九年级数学
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九年级数学 ( 下 ) 第二章 二次函数 PowerPoint PPT Presentation


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九年级数学 ( 下 ) 第二章 二次函数. 二次 函数y=a x ²+bx+c 的图象 1. 文登营中学 数学组 岳春香. 复习回顾. 上一节我们从探索 y=3x ² 的图像出发,研究了 y=ax ² 及 y=ax ² +c 的图像和性质. 函数 y=ax ² +c 和函数 y=ax ² 的图像有什么联系?. 问题 1. 都是抛物线且开口方向及大小完全相同,只是图像位置不同 y=ax²+c 的图象 可以由 y=ax ² 的图象沿对称轴平移得到。. y=ax 2 +c 可 由 y=ax 2 的图像 上下 平移 而 得到

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九年级数学 ( 下 ) 第二章 二次函数

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九年级数学(下)第二章 二次函数

二次函数y=ax²+bx+c的图象1

文登营中学数学组 岳春香


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复习回顾

上一节我们从探索y=3x²的图像出发,研究了y=ax²及y=ax²+c的图像和性质

函数y=ax²+c和函数y=ax²的图像有什么联系?

问题1

都是抛物线且开口方向及大小完全相同,只是图像位置不同y=ax²+c的图象可以由y=ax²的图象沿对称轴平移得到。

y=ax2+c可由 y=ax2的图像上下平移而得到

当c>0 时,向上平移c个单位;

当c<0 时,向下平移︱c︱个单位。


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复习回顾

上一节我们从探索y=3x²的图像出发,研究了y=ax²及y=ax²+c的图像和性质

函数y=ax²+c和函数y=ax²的图像有什么联系?

问题1

都是抛物线且开口方向及大小完全相同,y=ax²+c的图象可以由y=ax²的图象沿对称轴平移得到。

问题2 函数y=ax²+c和函数y=ax²的图像有什么性质?

抛物线

a>0向上a<0向下

y轴

(0,0)

y轴

抛物线

a>0向上a<0向下

(0,c)


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一起探索

问题 函数y=a(x-h)²的图像是什么?它与y=ax²的图像有什么关系?

我们从探索y=3(x-1)²与y=3x²的关系开始。

  • ⑴完成下表

  • 比较y=3x²和y=3(x-1)²的值,它们之间有什么关系?

y=3(x-1)²的值比y=3x²的值落后


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问题 函数y=a(x-h)²的图像是什么?它与y=ax²的图像有什么关系?

一起探索

我们从探索y=3(x-1)²与y=3x²的关系开始。

在下列平面直角坐标系中,做出y=(3x-1)²的图像

一起探索


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一起探索

问题 函数y=a(x-h)²的图像是什么?它与y=ax²的图像有什么关系?

我们从探索y=3(x-1)²与y=3x²的关系开始。

观察图象,回答问题

(2)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?

把y=3x²的图像沿轴向右平移1个单位就得到y=3(x-1)²的图像


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合作交流

(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

二次函数y=3(x-1)2

与y=3x2的图象形状

相同,可以看作是抛

物线y=3x2整体沿x轴

向右平移了1 个单位

图象是轴对称图形

对称轴是平行于

y轴的直线:x=1.

二次项系数相同

a>0,开口都向上.

顶点坐标

是点(1,0).


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合作交流

二次函数y=3(x-1)2

与y=3x2的增减性类似.

在对称轴(直线:x=1)左侧

(即x<1时),函数y=3(x-1)2

的值随x的增大而减少,.

顶点是最低点,函数

有最小值.当x=1时,

最小值是0..

在对称轴(直线:x=1)左侧

(即x>1时),函数y=3(x-1)2

的值随x的增大而增大,.


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(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象的对称轴和顶点坐标分别是什么?

  • 猜一猜,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?

二次函数y=3(x+1)²的值随自变量变化有什么规律?


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我能行

  • 列表看一看

y=3(x-1)²的值比y=3x²的值落后,

y=3(x+1)²的值比y=3x²的值提前。


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我能行

画图看一看

把y=3x²的图像沿轴向右平移1个单位就得到y=3(x-1)²的图像

把y=3x²的图像沿轴向左平移1个单位就得到y=3(x+1)²的图像


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让我们来合作

二次函数y=3(x+1)2

与y=3x2的图象形状

相同,可以看作是抛

物线y=3x2整体沿x轴

向左平移了1 个单位.

图象是轴对称图形.

对称轴是平行于

y轴的直线:x= -1.

二次项系数相同

a>0,开口都向上.

顶点坐标

是点(-1,0).

  • 想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样?


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让我们来合作

二次函数y=3(x+1)2

与y=3x2的增减性类似.

在对称轴(直线:x=-1)左侧

(即x<-1时),函数y=3(x+1)2

的值随x的增大而减少,.

顶点是最低点,函数

有最小值.当x=-1时,

最小值是0..

在对称轴(直线:x=-1)右侧

(即x>-1时),函数y=3(x+1)2

的值随x的增大而增大,.


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  • 猜一猜,函数y=-3(x-1)²,y=-3(x+1)2和

  • y=-3x²的图象的位置和形状.

七嘴八舌

理由是:它们分别和y=3x²,y=3(x-1)²,

y=3(x+1)²互为相反数


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越大,开口越小.

越小,开口越大.

归纳与总结

二次函数y=a(x-h)2的性质

y=a(x-h)2 (a>0)

抛物线

y=a(x-h)2 (a<0)

(h,0)

(h,0)

顶点坐标

直线x=h

直线x=h

对称轴

向上

向下

开口方向

在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

y随x

变化规律

当x=h时,最小值为0.

最值

当x=h时,最大值为0.


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合理推测

函数y=3(x-1)²+1的图像有什么特点 ?

对称轴

顶点是

图像是

开口方向

(1.1)

直线x=1

抛物线

向上

y=3(x-1)²+1的图像可以看成是y=3(x-1)²平移得到的

理由是

函数y=-3(x+1)²+1的图像呢?


Y a x h k y ax

知识小结

二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系

  • 1.

相同点:

(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).

  • (3)都有最(大或小)值.

  • (2)都是轴对称图形.

  • (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .

不同点:

只是位置不同

2.

(1)顶点不同:分别是(-h,k)和(0,0).

(2)对称轴不同:分别是直线x= -h和y轴.

(3)最值不同:分别是k和0.

3.联系: y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以由y=ax²的图象平移得到。

先沿整体向左(右)平移个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.

x轴

|h|

对称轴


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下课了!

结束寄语

  • 读书要从薄到厚,再从厚到薄.

再见


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