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6 장 굽 힘. • 전단력 선도 및 모멘트 선도 • 최대 전단력 및 모멘트에 의한 굽힘응력 • 단면 : 대칭 , 비대칭 • 재료 : 선형 , 비선형 • 곡선부재 • 응력집중과 잔류응력. 단순지지보. 외팔보. 내다지보 ( 돌출보 ). 6.1 전단력 및 모멘트 선도. 보 (beam): 횡방향 하중을 받고 있는 가늘고 긴 부재 ex) 빌딩의 마루 , 다리 , 비행기의 날개 , 차축 , Crane boom, 인체의 뼈대. 수학적 모델의 표현방법. 지지 조건에 따른 보의 분류.
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bkhan@wow.hongik.ac.kr 6 장 굽 힘 •전단력 선도 및 모멘트 선도 •최대 전단력 및 모멘트에 의한 굽힘응력 •단면: 대칭, 비대칭 •재료: 선형, 비선형 •곡선부재 •응력집중과 잔류응력
bkhan@wow.hongik.ac.kr 단순지지보 외팔보 내다지보(돌출보) 6.1 전단력 및 모멘트 선도 보(beam): 횡방향 하중을 받고 있는 가늘고 긴 부재 ex)빌딩의 마루, 다리, 비행기의 날개, 차축,Crane boom,인체의 뼈대 수학적 모델의 표현방법 지지 조건에 따른 보의 분류 SFD(Shear Force Diagram), BMD(Bending Moment Diagram)의 용도 (i) Vmax, Mmax의 값 및 발생위치: 보의 설계에 이용(chap.11) (ii)변형, 내부에너지 계산, 보강 위치 결정(chap. 12)
bkhan@wow.hongik.ac.kr x3 x2 x1 좌표축의 설정 SFD, BMD 작성: 하중이 변화하는 위치에서 불연속이므로, 구간별로 좌표축을 달리 잡는다. 좌표축 설정방법은 위와 같이 다양하게 할 수 있음.
bkhan@wow.hongik.ac.kr w(x) +w(x)는 아래방향 v v +V는 시계방향 회전 M M +M은 형태로 굴곡 부호규약
bkhan@wow.hongik.ac.kr 해석과정 보의 전단력 및 모멘트 함수를 구하여 SFD와 BMD를 그리는 방법: 지점반력: 자유 물체도를 작성하고 힘의 평형조건 적용. 전단력 및 모멘트 함수: i) 하중의 불연속점을 기준으로 구간을 나누어 좌표를 설정. ii) 전단력과 모멘트를 구하고자 하는 점(좌표 x)에서 부재를 절단, iii) 평형조건 적용. 전단력 및 모멘트 선도: 얻어진 함수를 plot한다. 일반적으로 자유 물체도 아래에 선도를 그린다.
bkhan@wow.hongik.ac.kr RC RA 예제 6.1 Note : 전단력은 집중하중이 있는B점에서 불연속 보의SFD, BMD 작성. RA=RC=P/2 : 좌우 대칭 지점반력: 전단력 및 모멘트 함수: 선도는 위에서 얻어진 함수를plot 한다.
bkhan@wow.hongik.ac.kr RA RC 예제 6.2 보의SFD, BMD 작성. RA=RC=P/2 지점반력: 전단력 및 모멘트 함수: Note: 모멘트 선도가 점프
bkhan@wow.hongik.ac.kr 예제 6.3 보의SFD, BMD 작성. 지점반력: RA=RC=P/2 전단력 및 모멘트 함수: 전단력 및 모멘트 선도: Note : V=0인 점에서 M값이 최대.
bkhan@wow.hongik.ac.kr MA RA 예제 6.4 보의SFD, BMD 작성. RA=woL/2, MA=woL2/3 지점반력: 전단력 및 모멘트 함수:
bkhan@wow.hongik.ac.kr RC RA 예제 6.5 보의SFD, BMD 작성. 지점반력: RA=30 kip, RC=42 kip 전단력 및 모멘트 함수:
bkhan@wow.hongik.ac.kr RC RA 예제 6.6 보의 SFD, BMD 작성. 지점반력: RA=5.75 kN, RC=34.25 kN 전단력 및 모멘트 함수:
bkhan@wow.hongik.ac.kr Alternative: 선도는 위에서 얻어진 함수를 plot.
bkhan@wow.hongik.ac.kr 해금강삼일포에서 남강을 끼고 십리쯤을 가면 곳에 해금강이 있으며, 금강산의 줄기가 바다로 이어졌다 하여 해금강이라 부른다.
bkhan@wow.hongik.ac.kr 6.2 전단력 및 모멘트 선도의 도식적 작성 방법 분포하중 영역 w(x), V(x), M(x)가 서로 연관되어 있음을 이용하여 도식적으로SFD, BMD를 그릴 수 있다. Neglect x0의 극한을 취하면, 기울기 면적
bkhan@wow.hongik.ac.kr 기울기 면적 V=0인 지점에서 M의 slope =0, 즉M이 최대 값을 갖는다.
bkhan@wow.hongik.ac.kr Timoshenko방식 Crandhal방식 +F +F +w(x) +q(x) +V +V +M +M 집중 하중과 모멘트 영역 F ↓ (F > 0):하중 점에서SFD가F만큼jump down↓ F ↑ (F > 0):하중 점에서SFD가F만큼jump up↑ M(cw):하중 점에서BMD가M 만큼jump up↑ M(ccw): 하중 점에서 BMD가 M 만큼jump down ↓
bkhan@wow.hongik.ac.kr Timoshenko 방식 n 차 곡선 (n+1) 차 (n+2) 차
bkhan@wow.hongik.ac.kr 해석과정 하중, 전단력, 그리고 모멘트 사이의 관계식을 근거로 SFD & BMD 작성 방법 제시 지점 반력: 보의 자유 물체도를 그리고, 평형조건을 고려하여 구함. 전단력 선도: 보의 양단에서의 알고 있는 전단력 값을 SFD에 먼저 표시. dV/dx=-w이므로, 전단력 선도의 기울기는 그 점에서의 하중 세기와 같으며, 방향은 반대이다. 모멘트 선도: 보의 양단에서의 알고 있는 모멘트 값을 MD에 먼저 표시. dM/dx=V이므로, 전단력 선도의 기울기는 그 점에서의 전단력 세기와 같다.
bkhan@wow.hongik.ac.kr 예제 6.7 보의 SFD, BMD 작성. 지점반력: 전체 보의 자유물체도의 평형으로부터 RA= P, MA= -PL 전단력 선도: V=P at x=0 & L (w=0 in 0<x<L) 전단력 선도의 기울기는 0 이다. 모멘트 선도: M= -PL at x=0, M=0 at x=L ( V=P in 0<x<L) 모멘트 선도의 기울기는P(+)이다.
bkhan@wow.hongik.ac.kr 예제 6.8 보의 SFD, BMD 작성. 지점반력: 전체 보의 자유물체도의 평형으로부터, MA= Mo 전단력 선도: V=0 at x=0 & L (w=0 in 0<x<L) 전단력 선도의 기울기는 0 이다. 모멘트 선도: M=Mo at x=0 ( V=P=0 in 0<x<L) 모멘트 선도의 기울기는 0 이다.
bkhan@wow.hongik.ac.kr 예제 6.9 보의 SFD, BMD 작성. 지점반력: 전체 보의 자유물체도의 평형으로부터, RA= woL, MA= -woL2/2 전단력 선도: V= RA= woL at x=0, V= 0 at x=L ( w=wo in 0<x<L) 전단력 선도의 기울기는-wo이다. 모멘트 선도: M=-wo L2/2 at x=0, M=0 at x= L (V=woL→0 in 0<x<L; 1차 감소) 모멘트 선도는 비선형 2차 증가.
bkhan@wow.hongik.ac.kr 예제 6.10 보의 SFD, BMD 작성. 지점반력: 전체 보의 자유물체도의 평형으로부터, RA= woL/2, MA= -woL2/6 전단력 선도: V= RA= woL/2 at x=0, V= 0 at x=L ( w=wiin 0<x<L) 전단력 선도의 기울기는-wi이다. 모멘트 선도: M=-wo L2/6 at x=0, M=0 at x=L ( V=woL→0 in 0<x<L; 2차 감소) 모멘트 선도는 3차로 증가.
bkhan@wow.hongik.ac.kr 예제 6.11 보의 SFD, BMD 작성. 지점반력: 전체 평형에서;RA= 15 kip, RB=30 kip 전단력 선도: V= 15 kip at x=0, V=-30 kip at x=L w=wix in0<x<L, 전단력 선도의 기울기; -wi V=0인 점; 모멘트 선도: M=0 at x=0 & L 전단력 부호 변화 at x=26; 모멘트 선도의 기울기가 변화(3차).
bkhan@wow.hongik.ac.kr 예제 6.12 보의 SFD, BMD 작성. 지점반력: 전체 평형에서,RA= 4.8 kN, RB=11.2 kN 전단력 선도: V=4.8 kN at x=0, V=-11.2 kN at x=L, 집중하중 작용점에서jump 됨. 모멘트 선도: M=0 at x=0 & L 이다.
bkhan@wow.hongik.ac.kr 집중모멘트 유무의 비교
bkhan@wow.hongik.ac.kr 예제 6.13 보의 SFD, BMD 작성. RA=4.40 kip, RC=17.6 kip 지점반력: 전단력 선도: V=4.40 kip at x=0, V=0 at x=14 ft, 집중하중 작용점에서jump. 모멘트 선도: M=0 at x=0 & 14 ft, 전단력 부호 변화at x=4 & 10 ft. 선도의 기울기 부호도 이점에서 바뀐다. M=0 인 점의 위치:
bkhan@wow.hongik.ac.kr 6.3 직선부재의 굽힘 변형 조건: 보 단면에 적어도 하나의 대칭축(y축)이 있어야 하고, 대칭축에 수직인 방향(z축)으로 굽힘모멘트가 작용한다 변형의 관찰
bkhan@wow.hongik.ac.kr 중립축 종축 중립면 변형의 관찰 변형의 관찰 결과 또는 가정 (i) 중립면상의 모든 종방향 선분은 길이 변화가 없다. (ii) 보의 모든 단면은 평면을 유지하고 종방향 축에 수직이다. (iii) 보의 단면의 변형은 무시
bkhan@wow.hongik.ac.kr 즉, (종축방향)은 중립 축으로부터의 거리 y에 선형적으로 비례
bkhan@wow.hongik.ac.kr 가정: uniaxial stress x≠0, all other 's=0 ( free boundaries) Note: x= x /E y= x y >0 for y>0(x <0) z= x z >0 for y>0(x <0) Anticlasticcurvature:
bkhan@wow.hongik.ac.kr 선형탄성거동에서는= E이므로이다. 예) 6.4 굽힘공식 ~M의 관계로부터 중립면의 위치를 구하면,
bkhan@wow.hongik.ac.kr 굽힘공식은 균질재료, 선형탄성 거동하는 균일 단면 직선부재의 수직응력을 구하는데 사용됨. 내부 모멘트: 절단하고, 자유 물체도와 힘의 평형조건 적용. 단면의 성질: 단면적 A,관성모멘트 I. 수직응력: 중립축의 위치 설정이 축에서 구하고자 하는 점까지의 거리 y를 구함. 굽힘공식 적용 I는 단면의 관성모멘트(moment of inertia). 굽힘공식(flexure formula) 테이퍼 부재에도 적용가능; 15인 경우 엄밀해와 약 5.4% 오차. 해석과정
bkhan@wow.hongik.ac.kr 예제 6.14 그림과 같은 응력분포일 때, 보의 내부 모멘트 M을 구하라. a) 굽힘공식을 이용, b) 기본원리로 응력분포의 합을 구하라. a) 굽힘공식:max=2 ksi, c=6 in., I=bh3/12=864 in4 b) 응력분포의 합=0: 중립축에서 거리 y인 스트립 요소 dA에서의 응력, c) Alternative: 합력: 모멘트:
bkhan@wow.hongik.ac.kr 예제 6.15 보의 절대 최대 굽힘응력을 구하고, 그 단면의 응력분포는? 단면 성질: 최대 내부 모멘트: M=22.5 kN-m at center from BMD 절대 최대 굽힘응력: c=170 mm 점 B에서의 굽힘응력: yB=170 mm
bkhan@wow.hongik.ac.kr 예제 6.16 단면 a-a에서의 보의 절대 최대 굽힘응력는? 도심 및 내부 모멘트: 단면의 성질: 최대 굽힘응력: c= 0.200-0.05909=0.1409 mm Note:굽힘응력 이외에도 수직력N=1 kN과 전단력V=2.4 kN에 의한 응력도 발생함에 유의: 총 응력x= bending+ N =-My/I + N/A
bkhan@wow.hongik.ac.kr 예제 6.17 두 경우의 최대 굽힘응력의 비교 늑재(rib)가 없는 경우: 늑재(rib)가 있는 경우: Note:보강된 경우max= Mc/I에서, 보강재는I 값을 증가하지만c도 증가하여 결과적으로 최대응력이 증가하는 효과도 있음.
bkhan@wow.hongik.ac.kr 6.5 비대칭 굽힘 비대칭단면, 모멘트의 방향이 임의인 경우에도 굽힘공식은 적용가능 Case I :비대칭단면 (단, 직선 보이고 균일단면) a.좌표축 설정: 원점 = 도심 b.합모멘트 M의 방향 (즉, 중립축) = z축
bkhan@wow.hongik.ac.kr 평형조건: z축이 도심 통과하므로 OK. 대칭축이 있으면, 만족됨. z축이 중립축이므로, =-(y/c)max를 대입하면, max= Mc/I가 된다. ∴ 관성곱(product of inertia) Iyz = 0일 때 위의 두 번째 식이 만족됨. 관성 주축: 관성곱이 0인 두 축, 예: 대칭축 및 그에 수직인 축. 이 때 굽힘 식은 적용 가능하며, 평형조건식이 모두 성립.
bkhan@wow.hongik.ac.kr 예) Summary : M이 관성주축 방향으로 작용 굽힘공식이 성립, 평형조건이 만족.
bkhan@wow.hongik.ac.kr Case II :임의 방향의 굽힘모멘트 굽힘모멘트를 관성주축 방향으로 분해하여 각 문제의 응력의 합으로 굽힘응력을 구한다. 즉, y + = 중립축(=0)의 방향: Mz=M cos, My=M sin
bkhan@wow.hongik.ac.kr 예제 6.18 단면의 각 곡지점에 발생하는 굽힘응력의 크기와 중립축 방향은? 내부 모멘트 성분: 단면의 성질: 굽힘 응력:
bkhan@wow.hongik.ac.kr 중립축의 방향: 변BC에서 비례관계로 부터 점 D의 중립축까지 거리.
bkhan@wow.hongik.ac.kr 예제 6.19 M=15 kN-m가 작용할 때, T형 보의 최대 수직응력과 중립축 방향? 내부 모멘트 성분: 단면의 성질:
bkhan@wow.hongik.ac.kr 최대 굽힘 응력: 최대 수직응력은 점C에서 발생. 중립축의 방향:
bkhan@wow.hongik.ac.kr 예제 6.20 M=20 kN-m가 작용하는Z형 보의 주축은 y, z이며, 주 관성모멘트는 Iy= 0.960(10-3) m4, Iz=7.54(10-3) m4이다. 점 P의 수직응력과 중립축 방향은? 내부 모멘트 성분: 최대 굽힘 응력: 중립축의 방향:
bkhan@wow.hongik.ac.kr → N.A의 위치 응력의 크기 6.6 복합보 (수직변형률: 선형 (굽힘응력) 1= E1 2= E2 ∵단면은 평면유지)
bkhan@wow.hongik.ac.kr 등가의 균일재료로 변환 n: 변환계수 E1>E2 (가정)
bkhan@wow.hongik.ac.kr 예제 6.21 M=15 kN-m가 작용할 때, T형 보의 최대 수직응력과 중립축 방향? 등가 폭: 등가 단면의 도심 및 관성모멘트: 수직 응력:
