המחלקה לניהול תעשייתי סמסטר א', תשע"ב

1. המחלקה לניהול תעשייתי סמסטר א', תשע"ב רגרסיה לינארית, ניתוח שונות ותכנון ניסויים סטטיסטייםהרצאה 2רגרסיה פשוטה: רווח בר סמך ובדיקת השערות למקדמים

2. נוסחא חלופית לחישוב b1 כאשר: באקסל:

3. בדוגמה מהרצאה 1 משוואת קו רגרסיה הינה:

4. בניית רווחי סמך לפרמטרים β0 ו- β1 מצאנו אמדים נקודתיים עבור מקדמי הרגרסיה. כעת נמצא רווחים בהם נמצאים β0 ו- β1: כאשר: n – גודל המדגם p – מספר הפרמטרים הנאמדים לצורך חישוב

5. בניית רווחי סמך לפרמטרים β0 ו- β1 במקרה שלנו p=2 מאחר ואמדנו 2 פרמטרים (b0, b1). b0 מתפלג: b1 מתפלג: לא ידועה, לכן נציב במקומה אמד (MSE).

6. בניית רווחי סמך לפרמטרים β0 ו- β1 ולכן: נבנה רווח סמך ברמת מובהקות α:

7. בניית רווחי סמך לפרמטרים β0 ו- β1 אמד לסטיית תקן של b0הינו: אמד לסטיית תקן של b1הינו: כאשר MSE (ממוצע ריבועי הטעויות) הינו:

8. מקדם המתאם דרך נוספת למצוא אומדנים לסטיות תקן של b0ו-b1 הינה בעזרת מקדם המתאם. ρ – מקדם המתאם לרגרסיה של אוכלוסיה. R – מקדם המתאם מדגמי לרגרסיה. מקדם המתאם מציג עצמת הקשר בין משתנה הבלתי תלוי לבין משתנה התלוי: כאשר 0>R, הקשר הינו שלילי. כאשר 0<R הקשר הינו חיובי.

9. מקדם המתאם מקרה קיצוני: 1=R 0< b1 כל התצפיות נופלות בדיוק על קו הרגרסיה x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x מקרה קיצוני: 1-=R 0> b1 כל התצפיות נופלות בדיוק על קו הרגרסיה 0=Rמצביע על כך ש 0= b1 או על כך שאין קשר ליניארי בין משתנה התלוי לב"ת אין קשר ליניארי 0= b1 x x x x x x x x x x

10. מקדם המתאם 2R מציג פרופורציית שונות המוסברת. מדד זה מציג את היכולת של מודל הרגרסיה להסביר את החיזוי של משתנה התלוי ע"י משתנה בלתי תלוי. ככל ש 2R קרוב יותר לאחד, כך היכולת הזו יותר טובה.

11. חישוב אומדנים חישוב אומדנים לסטיות תקן של מקדמים בעזרת מקדם המתאם: כאשר:

12. בניית רווחי סמך לפרמטרים β0 ו- β1 אם כך, רווח סמך עבור b0הינו: ובאופן דומה, רווח סמך עבור b1הינו: משמעות של רווח סמך: אם נדגום הרבה מדגמים וכל מדגם נבנה רווח סמך, אזי בהסברות 1-α מקדם באמת ייפול תחום זה.

13. נחזור לדוגמה ונמצא רווחי סמך למקדמים עבור β1: כעת נחשב את : או לחלופין, ניתן לחשב את האומד לסטיית תקן בעזרת מקדם המתאם:

14. נחזור לדוגמה ונמצא רווחי סמך למקדמים נציב בנוסחא של רווח סמך עבור β1: אורך רווח סמך:

15. נחזור לדוגמה ונמצא רווחי סמך למקדמים כעת נחשב רווח סמך עבור β0: חישוב אומד לסטיית תקן בעזרת מקדם המתאם: נציב בנוסחא של רווח סמך עבור β0: אורך רווח סמך:

16. בדיקת השערות למקדמים – מבחן T מעבר להערכת הקשר הליניארי בין משתנה הב"ת למשתנה התלוי, אנחנו מעוניינים גם לבדוק השערות מסויימות לגבי חיתוך עם ציר Y (מקדם 0β)ושיפוע (מקדם 1β). השערות נבחנות מתוך הנחה כי השגיאות מתפלגות נורמלית. עבור מקדם 1β נבדוק השערות הבאות: כאשר β – זה ערך מספרי כלשהו. נבדוק את ההשערות באמצעות מבחן t. סטטיסטי המבחן: במבחן t דו-זנבי (דו-צדדי): דוחים את השערת האפס, אם לא דוחים את השערת האפס, אם

17. בדיקת השערות למקדמים – מבחן T במבחן t חד-זנבי ימני (עליון) נבדוק השערות מסוג: איזור דחייה עבור מבחן t חד-זנבי ימני (עליון): במבחן t חד-זנבי שמאלי (תחתון) נבדוק השערות מסוג: איזור דחייה עבור מבחן t חד-זנבי שמאלי (תחתון): α α/2 α/2

18. בדיקת השערות למקדמים – מבחן T עבור מקדם 0β נבדוק השערות הבאות: נבדוק את ההשערות באמצעות מבחן t. סטטיסטי המבחן: במבחן t דו-זנבי (דו-צדדי): דוחים את השערת האפס, אם לא דוחים את השערת האפס, אם

19. נחזור לדוגמה ונבדוק השערות נבדוק השערות הבאות באמצעות מבחן T: חישוב סטטיסטי: ערך T קריטי (מטבלה): מסקנה: ניתן לראות שערך סטטיסטי גדול מערך קריטי, לכן נדחה את השערת האפס ונאמר ששיפוע אינו שווה ל-0 ברמת המובהקות 0.05

20. נחזור לדוגמה ונבדוק השערות נבדוק השערות הבאות באמצעות מבחן T: חישוב סטטיסטי: ערך T קריטי (מטבלה): מסקנה: גם כאן ניתן לראות שערך סטטיסטי גדול מערך קריטי, לכן נדחה את השערת האפס ונאמר שמקדם 0β אינו שווה ל-0 ברמת המובהקות 0.05

21. קשר בין רווח סמך למקדמים ובדיקת השערות למקדמים בדיקת ההשערות הבאות (למשל) במבחן T: שקולה לבניית רווח סמך דו-צדדי ל-1 β , כאשר בדיקת השערות היא ברמת מובהקות α ורווח סמך נבנה ברמת הביטחון α-1. פירוש השקילות: אם נדחה את השערת האפס אזי ערך 0=1 β לא יהיה שייך לרווח סמך ולהיפך. אם ערך 0=1 β שייך לרווח סמך, אזי לא נדחה את השערת האפס במבחן T ברמת המובהקות α. בדוגמה שלנו, ניתן לראות ש-0 לא נמצא בגבולות רווח סמך ל- 1 β, לכן היינו יכולים לומר ללא ביצוע מבחן T, שנדחה את השערת האפס ברמת המובהקות 0.05.