Investigando Alturas de Prédios e Monumentos

1. Investigando Alturas de Prédios e Monumentos UNIFRA MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA Aluna do Mestrado: Kátia Luciane Souza da RochaProfessoraE.E.E.M Dr. Fernando Abbott da cidade de São Gabriel– RS 2009

2. Escola Fernando Abbott Esse trabalho foi desenvolvido em uma turma de 28 alunos da 8ª série do Ensino Fundamental da Escola Estadual de Ensino Médio Dr. Fernando Abbott em São Gabriel – RScom o objetivo de aplicar os conhecimentos de trigonometria para calcular a altura de prédios e monumentos da cidade.

3. Investigando Alturas de Prédios e Monumentos de São Gabriel Temática: Museu de Armas do Exército Monumento à Celestino

4. Objetivos • Aplicar as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo na resolução de problemas; • Determinar o valor do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo; • Calcular a altura de prédios, monumentos, árvores, etc... utilizando as noções de trigonometria; • Aplicar as razões trigonométricas no triângulo retângulo para resolver o problema.

5. Etapas para o desenvolvimento da temática 1ª etapa: Os alunos leram o texto “Tales, o homem da sombra” disponível no apêndice do livro didático dos alunos para dar início ao estudo do tema proposto.

6. Tales, o homem da sombra [...] Após alguns dias de uma viagem interrompida por numerosas escalas nas cidades à margem do rio, ele a avistou. Erguida no meio de um platô, não longe da beira do rio, a pirâmide de Quéops! Tales nunca havia visto nada tão imponente. Duas outras pirâmides, a de Quéfren e a de Miquerinos, se elevavam no platô; ao lado daquela pareciam pequenas [...] As dimensões do monumento superavam tudo que ele havia imaginado. [...] À medida que se aproximava, seu andar foi ficando mais lento, como se o monumento, por sua simples massa conseguisse moderar sua marcha. Sentou-se, vencido. Um felá[1] de idade indefinida acocorou-se ao seu lado. “Sabes estrangeiro, quantos mortos custou esta pirâmide, que tu pareces admirar?”. “Milhares, sem dúvida.” [...] Quaisquer que tenham sido os objetivos do faraó, uma coisa era certa: a altura da pirâmide era impossível de ser medida. Era a construção mais visível do mundo habitado e a única que não podia ser medida. Tales resolveu enfrentar o desafio [...] Quando o sol clareou o horizonte, Tales se levantou. Viu sua sombra se estender na direção oeste; pensou que qualquer que fosse a pequenez de um objeto, sempre existia uma luz que o tornasse grande. [...] “Como minha mão não pode efetuar a medição, meu pensamento vai fazê-lo”, prometeu-se. Tales observou longamente a pirâmide, precisava encontrar um aliado “à medida” de seu adversário. Lentamente, seu olhar foi de seu corpo à sua sombra, de sua sombra a seu corpo, depois voltou-se para a pirâmide. [...] Tratando de modo semelhante o homem minúsculo e a gigantesca pirâmide, o Sol estabelece a possibilidade da medida comum. Tales compenetrou-se dessa ideia: a relação que mantenho com minha sombra é a mesma que a pirâmide mantém com a dela.

7. Disso deduziu o seguinte: no instante em que minha sombra for igual à minha estatura, a sombra da pirâmide será igual à sua altura! Aí estava a ideia procurada. Agora tinha de conseguir executá-la. Tales não podia efetuar sozinho a operação. Precisavam ser dois. O felá topou ajudá-lo. Talvez tenha sido assim mesmo que a coisa aconteceu. Como podemos saber? No dia seguinte, desde o nascer do Sol, o felá se dirigiu para o monumento e sentou-se à imensa sombra da pirâmide. Tales traçou na areia uma circunferência de raio igual a sua altura, postou-se no centro e ficou de pé bem reto. Depois fixou os olhos na ponta da sua sombra. Quando esta tocou a circunferência, isto é, quando o comprimento de sua sombra ficou igual à sua altura, deu o grito combinado. O felá, que estava à sua espera, fincou imediatamente uma estaca no lugar atingido pela extremidade da sombra da pirâmide. Tales correu para a estaca. Juntos, sem trocar uma palavra, com a ajuda de uma corda bem esticada, mediram a distância que separava a estaca da base da pirâmide. Quando calcularam o comprimento da sombra, conheceram a altura da pirâmide! [...] Tales estava contente de si. Com a ajuda do felá ele havia inventado uma artimanha. A vertical é inacessível? Posso obtê-la pela horizontal. Não posso medir a altura porque ela se perde no céu? Medirei sua sombra aplainada no chão. Com o “pequeno” medir o “grande”. Com o “acessível” medir o “inacessível”. Com o “próximo” medir o “distante”. [...] Duas condições: a sombra deve ser igual à pirâmide e deve ser perpendicular a base. [...] - A pirâmide de Quéops se encontra em Gizé, a 30º de latitude, no hemisfério Norte[...] Para que a sombra seja igual ao objeto, os raios tem de estar inclinados a 45º. Ora, no verão, ao meio dia, em Gizé, os raios são quase verticais. Não haverá sombra nenhuma durante todo um período do ano. Além disso, para que a sombra seja perpendicular à base, tem de estar orientada norte-sul.

8. Essas condições só estão reunidas em dois dias por ano. Os astrônomos afirmam que a medida de Tales só pode ter sido feita[...] no dia 21 de novembro ou 20 de janeiro [...] - O teorema provavelmente é geral, mas a medida é bem particular. Quando Tales achou, concretamente? [...] - Ele só dispunha de uma corda e precisava de uma unidade de medida. Utilizou o tales, isto é, sua própria estatura. Com a corda, cujo comprimento havia ajustado à sua estatura, mediu a sombra. Achou dezoito tales. Depois mediu o lado da base, dividiu por dois e achou 67 tales. Adicionou e escreveu o resultado bem grande numa folha. A pirâmide de Quéops mede 85 tales. - Ora, em medida local, o tales valia 3,25 côvados egípcios, o que dá 276,25 côvados ao todo. Hoje sabemos que a altura da pirâmide de Quéops é de 280 côvados. Ou 147 metros! [...] GUEDJ, Denis. O teorema do papagaio. Trad. Eduardo Brandão. São Paulo: Companhia das Letras, 1999. p. 42-44, 48, 52-56.

9. Alguns dados históricos de Tales de Mileto Conta-se que um faraó desafiou o astrônomo matemático grego Tales a medir a altura da grande Pirâmide de Quéops. Tales de Mileto

10. Pirâmide de Quéops

11. Noções prévias de trigonometria para a compreensão dos argumentos de Tales.

12. Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo Trigonometria é o estudo das relações existentes entre as medidas dos ângulos e dos lados de triângulos retângulos.

13. Medida Metria Ângulos Gonos Três Tri A palavra Trigonometria resultou da composição de três palavras gregas:

14. Conceitos necessários para analisar as relações trigonométricas de um Triângulo Retângulo C Triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto (90º) e os outros dois ângulos agudos (menores que 90º). B A

15. C B A Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais que são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. Hipotenusa Cateto Cateto

16. C B A No triângulo retângulo abaixo tem-se: α é um ângulo agudo a é a hipotenusa b cateto oposto ao ângulo agudo α c cateto adjacente ao ângulo agudo α a b α c

17. No estudo da Trigonometria, os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. C Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por “c”, é o cateto oposto ao ângulo C e “b” é o cateto adjacente. b c

18. Se estivermos operando com o ângulo B, então o lado oposto, indicado por “b”, é o cateto oposto ao ângulo B e “c” é o cateto adjacente b B c

19. cateto oposto a α hipotenusa cateto adjacente a α hipotenusa cateto oposto a α cateto adjacente Considerando-se o ângulo agudo αtem-se as seguintes Razões Trigonométricas entre os lados do Triângulo Retângulo C = Seno de B = Cosseno de B α = Tangente de B B A

20. Letra Ângulo Lado Lado oposto Triângulo Lado adjacente Vértice = Ângulo Medida a Hipotenusa A = Ângulo reto   A=90° C c cateto oposto b cateto adjacente b Cateto B = Ângulo agudo B<90° B b cateto oposto c cateto adjacente c Cateto C = Ângulo agudo C<90° Assim, adotaremos que:

21. Como os triângulos possuem dois ângulos congruentes então eles são semelhantes, logo possuem os lados proporcionais. (desconhecida) (conhecida) altura da pirâmide sombra de pirâmide altura da vara sombra da vara (desconhecida) (conhecida) Svara hp X hvara Spirâmide Logo: Após recordar as noções de trigonometria ,a idéia de Tales foi de calcular a altura da pirâmide com base na proporção entre as sombras. bastão fincado verticalmente no chão. altura da pirâmide comprimento da sombra da pirâmide comprimento da sombra do bastão

22. A seguir, também mediu o comprimento da sombra da pirâmide. Sua idéia era calcular a altura da pirâmide com base na proporção entre as sombras. bastão fincado verticalmente no chão. altura da pirâmide comprimento da sombra da pirâmide comprimento da sombra no bastão

23. Algumas aplicações da trigonometria Determinação da altura de um prédio.

24. Se um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, por exemplo, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa os conhecimentos de trigonometria.

25. Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa. Tudo isto é possível calcular mais facilmente com o uso da trigonometria.

26. Pesquisa de Campo Em grupos, os alunos escolheram um bairro da cidade e o percorreram investigando estruturas como igrejas, prédios, prefeitura, torres, monumentos, árvores... • Selecionaram três estruturas a serem medidas posteriormente; • Fizeram anotações utilizando um formulário que continha ítens que auxiliaram no desenvolvimento do projeto;

27. Os alunos providenciaram o material necessário para medir as alturas e construiram um astrolabio com material de sucata

28. Material utilizado para a Construção de um astrolábio alternativo Transferidor de 180º Canudinho de refrigerante ou um tubo de caneta Percevejos ou fita adesiva.

29. A construção é muito simples: basta fixar com o percevejo uma das extremidades do canudinho no centro do transferidor. Desse modo, o canudinho poderá girar em torno desse pino, percorrendo livremente a parte graduada e permitindo fazer a leitura dos ângulos de elevação.

30. Monumentos Escolhidos pelos grupos Prédio da Maçonaria Praça Central Igreja Matriz de São Gabriel - RS

31. Prefeitura de São Gabriel - RS Monumento em Homenagem ao Arcanjo Gabriel

32. Silos de Arroz desativados Imagem dos silos da Empresa Urbano

33. Usando o astrolábio

34. Medição Inicialmente, os alunos posicionaram-se a uma distância “d” da estrutura escolhida. Com o auxilio da trena, verificaram qual distância estavam da estrutura.

35. Com o auxílio do astrolábio, determinaram o ângulo de elevação da estrutura escolhida. Direcionaram a linha de fé do transferidor horizontalmente para um ponto do prédio. Mantiveram o instrumento fixo nessa posição e, girando o canudinho de modo que ele aponte para o alto da estrutura escolhida, observaram a medida do ângulo (α) indicada na escala do transferidor.

36. O próximo passo era encontrar um modelo que ilustrasse o que estavam observando e com o auxílio da tabela trigonométrica, descobrir a altura da estrutura observada. Assim, era possível verificar que, multiplicando a tangente do ângulo observado, pela distância que estavam em relação à estrutura observada e adicionando a sua própria altura , encontrariam a altura procurada. O modelo matemático descrito foi:H = h + d. tgα.

37. Ainda foi solicitado ao grupo que fizesse o desenho da estrutura observada, e que este desenho servisse como um modelo matemático onde fosse possível verificar a existência do triângulo retângulo na figura.

38. 67º 6m 1,62m Prefeitura de São Gabriel - RS H = d * tg 67º + h H = 6 * 2,14 + 1,62 H = 14,46 m

39. H d h Como exercício para verificar a compreensão dos alunos em relação à medição realizada, utilizando as ideias de Tales, solicitou-se que fizessem um desenho, com legendas explicativas, sobre essa medição. modelo matemático

40. Desenho e cálculos

41. Logo depois, foi solicitado ao grupo que respondesse como se pode medir a altura de uma árvore num dia nublado, e também que determinasse a altura de uma parede, de um poste ou de uma árvore, com o auxílio das sombras, fazendo um desenho com legendas para mostrar suas conclusões.

42. Cálculo da altura de um poste

43. Finalizando a Temática Como fecho da temática estudada solicitou-se que o grupo de alunos construísse uma maquete, reproduzindo de modo mais fiel possível os elementos envolvidos nessa medição.

44. Os alunos poderiam utilizar madeira, cartolina, linhas, pregos, desde que mantivessem a proporção entre a construção real e a maquete. Numa etiqueta, deveriam ser identificados o nome e a altura do objeto real, bem como as medidas dos ângulos e a respectiva escala.

45. Formulário para atividade do Projeto “Investigando Alturas” Grupo:.............Escolha um nome para seu grupo... Seja criativo Série: .............................................. Turma: .................................. Componentes: ...........................................................,............................................. Data do passeio investigativo: ............................................... Estrutura observada:.............................................................................................. ........................................................................................................................ Nome do produto:............................................................................................. Altura Estimada: ............................................................................. Desenho: Desenhe a estrutura escolhida Cálculo: Mostre como você procedeu com os cálculos Altura Calculada: ..................................................................