Бугайова Ніна Федорівна

1. Початкові відомості зі стереометрії. 9 клас Бугайова Ніна Федорівна Чигиринський НВК “Дошкільний заклад – спеціалізована школа І-ІІІ ступенів №2

2. При вивченні теми ми: • Розглянемо взаємне розміщення у просторі прямих і площин; • Познайомимось з просторовими фігурами, їх елементами, поняттями поверхні та об’єму; • Навчимося зображати та знаходити на малюнках многогранники і тіла обертання та їх елементи.

3. ПЛАН • Взаємне розміщення прямих у просторі. • Взаємне розміщення прямої та площини і площин у просторі. Перпендикуляр до площини. • Пряма призма. Площа поверхні та об’єм призми. • Піраміда. Площа поверхні та об’єм піраміди. • Тіла обертання. Циліндр. Площа поверхні та об’єм циліндра. • Конус. Площа поверхні та об’єм конуса. • Куля. Площа поверхні та об’єм кулі. • Історична довідка.

4. Основні геометричні фігури

5. Аксіоми стереометрії

6. Взаємне розміщення двох прямих у просторі

7. Задача. Доведіть, що через пряму і точку, яка їй не належить, можна провести площину.

8. Взаємне розміщення двох площин

9. Взаємне розміщення прямої і площини

10. Пряма, перпендикулярна до площини

11. Задача.Виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 1см, 2см, 2см. Знайдіть відстань від однієї із вершин прямокутногопаралелепіпеда до інших його вершин. Дано:ABCDA1B1C1D1 – прямокутний пералелепіпед. AB=BC=2см, BB1=1см. Знайдіть: BB1, B1A1, B1C1, B1D1, B1C, B1D, B1A. Розв’язання BB1=1см, A1B1=B1C1=2см B1D1=√ B1C1²+ C1D²=√4+4=2√2 (см) B1A= B1C=√1²+2²=√5 (см) B1D=√ B1²D1²+DD1²=√8+1=3 (см) Відповідь: 2см, 1см, 2√2см, √5см, 3см.

12. Многогранником називається геометричне тіло (частина простору), обмежена скінченною кількістю плоских многокутників. Многокутники які обмежують многогранник називають його гранями, їх сторони – ребрами, а вершини – вершинами многогранника. Гранями є многокутники ABC, A1B1C1, ABB1A1, BB1C1C, AACC; ребрами – сторони AC, BC, AB, AA1, BB1, CC1, A1B1, A1C1, B1C1; вершинами – точки A, B, C, A1, B1, C1.

13. n-кутна призма – многогранник, дві грані якого – рівні n-кутники з відповідно паралельними сторонами, а всі інші грані – паралелограми. ABCD і A1B1C1D1 – основи; AA1, BB1, CC1, DD1 – бічні ребра; AB, BC, CD, AD, A1B1, B1C1, C1D1, A1D1 – ребра основи. Призма

14. Площа бічної поверхні прямої призми: Sбічне=P*h, де P – периметр основи. Sповне=Sбічне+2Sосн Об`єм призми прямої: V=Sосн*h Пряма призма – якщо бічні ребра перпендикулярні до основи. AA1=h.Правильна призма – це пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник.

15. Дано:ABCA1B1C1 – пряма призма ∆ACB – прямокутний, кут C=90º AC=3см, CB=4см, АА1=5см Знайти: Sповн; Vпризми - ? Задача. Основа прямої призми – прямокутний трикутник з катетами 3см і 4см, а бічне ребро дорівнює 5см. Знайдіть площу повної поверхні і об`єм призми. Розв’язання З ∆ACB за теоремою Піфагора AB²=AC²+CB²; AB=√3²+4²=5 (см) Sбічн=P*h=(3+4+5)*5=60 (см²) Sосн=1/2AC*CB=1/2*3*4=6 (см²) Sповн=60+2*6=72 (см²) Vпризми= Sосн∙h=6*5=30 (см³) Відповідь: 72см², 30см³

16. Задача. Скирда сіна має форму прямої призми з п`ятикутною основою. Розміри скирди (у метрах) подано на рисунку. Знайдіть об`єм скирди та масу сіна в скирті, якщо густина сіна дорівнює 0,03 т/м³. (Відповідь: 19,8 т.)

17. P – вершина піраміди; ABCD – основа піраміди; ∆PAB, ∆PBC, ∆PCD, ∆PDA – бічні грані; PA, PB, PC, PD – бічні ребра; AB, BC, CD, AD – ребра основи; PO – висота, PO┴ABCD. Пірамідаn- кутна піраміда – це многогранник, одна грань якого – довільний n-кутник, а всі інші – n граней трикутники, що мають спільну вершину.

18. Основа правильної піраміди – правильний многокутник, а основа висоти – центр многокутника. PF – апофема (висота бічної грані проведена з її вершини, наз. апофемою), PF┴DC. Sпір=Sосн+Sбіч Площа бічної поверхні правильної піраміди Sбіч=m*p, де m – апофема, p – півпериметр основи. Об`єм піраміди: V=⅓Sосн*H

19. Дано: PABCD – правильна піраміда. ABCD – квадрат, AB=16см, PD=10см Знайти: Sпов. Задача. Знайдіть площу повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює 16см, а бічне ребро 10см. Розв’язання Sповне=Sбічне+Sосн SABCD=AB²=16²=256 (см²) PO – висота, PK – апофема. DK=KC=8см; ∆PDK – прямокутний. З ∆PDK за теоремою Піфагора: PK²=PD²-DK², PK=√10²-8²=√36=6 (см) Sбіч=m*p, Sбіч=6*((16∙4)/2)=6*32=192 (см²) Sповне=256+192=448 (см²) Відповідь: 448 см²

20. Дано: PABCD – піраміда, ABCD – прямокутник, AB=3см, AD=5см, PO – висота, PO=10см Знайдіть: Vпір - ? Задача. Основа піраміди – прямокутник зі сторонами 3см 5см. Висота піраміди 10см. Знайдіть об`єм піраміди. Розв’язання V=⅓Sосн*Н SABCD=AB∙AD=3*5=15 (см²) H=PO=10см Vпір=⅓Sосн*Н=⅓*15*10=50 (см²) Відповідь: 50см²

21. Прямим круговим циліндром називається тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони. O1A і OB – радіуси, AB – твірна AB=ОО1 – висота, ОО1 – вісь. Площа поверхні циліндра: Sцил=Sбіч+2Sосн, де Sбіч=2πRH, Sосн=πR² Об`єм циліндра: V=SоснH; V=πR²H. Осьовий переріз циліндра – прямокутник зі сторонами, що дорівнюють висоті циліндра й діаметру його основи. ABA1B1 – осьовий переріз циліндра. Циліндр

22. Дано: циліндр з віссю ОО1 АА1В1В- квадрат АА1=АВ=8см Знайти: Sбіч-?, Sповн-? Задача. Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною 8см. Знайдіть бічну і повну поверхні циліндра. Розв’язання Sпов= Sбіч + 2Sосн Sбіч= 2πRH, Sосн=πR² AB- діаметр циліндра R=AB/2=8/2= 4 (см) Sбіч= 2πRH=2*π4*8=64π (см2) Sосн= πR2=π*42=16π (см²) Sпов= 64π+2*16π= 96π (см²) Відповідь: 64π см²; 96π см².

23. Дано: циліндр з віссю ОО1 ABCD - осьовий переріз, ABCD – прямокутник, AC- діагональ, AC=10см. ОО1= 8см. Знайти:Sповн.-? Vцил.-? Задача. Діагональ AC осьового перерізу ABCD циліндра дорівнює 10см, а його висота ОО1- 8см. Знайдіть площу поверхні та об’єм циліндра. Розв’язання Sповн=Sбічн+2Sосн., Sбічн=2πRH ∆ACD- прямокутний. За теоремою Піфагора AD=√AC²-CD² = √10²-8²=√36=6 (см) AD- діаметр циліндра, R=6/2= 3(см) Sбічн=2πRH=2π*3*8= 48π (см²) Sосн=πR²=π*3²=9π (см²) Sповн= 48π+2*9π= 66π (см²) V=πR²H=π*3²*8= 72 (см³) Відповідь: 66см² ; 72см³

24. Прямим круговим конусом називається тіло, утворене обертанням плоского прямокутного трикутника навколо одного із його катетів. КО- вісь, КО- висота, КА- твірна, АО- радіус. Конус Осьовий переріз конуса - переріз конуса площиною, яка проходить через його вісь. Усі осьові перерізи конуса – рівні між собою рівнобедрені трикутники. ∆АКА1- осьовий переріз конуса. Площа поверхні конуса Sкон= Sбічн+Sосн. Sбіч=πRL, Sосн= πR² , L-твірна. Об’єм конуса V= 1/3πR²H

25. Дано: конус, ΔАКВ – правильний АК=КВ=АВ=6см. Знайти: Sбічн. Задача. Основний переріз конуса – правильний трикутник, сторона якого дорівнює 6см. Знайдіть бічну поверхню конуса. Розв’язання Sбічн.=πRL; L=KB=6см. ΔАКВ – правильний, то КО – висота і медіана АО=ОВ=3см, R=3см. Sбічн.=πRL=π*3*6=18π (см²) Відповідь: 18π см²

26. Дано: конус, АК – твірна, АО – висота. ےАКО=60º, АК=6см. Знайти: Vкон. Задача. Купа щебеню має форму конуса, твірна якого дорівнює 6см, а кут між твірною і висотою цього конуса становить 60º. Знайдіть об’єм щебеню. Розв’язання V=1/3 πR²H ΔАКО – прямокутний, ےАКО=60º, то ےКАО=30º. КО=1/2*6=3(см) (катет, що лежить проти кута 30º) За теоремою Піфагора з ΔАКО КО=√АК² – АО²=√6²-3²=√27=3√3 V=1/3πR²H=1/3π*(3√3)²*3=27π(см³) Відповідь: 27π см³

27. Куля (сфера) – фігура, утворення обертанням круга (кола) навколо його діаметра. Площина, яка проходить через центр кулі (сфери) називається діаметральною площиною. Переріз кулі (сфери) діаметральною площиною називається великим кругом (великим колом). О – центр кулі (сфери); ОА, ОВ – радіуси; АВ – діаметр. Куля (сфера) Площа поверхні кулі (площа сфери): S=4πR² Об’єм кулі: V=4/3πR³

28. Дано: куля, АВ – діаментр, АВ=10см. Знайти: Sкулі Задача. Знайдіть площу поверні кулі, діаметр якої 10см. Розв’язання АВ-діаметр. АО=ОВ=10/2=5 (см) R=5см. S=4πR²=4π*5²=100π (см²) Відповідь: 100π см² Задача. Припустимо, що Земля має форму кулі радіусом приблизно 6400 км, тоді суша становить 30% площі всієї поверхні планети. Знайдіть площу суші.

29. Дано: куля, Sпов=400π см² Знайти: Vкулі-? Задача. Площа поверні кулі дорівнює 400π см². Знайдіть її об’єм. Розвязання V=4/3πR³ S=4πR² R²=S/4π=400π/4π=100 (см)R=10 (см) V=4/3πR³=4/3π*10³=4000/3π (см³) Відповідь: 4000/3π см³

30. Історична довідка Властивості многогранників і тіл обертання першими систематично виклали давньогрецькі математики. Окрім Евкліда, слід особливо виділити Архімеда, який у двох своїх працях дослідив властивості тіл обертання. Одним із засновників теорії конічних поверхонь вважається давньогрецький геометр Аполлоній Пергський (бл. 262 – бл. 190 р.р. до н.е.). Робота Аполлонія «Канонічні перерізи» розглядає перерізи поверхонь, утворених обертанням однієї з двох прямих, що перетинаються, навколо іншої. Ця праця справила вплив на розвиток механіки, оптики і астрономії. Важливі дослідження в галузі геометрії многогранників належать всесвітньо відомому українському математикові Георгію Феодосійовичу Вороному (1868 – 1908 р.р.). Зокрема, він дослідив проблему заповнення простору опуклими многогранниками. Об`єми деяких многогранників уміли обчислювати ще в стародавньому Єгипті. Італійський математик Бонавентура Кавильєрі (1598 – 1647 р.р.) встановив ознаку тіл, що мають рівні об`єми. Але строга сучасна теорія об`ємів, заснована на методах математичного аналізу, з`явилася значно пізніше.

31. Джерела інформації • Апостолова Г.П., Геометрія 9 кл. 2009 р. • Єршова А.П., Голобородько В.В. і др. Геометрія 9 кл. 2009 р. • Роганін О.М. Геометрія, Розробки уроків, видавництво “Ранок” 2009 р.

32. Бажаю успіхів у вивчені даної теми