Mediana

1. Mediana É um valor real que separa o rol em duas partes deixando à sua esquerda o mesmo número de elementos que a sua direita. Portanto, a mediana é um valor que ocupa a posição central em uma série. Notação: A mediana será denotada por md CÁLCULO DA MEDIANA 1º Caso) - Dados Brutos ou Rol Inicialmente devemos ordenar os elementos caso sejam dados brutos, obtendo o Rol. Em seguida determinamos o número n de elementos do Rol.

2. 1.1 Se n é ímpar - O Rol admite apenas um termo central que ocupa a posição (n+1)º. O valor do elemento que ocupa 2 esta posição é a mediana. Exemplo: Determinar a mediana do conjunto: X: 2, 20, 12, 23, 20, 8, 12. Solução: Ordenando estes elementos obtemos o rol. X: 2, 8, 12, 12, 20, 20, 23. O número de elementos é n=7 (ímpar), a posição do termo central é (7+1)º=4º. 2 A mediana é o quarto elemento do Rol: md=12. O valor 12 deixa à sua esquerda e à sua direita o mesmo número de elementos, sendo, portanto, o elemento central da série.

3. Quando lidamos com séries com um grande número de elementos, a quantidade de elementos à esquerda e à direita é aproximadamente 50% do total de elementos, o que conduz a seguinte interpretação genérica para a mediana: “50% dos valores da série são valores menores ou iguais a 12 e 50% dos valores da série são valores maiores ou iguais a 12”. 1.2 Se n é par - Neste caso, o rol admite dois termos centrais que ocupam as posições (n/2)º e (n/2+1) º. A mediana é convencionada como sendo a média dos valores que ocupam estas posições centrais. Exemplo: Determinar a mediana da série: X: 7, 21, 13, 15, 10, 8, 9, 13 Solução: Ordenando estes elementos, obtemos o rol: X: 7, 8, 9, 10, 13, 13, 15, 21. O número de elementos é n=8 (par).

4. As posições dos termos centrais são: (8/2)º=4º e (8/2+1)º=5º. O elemento que ocupa a quarta posição na série é 10 e o elemento que ocupa a quinta posição é 13. Portanto, Interpretação: 50% dos valores do rol são valores menores ou iguais a 11,5 e 50% dos valores do rol são valores maiores ou iguais a 11,5. 2º Caso) - Variável discreta Se os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta, eles já estão naturalmente ordenados. Assim, basta verificar se o número de elementos da série é ímpar ou par e aplicar o mesmo raciocínio do caso anterior.

5. Para facilitar a localização dos termos centrais, construímos a freqüência acumulada da série. Exemplo: Determinar a mediana da série: Solução: O número de elementos da série é n=fi=23 (ímpar) Portanto, a série admite apenas um termo que ocupa a posição (23+1)º=12º. 2 Construindo a freqüência acumulada podemos localizar com facilidade o décimo segundo elemento da série.

6. Note que o elemento que ocupa o primeira posição na série é 2. Em seguida aparecem quatro elementos iguais a 5. Estes elementos ocupam na série as posições de segundo e quinto. Depois aparecem mais 10 elementos iguais a 8 que ocupam na série as posições de 6º a 15º. Conseqüentemente, o elemento que ocupa a 12º posição vale 8, e podemos afirmar que md=8. Interpretação: 50% dos valores da série são menores ou iguais a 8 e 50% dos valores da série são maiores ou iguais a 8.

7. Exemplo 2: Calcular a mediana da série: Solução: O número de elementos da série é 32 (par) e a série admite dois termos centrais que ocupam as posições (32/2)º=16º e (32/2+1)º=17º. Para localizar estes elementos, construímos a freqüência acumulada da série. fi=32

8. As três primeiras posições da série são ocupadas por elementos iguais a 0. Da quarta à oitava posição os elementos são iguais a 1. Da nona a décima sexta posição os elementos são iguais a 2. Da décima sexta à vigésima sexta posição os elementos valem 3. Portando, o elemento que ocupa a décima sexta posição é 2 e o elemento que ocupa a décima sétima posição é 3 e, conseqüentemente, a mediana é: Interpretação: 50% dos valores da série são menores ou iguais a 2,5 e 50% dos valores da série são maiores ou iguais a 2,5.

9. 3º Caso) - Variável contínua Se os dados estão apresentados na forma de uma variável contínua, o raciocínio anterior não pode ser utilizado, uma vez que mesmo identificada a posição da mediana na série, o valor do elemento da série que ocupa esta posição não é identificável. Utilizaremos um exemplo, para generalizar a fórmula de cálculo da mediana. Considere a distribuição de freqüência: O número de elementos da série é n=fi=19.

10. A mediana, por definição, separa o número de elementos da série em dois grupos, contendo cada um deles 50% dos elementos. Portanto, a posição da mediana na série é n/2. No exemplo (19/2)º=9,5º. O valor decimal 9,5 indica que a mediana é um elemento posicionado entre o nono e o décimo elemento da série. Construiremos a freqüência acumulada para identificar em qual classe estão situados o nono e o décimo elemento da série. fi=19

11. Note que o nono e o décimo elementos estão posicionados na terceira classe, o que indica que a mediana é um valor compreendido entre 9 e 12. A classe que contém a mediana será identificada como classe mediana. Este intervalo de três unidades contém oito elementos. Supondo que estes estão uniformemente distribuídos neste intervalo, então poderemos dividir este intervalo de modo proporcional à posição da mediana na série. Ou seja: 15-7 = 9,5-7. Simplificando, 3 x 8 = 9,5-7  x = 9,5-7 . 3 3 x 8 Portanto: md= 9+x  md= 9,9375 7º 9,5 15º 9 x md 12

12. Observando a fórmula anterior : - 9 é o limite inferior da classe mediana - 9,5 é a metade dos elementos da série, isto é, n/2 - 7 é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana - 8 é a freqüência simples da classe mediana - 3 é a amplitude do intervalo de classe, poderemos generalizar a fórmula de cálculo da mediana para variável contínua. onde: Imd- limite inferior da classe mediana n - número de elementos da série Fant - freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana fmd - freqüência simples da classe mediana h - amplitude do intervalo de classe

13. COMENTÁRIO : Devido às condições impostas na obtenção da fórmula da mediana, fica evidente que o valor obtido pela fórmula é um valor aproximado do verdadeiro valor da mediana da série.