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第三章迭代法

第三章迭代法. §3.1 二分法 §3.2 迭代法原理 §3.3 Newton 迭代法和迭代加速 §3.4 解线性方程组的迭代法. §3.1 二分法. 根的估计 二分法. 根的估计. 引理 3.1 （ 连续函数的介值定理 ） 设 f(x) 在 [a,b] 上连续，且 f(a)f(b)<0 ，则存在 x* (a,b) 使 f(x*)=0 。 例 3.1 证明 x 3  3 x  1 = 0 有且仅有 3 个实根，并确定根的大致位置使误差不超过  =0.5 。 解 : 单调性分析和解的位置 选步长 h=2 , 扫描节点函数值

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第三章迭代法

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  1. 第三章迭代法 §3.1 二分法 §3.2 迭代法原理 §3.3 Newton迭代法和迭代加速 §3.4 解线性方程组的迭代法

  2. §3.1 二分法 • 根的估计 • 二分法

  3. 根的估计 • 引理3.1（连续函数的介值定理） 设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则存在x*(a,b)使f(x*)=0。 • 例3.1 证明x33x1 = 0 有且仅有3个实根，并确定根的大致位置使误差不超过=0.5。 解: • 单调性分析和解的位置 • 选步长h=2, 扫描节点函数值 • 异号区间内有根

  4. f(x)= x33x1

  5. 二分法(更快的扫描法) • 条件: 设f(x)在[a,b]上连续，f(x)=0在[a,b]上存在唯一解，且f(a)f(b)<0。记 Step 1: If f(a0)f(x0)<0, then x*(a0,x0) let a1=a0, b1=x0; Else x*(x0,b0) let a1=x0, b1=b0; Let x1=(a1+b1)/2. Step k: If f(ak-1)f(xk-1)<0, then x*(ak-1,xk-1) let ak=ak-1, bk=xk-1; Else x*(xk-1,bk-1) let ak=xk-1, bk=bk-1; Let xk=(ak+bk)/2. 收敛性及截断误差分析:

  6. 例3.2 x33x1 = 0, [1,2], 精度0.5e-1

  7. 二分法 • 优点 • 算法简单 • 收敛有保证 • 只要f(x)连续 • 缺点 • 对区间两端点选取条件苛刻 • 收敛速度慢 • 难以推广至多维情形

  8. §3.2 迭代法原理 • 迭代法的思想 • 不动点原理 • 局部收敛性 • 收敛性的阶

  9. 迭代法的思想 • 条件: f(x)=0 在x0附近有且仅有一个根 • 设计同解变形 x=g(x) • 迭代式 xk=g(xk-1), k=1,2,… • 如果收敛 xkx*, 则x*是f(x)=0 的根

  10. 不动点原理(迭代过程收敛) 后验估计 先验估计 • 定理3.1 (不动点原理) 设映射g(x)在[a,b]上有连续的一阶导数且满足 1o封闭性：x  [a,b], g(x)  [a,b] , 2o压缩性： L (0,1)使对x  [a,b], |g'(x)|L, 则在[a,b]上存在唯一的不动点x*，且对x0  [a,b], xk=g(xk-1)收敛于x* 。进一步，有误差估计式 算法设计中迭代结束条件: 近似使用|xk-xk-1|<

  11. 不动点原理 • 例3.3 x3x1 = 0 ，[1,2], x0=1.5,

  12. 不动点原理 证明步骤 解的存在性; 解的唯一性; 解的收敛性; 误差估计式。

  13. 局部收敛性(格式收敛) • 定理3.2 （局部收敛性）设g’(x)连续, 则存在充分靠近x*的初值，使迭代收敛于x*。 • 证明：利用定理3.1,取L= • 具有局部收敛性的迭代计算上不一定收敛，它是否收敛还要看初值是否取的恰当； • 而不具有局部收敛性的迭代对任何初值都不可能收敛。 应用中: 近似使用|g'(x0)|<1判断

  14. 收敛性的阶(局部收敛速度) • 定义3.1 当xkx*，记ek= x* - xk，若存在实数p，使 ek+1/epk  c0， 则称{xk}有p阶收敛速度。 • 线性收敛 p=1 • 平方收敛 p=2

  15. 收敛性的阶(局部收敛速度) • 定理3.3 设xk=g(xk-1)  x*，则 • (1) 当g'(x*)0时，{xk}线性收敛； • (2) 当g'(x*)=0,而g''(x*) 0时，{xk}平方收敛。 • 证明(2)

  16. 3.3 Newton迭代法和迭代加速 • 牛顿(Newton)迭代法 • “迭代－加速”技术（略）

  17. 牛顿(Newton)迭代法 • 原理(1次近似, 直线代替曲线) • 牛顿格式

  18. Newton法几何意义：切线法 切线代替曲线

  19. Newton法局部收敛性 • 单根：平方收敛 • m重根：线性收敛, f(x)=(x-x*)mq(x), q(x*)0, • 例3.5 （P56) • Newton迭代法，计算3次达到4位有效数字 • 计算4次达到4位有效数字 • 越是精度要求高, Newton迭代法优势越明显

  20. “迭代－加速”技术(略) • 加快迭代过程的收敛速度 • 将发散的迭代格式加工成收敛的 • 若g’(x)在x*附近大约为D, 改进xk= g(xk-1)为 • 例3.6 （P57)

  21. §4 解线性方程组的迭代法 1 迭代思想 2 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代 3 迭代的收敛性 4 迭代加速——逐次超松弛（SOR）法

  22. 1 迭代思想 • 解大型稀疏型方程组比直接法存储量小 • 条件: Ax=b 解存在唯一 • 设计同解变形 x=Gx+f • 迭代式 x(k)=Gx(k-1)+f, k=1,2,… • 取初值x(0)，如果收敛 x(k)x*, 则x*是Ax=b的解 • x(k)x*

  23. 2 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代 • 例3.7 • 解：变形

  24. Jacobi迭代 • Jacobi迭代 • 初值取 ，精度要求=10-3。 • 计算得 ||x(6) x(5)||10-3.

  25. Gauss-Seidel迭代 • Gauss-Seidel迭代 • 初值取 ，精度要求=10-3。 • 计算得 ||x(5) x(4)||10-3.

  26. 编程计算公式 • Jacobi迭代 • Gauss-Seidel迭代 • 迭代结束条件一般用 ||x(k) x(k-1)|| • 问题(1)收敛性条件? (2) ||x(k) x(k-1)||作为结束条件是否可靠?

  27. 计算公式矩阵形式 • 和分解： • A=L(下三角)+D (对角) +U (上三角) • 迭代 • x(k)= Gx(k-1) + f, k=1,2,… • Jacobi迭代 • G = -D-1(L+U) = I-D-1A • f = D-1 b • Gauss-Seidel迭代 • G = - (L+D)-1 U • f = (L+D)-1 b

  28. 3 迭代的收敛性 • 定理3.4 设G的某种范数||G||<1，则x=Gx+f存在唯一解，且对任意初值，迭代序列 x(k)= Gx(k-1) + f 收敛于x*，进一步有误差估计式 • 证明思路：(1)解的存在唯一性; (2)解的收敛性;(3)误差估计式(习题)。

  29. 直接从Ax=b判断 • 推论 若A按行严格对角占优（ ），则解Ax=b的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代均收敛。 • 证明思路：用定理3.4. A严格对角占优， 则无穷大范数 ||G||<1 • Jacobi迭代G = -D-1(L+U) (直接证||G||<1) • Gauss-Seidel迭代, 令 ， • 先证存在某x, ||x|| =1, 使||Ĝ|| =||y|| • 再证当||x|| =1, 有||y|| <1

  30. Jacobi迭代(直接证||G||<1) • G = -D-1(L+U)

  31. Gauss-Seidel迭代收敛性证明 记迭代矩阵 存在m, 令 那么 且

  32. Gauss-Seidel迭代收敛性证明 记 ，其中迭代矩阵 那么 存在k使得 所以

  33. 充分必要条件 • 谱半径(G)：G的特征值模的最大值 • 定理3. 5 迭代x(k)= Gx(k-1) + f对任意初值收敛(G)<1. （证明较深，略）

  34. 三种方法比较 • 方法一(推论): 从A判断, A严格对角占优，则Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代收敛, 充分条件, 最方便 • 方法二(定理3.4): 从G判断, 有一种范数||G||<1, 充分条件 • 方法三(定理3.5): 从G判断,谱半径(G) <1, 充要条件, 最宽 • P63, 例3.8（特征值的性质：特征值之和等于对角线元素的和）

  35. 4 逐次超松弛（SOR）法 • Gauss-Seidel迭代格式的加速 • 收敛的必要条件0<<2 • 低松弛法 0<<1 • =1, Gauss-Seidel迭代 • 超松弛法 1<<2 • P66 例3.9

  36. P70习题 • ex1 • ex2,ex3 • ex5,ex6 • ex9,ex10,ex11(2) • ex13

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