ממוצע , שונות וסטיית תקן

1. ממוצע , שונות וסטיית תקן הממוצע ומדדי הפיזור במדגם. בהצלחה עפרה דוד

2. הממוצע החשבוני הממוצע החשבוני של קבוצת מספרים מוגדר כסכום המספרים המדוברים, המחולק במספרם n, = הסימן המקובל של ממוצע . מספר המספרים = n איברים סכום המספרים = xn ....+ x3 + x2 + x1 ממוצע = xn ....+ x3 + x2 + x1 n דוגמא : נתונים המספרים : 24 , 7 , 5 מספר המספרים = 3 סכום המספרים = 36 = 24+7+5 ממוצע המספרים = 12

3. נוסחה לחישוב ממוצע חשבוני:

4. תרגיל בכיתה של חנה לומדים 18תלמידים. להלן ציוני המבחן שלהם : א. חשב את הציון הממוצע בכיתה. ב. האם נכון לומר שהממוצע הוא המספר/ הערך , שבו נמצאת רוב האוכלוסיה הנבדקת?

5. הממוצע החשבוני לפניך מספר היגדים. קרא כל היגד והדגם אותו מבחינה מספרית. א. הממוצע הוא ערך ביניים – קטן מהאיבר הגדול ביותר וגדול מהאיבר הקטן ביותר אך יכול להיות אחד האיברים שבקבוצת המספרים (לא חייב להיות) . ב. כאשר מוסיפים לקבוצת מספרים ערך ששווה לממוצע הממוצע לא ישתנה . ג. אם בקבוצת מספרים כל האיברים הנתונים שווים , הממוצע הוא איבר נתון. . ד. הוספת אפס לקבוצת מספרים נתונה , מקטינה את הממוצע . ה. לקבוצות שונות של מספרים יכול להיות ממוצע שווה. ו. כאשר מוסיפים ערך שונה מהממוצע הממוצע ישתנה . אם הערךקטן מהממוצע, הממוצע יקטן. אם הערך גדול מהממוצע הממוצע יגדל.

6. המשך התרגיל : חישוב הסטיה מהמוצע עבור כל ציון וציון בכיתה האם מצאת את ממוצע ציוני הכיתה? -הציון הממוצע הוא 75. 1. דני קיבל ציון 100. חשב בכמה ציון זה סוטה מהממוצע? תשובה: ציון זה סוטה מהממוצע ב 25 נקודות, כלומר הסטייה מהממוצע של הציון היא 25+ נק'. 2. רוני קיבל במבחן 60. חשב בכמה ציון זה סוטה מהממוצע? תשובה : הסטייה מהממוצע של ציון זה היא 15- נק'. באופן זה אפשר לחשב סטייה מהציון הממוצע לכל ציון וציון.

7. המשך התרגיל : חישוב הסטיה מהממוצע עבור כל הכיתה. חנה רצתה לחשב את מידת הסטייה של כל הכיתה שלה מהממוצע, חשוב היה לה לדעת את מידת הפיזור של אוכלוסיית הכיתה שלה מהממוצע . חשב מהי הסטייה המאפיינת את הכיתה של חנה? גילה הציעה לחשב את כל הסטיות , של כל ציון וציון בנפרד, לחבר או כל הסטיות ולחלק למספר תלמידי הכיתה. כלומר לחשב סטיה ממוצעת כיתתית. חשב את הסטיות של כל ציון מהממוצע. רשום כל סטיה וערוך ממוצע הסטיות. זכור יש לחבר סטיות שליליות כפי שהן בסימן מינוס. האם הסטייה הממוצעת יכולה לשמש למטרה זו? התשובה היא לא, מפני שהסכום של כל הסטיות הוא 0.

8. על מנת לאפיין את מידת הפיזור כלומר את הפער של ציוני המבחן מהמוצע הכיתתית. לא נוכל להיעזר בסכום של כל הסטיות, אלא נצטרך להשתמש במדד דומה שסכומו לא מתאפס. ניתן להשתמש או בערך המוחלט |xi - X| של סטיות מהממוצע או בריבוע שלהם 2xi) – X). הטבלה הבאה מתארת לנו את הסטייה של כל ציון נפרד מהציון הממוצע ואת ריבוע הסטיה .

10. כעת נחשב את סכום ריבועי הפערים מהממוצע. חשב את סכום הסטיות בריבוע שחישבנו עבור כל ציון. 1600+625+225+25 ..... וכך הלאה. לאיזו תוצאה הגעת? 6800. כעת נחשב את ממוצע סכום ריבועי הפערים מהממוצע. חשב את ממוצע סכום הסטיות בריבוע . כמובן שעלינו לחלק את 6800 במספר הציונים ( התלמידים) כלומר ב 18 . לאיזו תוצאה הגעת?377.8

11. המספר שקיבלת מתאר את בממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע . המדד העוסק בממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע נקרא שונות . מסמנים את השונות בסימן S2 .

12. הערך של השונות גדול יחסית מהפערים ( הסטיות) בין הנתונים, בגלל החישוב של ריבועי הסטיות מהממוצע. לכן , כדי לקרב את הערך של המדד עד כמה שאפשר לסדרי הגודל של הפערים "נוציא שורש" מהערך המספרי של השונות, שורש 377.7 שווה ל- 19.43, זאת סטיית התקן .

13. סטיית התקן מדד המשקף טוב ביותר את ממוצע הפערים של הסטיות מהממוצע. 30 100 50 ממוצע 75 100 85 45 65

14. שלבים בחישוב סטיית תקן אם נסכם את השלבים הטכניים לחישוב סטיית התקן אזי (אנו לא נחשב "ידנית" המחשב יבצע את החישוב): • א. חישוב הממוצע • ב. חישוב הפער בין כל ציון לבין הממוצע והעלאתו בריבוע • ג. חישוב סכום הריבועים • ד. חלוקה למספר הנבדקים • ה. הוצאת שורש

15. נוסחת סטיית התקן הנתון של הנבדק סטיית התקן ממוצע המדגם גודל המדגם

16. תרגיל - הבדלי הדופק הממוצע בין בנים ובנות. בניסוי מסויים מדדו את הדופק במנוחה, בשתי קבוצות 13 בנים ו 13 בנות. התוצאות מובאות בטבלה הבאה. • 1.חשב את ממוצע דופק הבנות וממוצע דופק הבנים. • 2. חשב את השונות של כל קבוצה. • 3. חשב את סטיית התקן של כל קבוצה. • באיזו מהקבוצות השונות גדולה יותר? מה המשמעות של תוצאה זו לגבי ההבדל בין בנים ובנות? • 5. באיזו מהקבוצות השונות גדולה יותר? מה המשמעות של תוצאה זו לגבי ההבדל בין בנים ובנות? • 6. איזו קבוצה הומוגנית יותר? נמק החלטתך.

17. באילו יחידות רושמים את סטיית התקן? יחידות הממוצע וסטיית התקן הן אותן יחידות בהן נמדד המשתנה התלוי . בכיתה של חנה הציון אינו בעל יחידות . לכן משאירים זאת כמספר .

18. - + אופן הרישום המקובל: ממוצע דופק בנות במנוחה S X - + 72.5 4.3 - רשום בדרך המקובלת את ממוצע דופק הבנים במנוחה, באילו יחידות תתאר את המספרים המתקבלים?

19. שאלות: • אוכלוסיית צמחים א ו ב גובה ממוצע 120 ס"מ באוכלוסיה א' סטיית התקן 15 ס"מ ובאוכלוסיה ב סטיית התקן 25 ס"מ. • מה ניתן להסיק מכך? • א. אוכלוסיה א אחידה בגובה. • ב. אוכלוסייה ב אחידה בגובה. • ג 25 אחוז מכל צמחי אוכלוסיה ב גבוהים מכל צמחי אוכלוסיה א . • ד. 15 אחוז מכל אוכלוסיה ב גבוהים מכל צמחי אוכלוסיה א' 2. חוקר גידל שתי קבוצות צפרדעים בכל אחת 50 צפרדעים. קבוצה אחת קיבלה טיפול הורמונלי מסויים וקבוצה שניה לא קיבלה טיפול הורמונלי. החוקר בדק את זמן הבקיעה ומצא. בקבוצה א זמן בקיעה ממוצע הוא 167 יום עם סטיית תקן 10.8 בקבוצה ב זמן בקיעה ממוצע 178 יום עם סטיית תקן 12.5 א. רשום באופן נכון את התוצאות. ב.. מה השפעת הטיפול ההורמונלי? ג. מה אתה למד מההשוואה בין הקבוצות לגבי ההטרוגניות/ הומוגניות של כל קבוצה. נמק

20. + 3. בביצי מושב יקותיאל נמצא גודל ביצים גרם 50 5 - החקלאי הוציא את כל הביצים שגודלן גדול מ 60 גר' וקטן מ40 גר'. האם תהיה לכך השפעה על הממוצע? כיצד תושפע סטיית התקן? כיצד תושפע השונות? נמק האם תתקבל אוכלוסיה הומוגנית ( אחידה ) או הטרוגנית יותר? נמק.

21. בבליוגרפיה: 1 . www.levinsky.macam98.ac.il/supp/doc/stat/5מדדי פיזור. 2. http://ceti.macam.ac.il/olzan/resmethods/topic_stat_variance.html 3. עמינדב ברנשטיין.