Download
1 / 11
E N D
Esercizio 1 Tre conduttori sferici cavi concentrici, di spessore trascurabile, hanno raggi R1 = 10 cm, R2 = 20 cm, R3 = 40 cm. L’intercapedine compresa tra R2 e R3 e` riempita di ossigeno liquido (er = 1,5). Un generatore di f.e.m. nota viene collegato al conduttore piu` interno (polo positivo) e piu` esterno (polo negativo). Si esprima, in funzione della carica sulle armature, • il campo elettrico in tutto lo spazio. Assumendo uguale a zero il potenziale sulla superficie piu` interna, esprimere • la differenza di potenziale tra i due conduttori piu` interni e • tra i due piu` esterni; si calcoli anche • la capacita` dei due conduttori piu` interni e • dei due piu` esterni. Calcolare • il valore numerico della carica sulle armature nel caso in cui la f.e.m. valga 600 V e calcolare i corrispondenti valori numerici per i punti (b), (c), (d), (e). Infine si calcoli • l’energia elettrostatica del sistema.
Soluzione dell’esercizio 1 • Applicando la legge di Gauss nelle diverse regioni di spazio delimitate dalle sfere, troviamo il campo: • Per il potenziale: • Da cui si trova la ddp tra le sfere 1 e 2, e
Da cui si trova la ddp tra le sfere 2 e 3. Possiamo quindi trovare la ddp tra le sfere 1 e 3: • La capacita` tra le sfere 1 e 2 e`: • E tra le sfere 2 e 3: • Dall’espressione della ddp tra 1 e 3 possiamo ricavare la carica:
La ddp tra le sfere 1 e 2 e`: • E tra le sfere 2 e 3: • Le capacita` tra 1, 3 e 2, 3 sono rispettivamente:
Per calcolare l’energia elettrostatica conviene prima calcolare la capacita` risultante, tenendo conto che le coppie di conduttori 1,2 e 2,3 sono posti in serie: • L’energia e` quindi:
R1 R2 L E 1 2 A Esercizio 2 Nel circuito seguente sono presenti due resistenze R1, R2, una sorgente di fem E, un’induttanza L e un interruttore A. Inizialmente l’interruttore e` aperto, di modo che e` presente una sola maglia. Trovare • la corrente circolante nella maglia, • la potenza erogata dal generatore, • la potenza dissipara in ciascuna resistenza. Successivamente, all’istante t = 0, l’interruttore A viene chiuso. Trovare • le correnti circolanti nelle due maglie (indicate con 1 e 2) nell’istante in cui A viene chiuso e • per un tempo arbitrariamente grande (supponendo, come accade, di raggiungere uno stato stazionario). In quest’ultimo caso calcolare • la potenza erogata dal generatore, • la potenza dissipara in ciascuna resistenza, • l’energia magnetica dell’induttanza. Si trovi infine • in modo analitico l’andamento temporale delle correnti circolanti nelle due maglie al tempo arbitrario t e se ne schizzi il grafico.
Soluzione dell’esercizio 2 • Prima della chiusura dell’interruttore abbiamo un semplice circuito con generatore e resistenza. La seconda legge di Kirchhoff ci permette di trovare la corrente circolante: • La potenza erogata dal generatore e`: • E quella dissipata in ciascuna resistenza: • Si verifica subito che la somma delle potenze dissipate nelle resistenze uguaglia la potenza erogata dal generatore:
Alla chiusura dell’interruttore, detta EL la fem dell’induttanza, applichiamo la seconda legge di Kirchhoff alle due maglie indicate nella figura del testo: • Al tempo t=0 in cui avviene la chiusura, le correnti assumono valori continui rispetto a tempi precedenti, quindi: • Per tempi sufficientemente grandi, le correnti diventano stazionarie, EL si annulla e i valori delle correnti si trovano dalle equazioni semplificate: • Quindi: • La potenza del generatore e` in questo caso:
La potenza dissipata nelle resistenze e`: • L’energia magnetica immagazzinata nell’induttanza e`: • La soluzione analitica si ottiene studiando le equazioni ottenute dalla legge di Kirchhoff. Esplicitiamo intanto EL in funzione della corrente che scorre nell’induttanza: • Sommando le due equazioni si elimina la derivata: • Da questa equazione si ricava i2 in funzione di i1:
Che sostituita nella prima equazione di Kirchhoff, dopo aver raccolto i termini, da`: • Questa equazione ha la stessa forma dell’equazione di un circuito LR, sostituito L con • L’equazione si risolve tenuto conto della condizione iniziale i1 = I. A conti fatti si ottiene: • Con la costante di tempo • Dalla relazione algebrica tra le correnti si ricava i2 :
i i1 i2 t • Il grafico delle correnti e` il seguente:
