Magát a halmaz fogalmát nem definiáljuk,
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 23

*** HALMAZOK *** A HALMAZ ÉS MEGADÁSA A HALMAZ FOGALMA PowerPoint PPT Presentation


  • 41 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Magát a halmaz fogalmát nem definiáljuk, ugyanúgy mint ahogyan a "pontra", vagy a geometriai "egyenesre" sem adunk meghatározást. Elfogadjuk. Tetszőleges dolgok (objektumok) összességét halmaznak tekintjük; a "halmaz„ szó mintegy szinonimája a köznyelvben használt

Download Presentation

*** HALMAZOK *** A HALMAZ ÉS MEGADÁSA A HALMAZ FOGALMA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

Magát a halmaz fogalmát nem definiáljuk,

ugyanúgy mint ahogyan a "pontra", vagy a

geometriai "egyenesre" sem adunk meghatározást.

Elfogadjuk. Tetszőleges dolgok (objektumok)

összességét halmaznak tekintjük; a "halmaz„

szó mintegy szinonimája a köznyelvben használt

"összesség", "sokaság" stb. kifejezéseknek.

Az összességbe tartozó egyes dolgok a halmaz

elemei.

*** HALMAZOK ***

A HALMAZ ÉS MEGADÁSA

A HALMAZ FOGALMA


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

Ha adott egy H halmaz, és annak h egy eleme, akkor ezt így jelöljük:

Ha az jelet áthúzzuk, azaz -t írunk,

az azt jelenti, hogy nem eleme a halmaznak.

Venn-diagram:

Üres halmaz: .


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

Tulajdonságok:

(reflexivitás)

HALMAZ ÉS RÉSZHALMAZA

(antiszimmetria)

(tranzitivitás)

Valódi részhalmazok.

Példa. Legyen K = {egész számok};

H = {páratlan egész számok}.

Nyilván


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

P(H): egy H halmaz hatványhalmaza.

n elemű halmaznak 2n részhalmaza van.

Példa. Legyen H ={a,b,c}, akkor P(H) =

{,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b,c}}.

Alaphalmaz. X-szel jelöljük.

MŰVELETEK HALMAZOKKAL

Egyesítés (jele:  ).

A H és K halmazok egyesítése (összege

vagy uniója): HK = {x|xH vagy xK.

Metszet(jele:  ).

A H és K halmazok metszete (közös része,

vagy szorzata): HK = {x|xH és xK}.


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

Azonosságok:

HH = H (idempotencia)

HK = KH (kommutativitás)

H(KL)=(HK)L(asszociativitás)

Megjegyzés. Ha H K = , H és Kdiszjunktak

vagy idegenek.

Különbség (jele: – ).

A H és K halmazok különbsége:

H–K = {x| xH és xK}.


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

Halmaz komplementere.

X – K halmaz a Kkiegészítő(komplementer) halma-

za.

Azonosságok:

1. H - K H2. (H - K) K =

3. H - K = H, akkor és csak akkor, ha HK=

Példa.A = {a, b,c, d, e}, X={a magyar ábécé betűi}.

= {a magyar ábécé betűi az a, b, c, d, e betűk

kivételével}.


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

Azonosságok:


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

RELÁCIÓK

RENDEZETT n-ESEK

Rendezett pár. z=(x,y)

Rendezett pár transzponáltja: (x,y)  (y,x).

u = (x, y) és v = (a, b). u=v x=a és y=b.

Rendezett n-es. (a1, a2,...,an)-nel jelöljük.

(a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn)  a1 = b1, a2=b2, ..., an= bn.

Példák. 1. A sík pontjainak koordinátái.

2. Rendezett hármas a (Kovács, István,14112250138).

3. Rendezett "n-es" egy család (hármas, négyes,stb, pl.: apa, anya, gyerek1, gyerek2).

  


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

1. Példa. Ha A = {a, b, c} és B = {x, y}, akkor

A B={(a, x), (b, x), (c, x), (a, y), (b, y), (c, y)}.

B A={(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)}.

Látható, hogy A BB A.

HALMAZOK DIREKT SZORZATA

DEFINÍCIÓ.A és B direkt szorzata:A B

(A kereszt B), (x, y)A Bx A és y B.

2. Példa.Ha V a vezeték- , K a keresztnevek, A az adó- számok halmaza, akkor (Kovács, István,14112250138)

V K A egy eleme.

Megjegyzés. Descartes-szorzat elnevezés.


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

Megjegyzés. A direkt szorzatra érvényesek

az alábbi tulajdonságok.

1.

2.

3.

4.

Több halmaz direkt szorzata is képezhető.

Példa. Legyen R a valós számok halmaza. Az RR

szorzat nyilván a síkbeli koordinátarendszer pontjait

adja.


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

RELÁCIÓK

DEFINÍCIÓ. Az A1, A2,...,An halmazok A1A2...An

direkt szorzatának egy részhalmazát n-változós

relációnak nevezzük és R-rel jelöljük,azaz

RA1 A2  ... An.

A reláció tehát rendezett n-esek halmaza. Ai -t

a reláció i-edik tartományánaknevezzük.


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

név (N), születési-dátum (D),

matematikaosztályzat (M). NDM

Relációs adatbázis.


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

BINÉR RELÁCIÓK

Jele: aRb.

PÉLDÁK

1. Példa. Binér reláció a számok közötti

egyenlőség, a kisebb, a nagyobb reláció azaz:

a = b, a < b, a > b.

2. Példa.xRy: "x szülője y-nak”

3. Példa. p | a: "p osztója a-nak”

Az xRy relációértelmezési tartománya az {x} halmaz, képtartománya az {y} halmaz.


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

Reláció inverze: xRy inverze yR’x.

PÉLDÁK inverz relációra:

1. Ha az R a "szülője" reláció, akkor R' a "gyermeke”

kapcsolatot fejezi ki.

2. A kisebb reláció inverze a nagyobb: a < b b > a.

3. Az = reláció inverze önmaga, mivel x=yy=x.

A binér reláció tulajdonságai:.

1. R relációreflexív: ha xRx. Ha nem,irreflexív.

Példa. A  reláció reflexív, mert x x.

A < reláció irreflexív, mert x < x nem teljesül.


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

2. R szimmetrikus, ha xRyyRx, ellenkező esetben

aszimmetrikus.

Ha xRy és yRx  x=y, akkor antiszimmetrikus.

Példa. Az = reláció szimmetrikus, hiszen x=y ugyanaz

mint y=x. (antiszimmetrikus is.)

3. R tranzitív, ha xRy, yRz  xRz.

Példa. A < reláció tranzitív. (a<b, b<c  a<c)

EKVIVALENCIA ÉS RENDEZÉS

a) Ekvivalencia

Egy X alaphalmaz elemei közt értelmezett R relációt

ekvivalencia-relációnak nevezünk, ha R reflexív,

szimmetrikus és tranzitív. Jelölése: x ~ y.


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

Tulajdonságai:

1.x ~ x

2. (x ~ y)  (y ~ x)

3.(x ~ y és y ~ z) (x ~ z)

Példák.

1. A valós számok körében értelmezett egyenlőség.

a) a=ab) a=b b=ac) a=b, b=c  a=c

2. Ha egy ház lakóinak halmazát H-val jelöljük, akkor

az "x ugyanabban a házban lakik, mint y”


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

Egy X alaphalmaz elemei közt értelmezett R

relációt akkor mondunkparciális(vagy

részben)rendezési relációnak, ha R reflexív,

antiszimmetrikus és tranzitív. Jelölése: xy.

(olv. x megelőzi y-t)

1) xx;

2) (x y és y x)  (x=y)

3) (x y és y z) (xz)


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

PÉLDÁK

1. Példa. A természetes számok N halmazában az oszthatóság rendezési reláció.

2. Példa. Egy X halmaz részhalmazainak halmaza:

P(X). A  tartalmazás binér relációja nyilván rendezési reláció.

3. Példa. Legyen N a természetes számok halmaza. Ez a halmaz a "" relációval rendezett halmaz: N ={1,2,3,4,...}.

Megjegyzés. A bináris relációk, mint halmazok között elvégezhetők a szokásos halmazműveletek.

Legyenek R1 és R2 bináris relációk. Akkor

szintén bináris relációk.


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

FÜGGVÉNYEK

A FÜGGVÉNY FOGALMA

DEFINÍCIÓ. Legyen az f reláció első tartománya X,

második tartománya Y, és tegyük fel, hogy

minden xX-hez pontosan egy olyan yY

létezik, melyre xfy. Ekkor f minden X-beli x

elemhez egy jól meghatározott yY elemet rendel.

Jelöljük ezt az y-t f(x)-szel, azaz y = f(x). Az ilyen relá-

ciókat X-ből Y-ba képezőfüggvényeknekvagyleké-

pezésekneknevezzük.


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

f

Y

X

X: fértelmezési tartománya, jele: Df

Y: f képtere (értékkészlete), jele: Rf

f függvény: f : xy, vagy x y

Az x elemhez tartozó értéket f(x)-szel jelöljük,

és azt mondjuk, hogy f(x) az x elem képe.


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

AZ ÖSSZETETT FÜGGVÉNY

DEFINÍCIÓ. f: XY, és g: Y Z két függvény.

és zZ és létezik olyan yY,

hogy y=f(x), z=g(y)}. Tegyük fel, hogy RfDg. A gf

reláció egy függvény és összetett függvénynek hívjuk.

A függvény grafikonja

Jelölje f(X) az X-beli elemek képeinek halmazát Y-ban.

Nyilvánvalóan f(X)Y. 

Legyen f: XY és legyen X’ részhalmaza X-nek, azaz

legyen X’ X. Akkor az {f(x)|xX’} halmazt az f

grafikonjánaknevezzük.


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

A FÜGGVÉNY INVERZE

Ha az f függvény olyan, hogy különböző elemek képe

különböző, azaz xlx2 esetén f(xl) f(x2),

akkor azt mondjuk, hogy az f függvény injektív.

DEFINÍCIÓ. Ha f injektív leképezés, akkor az f(X)

képhalmaz minden y eleméhez egyértelműen hozzá

tudjuk rendelni az y egyetlen ősképét,

vagyis az egyetlen olyan xX elemet,

melyre f(x)=y. Így egy újabb leképezést nyerhetünk,

melynek értelmezési tartománya f(X), képtere pedig X.

Ez a függvény az finverze, és f -1 -gyel jelöljük.


Halmazok a halmaz s megad sa a halmaz fogalma

Nyilvánvaló, hogy minden xX-ra f-1(f(x))=x

és minden y f(Y)-ra y=f(f -1(y)).

f- -1

Y

X


  • Login