B(-4 , 0): y 坐標為 0,從原點出發,沿著 x 軸的負向 走 4 個單位即可。

C(0 , 2): x 坐標為 0,從原點出發,沿著 y 軸的正向 走2 個單位即可。

D(0 , -3):x 坐標為 0,從原點出發,沿著 y 軸的負向 走 3 個單位即可。


  • 由例 前面提到,在坐標平面上,任意一點都可以找到一組數對來表示它,同樣的,任意一組數對,都可以在坐標平面上找到一個點與它對應。3 可以知道: 坐標為(m , 0)的點都會在 x 軸上;

  • 坐標為(0 , n)的點都會在 y 軸上。

  • 相對地,x 軸上任意一點的坐標可以用(m , 0)的形式來表示;

  • y 軸上任意一點的坐標可以用(0 , n)的形式來表示。



  • 在下面的方格紙上畫一坐標平面,並在平面上標出下列各點。若從 A(0 , 6)出發,先向上移動 2 個單位,再向左移動 8 個單位,最後到達一點 B,則 B 點的坐標為何?

  • ⑵ 若從 C 點出發,先向右移動 6 個單位,再向下移動 3 個單位,最後到達一點 D(5 , -1),則 C 點的坐標為何?


  • 在下面的方格紙上畫一坐標平面,並在平面上標出下列各點。向上移動 2 個單位:y 坐標變為 6+2=8

  • 向左移動 8 個單位:x 坐標變為 0-8=-8

  • 所以 B 點的坐標變為(-8 , 8)


  • 在下面的方格紙上畫一坐標平面,並在平面上標出下列各點。由 D 點逆推回 C 點,需向上移動 3 個單位,再向左移動 6 個單位。

  • 向上移動 3 個單位:y 坐標變為-1+3=2

  • 向左移動 6 個單位:x 坐標變為 5-6=-1

  • 所以 C 點坐標

  • 為(-1 , 2)


  • 在下面的方格紙上畫一坐標平面,並在平面上標出下列各點。若從 P(-3 , 5)出發,先向下移動 4 個單位,再向左移 動 2 個單位,最後到達一點 Q,則 Q 點的坐標為何?

  • ⑵ 若從 R 點出發,先向上移動 5 個單位,再向左移動 5 個單位,最後到達一點 S(3 , -4),則 R 點的坐標為何?

Q(-3-2 , 5-4)=(-5 , 1)

R(3+5 , -4-5)=(8 , -9)


從圖中可以知道:在下面的方格紙上畫一坐標平面,並在平面上標出下列各點。

與 x 軸垂直,其交點的 x 坐標為-2,

與 y 軸垂直,其交點的 y 坐標為-1,

所以 B 點坐標為(-2 , -1);同理,D 點坐標為(2 , 3)。

  • 如右圖,四邊形 ABCD 為一個正方形,已知 A 點坐標為(-2 , 3),C 點

  • 坐標為(2 , -1),求 B、D 兩頂點的

  • 坐標。


  • 在下面的方格紙上畫一坐標平面,並在平面上標出下列各點。5 中,如果 P 點在 上,則 P 點的 x 坐標為何?如果 Q 點在 上,則 Q 點的 y 坐標為何?

P 點的 x 坐標為-2,Q 點的 y 坐標為-1。


  • 如右圖,圓 在下面的方格紙上畫一坐標平面,並在平面上標出下列各點。O 的半徑為 2,已知圓心 O 點坐標為(0 , 0),P、Q、R、S為圓 O 與兩軸的交點,其中 S 點坐標為(-2 , 0),求 P、Q、R 三點的坐標。

P 點坐標為(0 , 2)

Q 點坐標為(2 , 0)

R 點坐標為(0 , -2)


  • 在數線上,我們可以很清楚地看出原點 在下面的方格紙上畫一坐標平面,並在平面上標出下列各點。O把數線分成左、右兩邊,右邊的點,坐標都是正數,而左邊的點,坐標都是負數,如右圖。

  • 在坐標平面上,我們也可以看出 x 軸與 y 軸將坐標平面分成四個區域,我們把每個區域都稱為象限,從右上角開始,依逆時針方向順序,分別稱為第一象限、第二象限、第三象限、第四象限,如圖5。而兩坐標軸是它們的界線,坐標軸上的點不屬於任何一個象限。


  • 由圖在下面的方格紙上畫一坐標平面,並在平面上標出下列各點。(五)我們發現:

  • 1. 第一象限內任意一點的 x 坐標與 y 坐標都是正數;

  • 反過來說,當一個點的 x 坐標、y 坐標都是正數時,此點必 在第一象限內。

  • 2. 第二象限內任意一點的 x 坐標都是負數,y 坐標都是正數;

  • 反過來說,當一個點的 x 坐標是負數,y 坐標是正數時,此 點必在第二象限內。

  • 3. 第三象限內任意一點的 x 坐標與 y 坐標都是負數;

  • 反過來說,當一個點的 x 坐標、y 坐標都是負數時,此點必 在第三象限內。

  • 4. 第四象限內任意一點的 x 坐標都是正數,y 坐標都是負數;

  • 反過來說,當一個點的 x 坐標是正數,y 坐標是負數時,此 點必在第四象限內。


  • 5. 在下面的方格紙上畫一坐標平面,並在平面上標出下列各點。x 軸上任意一點的 y 坐標都是 0;

  • 反過來說,當一個點的 y 坐標是 0 時,此點必在 x 軸上。

  • 6. y 軸上任意一點的 x 坐標都是 0;

  • 反過來說,當一個點的 x 坐標是 0 時,此點必在 y 軸上。

如圖所示,其中(+ , +)代表 x 坐標、y 坐標都是正數,而(- , -)代表 x 坐標、y 坐標都是負數。


A 點坐標的性質符號為(- , +),故 A 點在第二象限內。

B 點坐標的性質符號為(+ , -),故 B 點在第四象限內。

C 點坐標的性質符號為(+ , +),故 C 點在第一象限內。

D 點坐標的性質符號為(- , -),故 D 點在第三象限內。

E 點的 y 坐標是 0,故 E 點在 x 軸上。

F 點的 x 坐標是 0,故 F 點在 y 軸上。



  • 已知 下列各點分別在哪一象限內或在哪一坐標軸上?A(s , t)在第二象限內,則:

  • ⑴ s 是正數或負數?t 是正數或負數?

  • ⑵ B(t ,|s|)、C(-s , )、D(st , -t2)分別在哪一象限內?


  • 下列各點分別在哪一象限內或在哪一坐標軸上?A 點在第二象限內,所以 A 點坐標的性質符號為

  • (- ,+),故 s 為負數,t 為正數。

  • ⑵ 因為 t 為正數,│s│為正數,

  • 所以 B 點坐標的性質符號為(+ , +),

  • 故 B 點在第一象限內。

  • 因為-s 為正數, 為負數,

  • 所以 C 點坐標的性質符號為(+ , -),

  • 故 C 點在第四象限內。

  • 因為 st 為負數,-t2為負數,

  • 所以 D 點坐標的性質符號為(- , -),

  • 故 D 點在第三象限內。


  • 已知 下列各點分別在哪一象限內或在哪一坐標軸上?P(a , b)在第三象限內,則 Q(-a ,|b|)、R(b2 , a)分別在哪一象限內?

P 點在第三象限內,所以 P 點坐標的性質符號為(- , -)

故 a 為負數,b 為負數。

Q(-a ,|b|)的性質符號為(+ , +),故 Q 點在第一象限內;R(b2 , a)的性質符號為(+ , -),故 R 點在第四象限內。



  • 下列各點分別在哪一象限內或在哪一坐標軸上?如果數對(m , n)表示 P 點的位置,(m , n)就稱為 P 點的坐標,記作P(m , n)。其中 m 稱為 P 點的 x 坐標或橫坐標,│m│為 P 點到 y 軸的距離;n 稱為 P 點的 y 坐標或縱坐標,│n│為 P 點到 x 軸的距離。

  • 例 (-3 , 2)表示 A 點坐標,其中-3 為 A 點的 x 坐標,2 為 A 點的 y 坐標。A 點到 x 軸的距離是 2,到 y 軸的距離是 3。

  • ⑵ 當 m≠n 時,坐標(m , n)和(n , m)所表示的點不同。

  • 例 (1 , -2)和(-2 , 1)所表示的點不同。


  • 下列各點分別在哪一象限內或在哪一坐標軸上?坐標為(m , 0)的點都會在 x 軸上;x 軸上任意一點的坐標可以用(m , 0)的形式來表示。

  • 例 (0.3 , 0)、(-5 , 0)、(, 0)都是 x 軸上的點。

  • ⑵ 坐標為(0 , n)的點都會在 y 軸上;y 軸上任意一點的坐標可以用(0 , n)的形式來表示。

  • 例 (0 , 7)、(0 , -2.4)、(0 , )都是 y 軸上的點。


  • 下列各點分別在哪一象限內或在哪一坐標軸上?x 軸和 y 軸將坐標平面分成四個象限。

  • ⑵ 坐標軸上的點不屬於任何一個象限。



  • 下列各點分別在哪一象限內或在哪一坐標軸上?在下表中填入 x 軸上各點的坐標。

  • ⑶ 在下表中填入 y 軸上各點的坐標。



  • 在方格紙上畫一坐標平面,並在平面上標出下列各點。若從 P(-1 , 3)出發,先向上移動 2 個單位,再向左移動 2 個單位,最後到達一點 Q,則 Q 點的坐標為何?

  • ⑵ 若從 R 點出發,先向下移動 4 個單位,再向左移動 5 個單位,最後也到達點 Q,則 R 點的坐標為何?

Q(-1-2 , 3+2)=(-3 , 5)

R(-3+5 , 5+4)=(2 , 9)



A下列各點分別在哪一象限內或在哪一坐標軸上?(, )的性質符號為(- , +),故 A 點在第二象限內;

B(-t2 , st)的性質符號為(- , -),故 B 點在第三象限內。

  • 如果 s>0,t<0,則 A(,)、B(-t2 , st)分別在哪一象限內?


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