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ANÁLISE DE VARIÂNCIA MULTIVARIADA - MANOVA






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ANÁLISE DE VARIÂNCIA MULTIVARIADA - MANOVA. Outubro de 2008. OBJETIVOS DA AULA. Usar o R para realizar análises de variância univariadas (aov) e multivariadas (manova). Realizar comparações simultâneas no caso de rejeição da hipótese nula de ausência de efeito de tratamento. EXEMPLO 1.
ANÁLISE DE VARIÂNCIA MULTIVARIADA - MANOVA

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Slide 1

ANÁLISE DE VARIÂNCIA MULTIVARIADA - MANOVA

Outubro de 2008

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OBJETIVOS DA AULA

  • Usar o R para realizar análises de variância univariadas (aov) e multivariadas (manova).

  • Realizar comparações simultâneas no caso de rejeição da hipótese nula de ausência de efeito de tratamento.

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EXEMPLO 1

  • Para começar vamos trabalhar com a base de dados milk.txt.

  • Descrição dos dados: as unidades de observação referem-se a caminhões de transporte de leite e os dados observados são custos (combustível, consertos, capital) associados ao veículo. O fator refere-se ao tipo de combustível que pode ser gasolina ou diesel.

Slide 4

Dados de transporte de leite

  • Primeiro, é necessário verificar se as suposições básicas do modelo são plausíveis: normalidade e variância constante.

  • milk=read.table(http://www.im.ufrj.br/~flavia/mad484/milk.txt,header=T)

  • Para isso vamos usar as funções Shapiro.test (verifica a normalidade dos dados) e var.test (realiza um teste de comparação das variâncias nos dois tipos de combustível).

Slide 5

Dados de transporte de leite

  • Verificadas as suposições básicas, estamos prontos para realizar a análise de variância univariada para verificar a hipótese de não haver diferença nas médias de custo de combustível.

  • comb=aov(milk$x1~milk$comb)

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TABELA ANOVA PARA CUSTO DE COMBUSTÍVEL

  • summary(comb)

    g.l. SQ QM F p-valor

  • tratamento 1 19,96 19,96 2,7874 0,1007

  • resíduos 55 393,80 7,16

  • Total 56 413,76

  • Portanto, não rejeitamos a hipótese nula de igualdade entre os custos médios de combustível.

Slide 7

Análise de variância do custo sobre consertos

  • cons=aov(milk$x2~milk$comb)

  • summary(cons)

  • g.l. SQ QM F p-valor

  • tratamento 1 134,34 134.34 7,1096 0.01005 *

  • resíduos 55 1039,26 18.90

    Portanto, ao nível de significância de 5%, rejeitamos a hipótese nula de igualdade entre as médias de custo de conserto para os dois tipos de caminhão.

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Análise de variância do custo sobre capital

  • cap=aov(milk$x3~milk$comb)

  • summary(cap)

  • gl SQ QM F p-valor

  • Tratamento 1 1016,25 1016,25 39,307 5.885e-08

  • Residuals 55 1421,98 25,85

  • Portanto, para esse custo também rejeitamos a hipótese nula.

Slide 9

Análise de variância multivariada

  • Agora vamos realizar a análise de variância multivariada. Observe que aqui também é necessário verificar as suposições básicas do modelo, a saber, normalidade, variância igual e independência entre as diferentes observações.

  • Será necessário carregar o pacote stats do R.

Slide 10

ESTATÍSTICAS PARA TESTAR A HIPÓTESE DE AUSÊNCIA DE EFEITO DE TRATAMENTO

  • Vimos em aula a estatística lambda de Wilks dada pela razão entre os determinantes da matriz de somas de quadrados e produtos cruzados devida aos resíduos sobre o determinante da matriz de somas de quadrados e produtos cruzados da variação total.

  • Quanto menor for o valor dessa estatística, maior a evidência a favor da hipótese nula de ausência de efeito de tratamento.

Slide 11

ESTATÍSTICAS PARA TESTAR A HIPÓTESE DE AUSÊNCIA DE EFEITO DE TRATAMENTO

  • Outras estatísticas usadas para esse teste são baseadas nos auto-valores da matriz

  • Sejam

  • Estatística de Hotelling-Lawley:

  • Estatística de Pillai:

  • Estatística de Roy:

os respectivos auto-valores

Slide 12

ESTATÍSTICAS PARA TESTAR A HIPÓTESE DE AUSÊNCIA DE EFEITO DE TRATAMENTO

  • O R calcula todas essas estatísticas.

  • Voltando aos dados de transporte de leite, suponha que após análise inicial, as suposições básicas do modelo tenham sido consideradas adequadas (normalidade, variâncias iguais e independência das observações).

Slide 13

MANOVA

  • Após carregar o pacote stats, defina o vetor-resposta Y de dimensão 3 por:

  • Y=cbind(milk$x1,milk$x2,milk$x3)

  • Defina o fator combustível por

  • classe=milk$comb

  • Faça então:

  • geral=manova(Y~classe)

  • geral2=summary.manova(geral)

Slide 14

Call: manova(Y ~ classe)

Terms:

classe Residuals

resp 1 19.9576 393.7967

resp 2 134.3407 1039.2641

resp 3 1016.249 1421.979

Deg. of Freedom 1 55

Residual standard error: 2.675806 4.34692 5.084699

geral2$SS

$classe

[,1] [,2] [,3]

[1,] 19.95757 -51.77947 -142.4144

[2,] -51.77947 134.34071 369.4910

[3,] -142.41438 369.49102 1016.2490

$Residuals

[,1] [,2] [,3]

[1,] 393.7967 186.8572 157.6213

[2,] 186.8572 1039.2641 311.6113

[3,] 157.6213 311.6113 1421.9791

Slide 15

  • geralW=summary.manova(geral,test="Wilks")

  • geralP=summary.manova(geral,test="Pillai")

  • geralR=summary.manova(geral,test="Roy")

  • geralHL=summary.manova(geral,test="Hotelling-Lawley")

  • Df Wilks approx F num Df den Df Pr(>F)

  • classe 1 0.5122 16.8262 3 53 8.358e-08 ***

  • Df Pillai approx F num Df den Df Pr(>F)

  • classe 1 0.4878 16.8262 3 53 8.358e-08 ***

  • Df Roy approx F num Df den Df Pr(>F)

  • classe 1 0.9524 16.8262 3 53 8.358e-08 ***

  • Df Hotelling-Lawley approx F num Df den Df Pr(>F)

  • classe 1 0.9524 16.8262 3 53 8.358e-08 ***

  • Residuals 55

  • Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Slide 16

Resultado

  • Verifica-se então que os dados não trazem evidência a favor da hipótese nula, de modo que rejeita-se H0.

Slide 17

Comparações Múltiplas

  • Quando a hipótese de ausência de efeito de tratamento é rejeitada, os efeitos que levaram à rejeição da hipótese são de interesse.

  • Para comparações duas a duas, a abordagem de Bonferroni pode ser usada para construir intervalos simultâneos de confiança para as diferenças dos efeitos de tratamento tomados dois a dois.

  • Esses intervalos serão mais estreitos que os intervalos simultâneos T2 obtidos para todos os contrastes.

Slide 18

MODELO

Slide 23

No exemplo de transporte de leite, a

hipótese nula foi rejeitada.

Obtenha os intervalos de confiança de

Bonferroni.

Observe que como k=2 e p=3, teremos ao todo 3

contrastes a serem analisados, referindo-se às

diferenças nas médias de cada uma das

três componentes.

Slide 24

Como exercício obtenha os três intervalos e tire

Suas conclusões.

Slide 25

Como segunda atividade vamos analisar os dados crabs sobre medidas morfológicas de duas espécies de caranguejos.

Será necessário carregar o pacote MASS para

obter os dados.


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