BAB
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 28

BAB IV LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN PowerPoint PPT Presentation


  • 186 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

BAB IV LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN. 4.1 Pendahuluan Sebelum mambahas limit fungsi di suatu titik , terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi f bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal terdapat suatu fungsi f(x) = x + 4.

Download Presentation

BAB IV LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

BAB IV

LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

4.1 Pendahuluan

Sebelummambahas limit fungsidisuatutitik, terlebihdahulu

kitaakanmengamatiperilakusuatufungsi f bilapeubahnya

mendekatisuatubilanganril c tertentu.

  • Misalterdapatsuatufungsi f(x) = x + 4.

  • Untukmenentukanharga f bila x mendekatibilanganril

  • tertentu, misal 2, kitadapatmengamatinyadenganbantuan

  • tabeldanGambar 3.1


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

y

0,0001

6,0001

6

5,9999

0,0001

x

O

2

0,0001

0,0001

2,0001

1,9999

Gambar 4.1


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

Dari TabelatauGambar4.1 dapatdilihatbahawauntuk x

mendekati 2 (baikdariarahkirimulaidari 1,9 maupundari

arahkananmulaidari 2,1) didapatharga f yang mendekati 6.

Sedangkanuntuk x = 2 harga f adalah 6.

  • Selanjutnyacobaperhatikanfungsi x lainnyayaitu,

(x2+ 1)(x+ 3)

x3 + 3x2 + x+ 3

Jikafungsipembilangkitafaktorkan, didapat

f(x) = atau f(x) = x2 + 1 untuk x  3

f(x) =

x+ 3

x+ 3

Artinya f(x) = x2 +1 takterdefinisiuntuk x = –3. Untuk

mengamatiperilakufungsidisekitartitik x = –3 berikut

perhatikanTabeldanGrafikfungsi f(x) = x2 +1 untuk x –3

(Gambar 4.2).


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

y

10,00060001

9,99940001

x

–3

0

0,0001

0,0001

  • – 2,9999

  • – 3,0001

Gambar 4.2


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

JikakitaperhatikanTabeldanGambardiatasmakakitadapat

melihatbahwauntukharga x mendekati –3 makaharga f(x)

mendekati 5.

Dari uraiandiatasdapatdisimpulkanbahwa:

  • Jikasebuahfungsiterdefinisipadasuatuselangterbuka yang

  • memuatbilanganril c tertentu, kecualimungkindititik c itu

  • sendiri, dan

  • bila f(x) mendekatibilanganril L tertentupadasaat x

  • mendekati c, makadapatditulis,

f(x) = L (4.1)

lim

xc

dibaca “ limit f(x) adalah L bila x mendekati c” atau “f(x)

  • mendekati L bila x mendekati c”


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

y

L + 

f(x)

f(x) - L

L

f(x) - L

f(x)

L - 

x

c - x c x c + 

0

c-x x-c


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

Untuk x < c , maka : 0 < c – x < atau 0 > x – c > -

Untuk x > c , maka : 0 < c – x < 

Dari keduapersamaandiatas, didapat 0<|x – c |< (4.2)

Untuk f(x) < L, maka L – f(x) < atau f(x) – L > -

Untuk f(x) > L, maka f(x) – L < 

Sehinggadidapat |f(x) – L | <  (4.3)

Dari Gambar 4.3 danpersamaan 4.1 s/d 4.3 makadidapatdefinisi

sebagaiberikut,

lim

f(x) = L

xc

Pernyataan , berartiuntuksetiap > 0 terdapat >0

sedemikianrupa ,

sehinggajika 0 <|x – c|< , maka |f(x) – L |<  (4.4)


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

4.3 Limit fungsi

Untukmenyederhanakanpermasalahan, berikutdiberikan

rumus-rumuspenyelesaian limit yang didapatdengan

bantuandefinisi limit. Padarumus-rumusini b, c, k dan L

adalahbilangan-bilanganril, a bilanganrilpositif, sedangkan

m dan n adalahbilanganrilpositif.

  • Teorema-teorema

1.

x = c (4.5)

lim

Bukti :

Untuksetiap > 0 makaterdapat > 0 sedemikian

rupasehingga, jika 0 < |x – c| < , makaterdapat

  • |x – c| < 

xc

Jadiuntuk =  didapat |x – c| < 


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

Contoh 4.1

Bukti :

Untuksetiap > 0 makaterdapat > 0 sedemikianrupa

sehingga,

  • jika 0 <| x – c| < , mak a terdapat |k – k| < .

  • Karena |k – k | = 0, makadefinisiterpenuhi

x = 5

k = k = c (4.6)

x = –7

a.

b.

2.

lim

lim

lim

x5

x–7

xc


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

Contoh 4.1

lim

lim

xc

xc

lim

lim

Bukti

xc

xc

4 = 4

[f(x) + g(x)] = f(x) + g(x) (4.7)

9 = 9

3.

b.

a.

lim

lim

lim

Dari definisi, untuksetiap > 0 terdapat > 0 sedemikian

rupasehingga,

  • Jika 0<|x – c|<, maka |(f(x) + g(x) – (L1 + L2)|< 

  • atau

  • |((f(x) – L 1) + (g(x) – L2))| < 

dan

g(x) = L2

f(x) = L1

xc

x2

x–3


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

Dari ketidaksamaansegitigadidapat,

1

1

1

2

2

2

|((f(x) – L 1) + (g(x) – L2))|  |f(x) – L1|+|g(x) – L2| atau

|((f(x) + g(x)) – (L 1 + L2))|  | f(x) – L1|+|g(x) – L2|

Karena f(x) = L1 , makauntuksetiap>0 terdapat

1>0 sedemikianrupa, sehingga

lim

lim

xc

xc

Selanjutnya, karena g(x) = L2 , makauntuksetiap

1

 > 0terdapat2>0 sedemikianrupa, sehingga

2

jika 0 < | x – c| < 1maka |f(x) – L1 <  (*)

jika 0 < |x – c|< 2, maka |f(x) – L 2| <  (**)


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

Dari ketidaksamaansegitigadidapat,

1

1

|(f(x) – L1)+(g(x) – L2|  |f(x) – L1|+|g(x) – L2| atau

2

2

|(f(x) + g(x) –(L1+ L2))| |f(x) – L1|+|g(x) – L2| (**)

Dari (*), (**), dan (***) didapat,

|(f(x) + g(x) –(L1+ L2))| <  +  atau

lim

lim

xc

xc

|(f(x) + g(x) –(L1+ L2))| <  (terbukti)

Contoh 4.3

[f(x) – g(x)] = f(x) – g(x) (4.8)

4.

lim

lim

lim

lim

(x+6) = x + 6 = 5 + 6 = 11

xc

x5

x5

x5

Bukti, ikutipembuktianteorema 3


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

Bukti

lim

lim

dan

Misal

xc

xc

Dari ketidaksamaansegitigadidapat,

Contoh 4.4

g(x) = L2

f(x) = L1

[f(x) . g(x)] = f(x) . g(x) (4.9)

5.

lim

lim

lim

lim

lim

lim

|f(x) . g(x) – L1L2| = |f(x) . g(x) – L2f(x) + L2f(x) – L1L2| 

|f(x)||g(x) – L2f(x)| + |L2||f(x) – L1| 

|f(x)||g(x) – L2f(x)| + (1+ |L2|)|f(x) – L1| (i)

(7 –x) = 7 – x = 7 – 5 = 2

x5

x5

xc

x5

xc

xc


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

Untuksetiap1 > 0 terdapat 1 > 0 sedemikianrupa , sehingga

jika 0 < |x – c| < 1, maka |f(x) – L1| < 1 (ii)

Dari ketidaksamaansegitigadidapat ,

|f(x) – L1|  |f(x) – |L1| (iii)

Dari (ii) dan (iii) didapat

|f(x)| – |L1| < 1atau |f(x)| < |L1| +1 (iv)

Denganmengambilnilai 1 = 1, maka |f(x)| < |L1| +1 (v)

Untuksetiap2 > 0 terdapat 2 > 0 sedemikianrupa , sehingga

jika 0 < |x – c| < 2, maka |f(x) – L2| < 2 (vi)


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

Denganmengambilnilai 2 = , makadari (vi)

didapat, |g(x) – L2| < (vii)

Untuksetiap21> 0 terdapat 1 > 0 sedemikianrupa ,

sehingga , jika 0 < |x – c| < 3, maka |f(x) – L1| < 3 (vii)

½ 

½ 

½ 

½ 

Denganmengambilnilai 3 = , makadari (vii)

1 + |L1|

1 + |L2|

1 + |L1|

1 + |L1|

didapat, |g(x) |– |L1| < (ix)


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

Selanjutnyadaripersamaan (i), (v), (vii), dan (ix) didapat,

Denganmemilih = min(1, 2, 3 ) akandidapatpernyataan,

jika 0 < |x – c| < , maka |f(x) – L1| <  (terbukti)

½ 

½ 

Contoh 4.5

1 + |L1|

1 + |L2|

lim

lim

x5

x5

(7 – x)(x + 1) = (7 – x) . (x + 1)

lim

x5

(7 – 5)(5 + 1) = (2)(6) = 12

|f(x) – L1L2| < (1+|L1|) + (1+|L2|) = 


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

– = , g(x)  0 (i)

|g(x) – L2|

f(x)

f(x)

|g(x)||L2|

g(x)

g(x)

Bukti

lim

lim

f(x)

6. = (4.10)

xc

xc

f(x) .

f(x)

= =

g(x)

1

1

1

1

g(x)

g(x)

g(x)

g(x)

Misal f(x) = L1dan =

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

xc

xc

xc

xc

xc

xc

xc

1

1

Untuk1 > 0 terdapat 1 > 0 sedemikianrupa, sehingga,

L2

L2

jika 0 < |x – c| < 1, maka |g(x) – L2| <1 (ii)


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

Dari ketidaksamaansegitiga,

|g(x) – L2| = | L2– g(x)|  |L2|– |g(x)| (iii)

Jadi | L2 – g(x)| <1  |g(x)| >|L2|–1 (iv)

Denganmenentukannilai1 = , maka

2

|L2|2

1

1

|L2|

|L2|

|L2|

|g(x)| > |L2| – =

g(x)

|g(x)|

2

2

2

2

Sehingga < (v)

|L2|

1

Selanjutnyadari (i) dan (v) didapat ,

L2

–  |g(x) – L2| (vi)


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

Untuk1 > 0 terdapat 2sedemikianrupa, sehingga

jika 0 < |x – c|<2, maka |g(x) – L2| < 2 (vii)

Denganmenentukannilai1 = , makapersamaan (vii) menjadi,

2

|L2|2

1

1

g(x)

g(x)

Dari persamaan (i), (v), dan (viii) didapat

|g(x) – L2| < (viii)

|L2|2

|L2|2

|L2|2

2

2

2

1

1

Denganmemilih = min(1, 2) akandidapatpernyataan,

L2

L2

–  = 1 (ix)

jika 0 < |x – c| < , maka– < .


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

Hal inimembuktikanbahwa

x

f(x)

= =

3 – x

g(x)

L1

lim

lim

lim

lim

f(x)

L2

xc

x–4

x–4

xc

g(x)

1

1

Contoh 4.6

g(x)

g(x)

x

f(x) (4.11)

[af(x)] = a

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

Jadi = f(x) = = (terbukti)

xc

xc

xc

xc

x–4

xc

xc

= = =

1

3 – x

1

g(x)

L2

–4

–4

3 – (–4)

7

7.

Bukti, lihatpersamaan (4.6) dan (4.9)


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

Contoh 4.7

a. 9x = 9 x = 9e

b. 3(4 – x) = 3 (4 – x) = 3(4 –)

n

f(x)

lim

8.

xc

Bukti

[f(x)]n = [f(x)].[f(x)]. … . [f(x)] denganjumlahfaktor f(x)

adalah n

[f(x)]n =

[f(x)]n =

[f(x)]n =

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

xc

xe

xe

xc

x

xc

xc

xc

xc

x

xc

[f(x).f(x). … . f(x)]

f(x). … .

f(x)

f(x) .

Dari persamaan 4.9 didapat,


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

Dari persamaan 4.9 didapat,

= n

Contoh 4.8

7

(x – 3)7 = (x – 3) = (2 – 3) = –1

[f(x)]n =

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

x2

xc

xc

xc

x2

xc

xc

[f(x)] (terbukti)

f(x)

f(x). … .

f(x) .


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

9. Teorema Sandwich ( teoremaapit )

Misalterdapat f(x)  h(x)  g(x) untuksetiapharga x pada

suatuselangterbuka yang mengandung c, kecualimungkin

dititik c itusendiri.

Jika f(x) = L = g(x),

Bukti :

Untuksetiap > 0 terdapat1>0 dan 2>0 sedemikian

rupasehingga,

maka h(x) = L (4.13)

Jika 0 < |x – c| < 1 , maka | f(x) – L| < 

Jika 0 < |x – c| < 2 , maka | g(x) – L| < 

(*)

Untuk = min(1,2) dan 0< |x – c| <, makaketidaksamaan

(*) menjadi , –  < f(x) – L < dan–  < g(x) – L < 


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

Sehingga 0 < |x – c| < 

L – < f(x) dan g(x) < L + 

Karena f(x)  h(x)  g(x), sehinggajika 0 < |x – c| < , maka

L –  < h(x) < L +  atau |h(x) – L | <  (terbukti)

Contoh 4.9

Penyelesaian:

(kalikansemuasukudengan x2)


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

10. Limit sepihak

(4.14)

Contoh 4.10

Penyelesaian


Bab iv limit fungsi dan kekontinuan

Karena limit kiri = limit kanan = 5, maka


  • Login