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Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé. Mohamed HAYEK François LEHMANN Philippe ACKERER. Institut de Mécanique des Fluides et des Solides de Strasbourg.

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Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé

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Presentation Transcript


Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé

Mohamed HAYEK

François LEHMANN

Philippe ACKERER

Institut de Mécanique des Fluides et des Solides de Strasbourg


  • Equation de l’écoulement dans un milieu poreux non saturé (Equation de Richards)

- Condition à la limite supérieure:

- Condition à la limite inférieure:


  • Relations entre h, K, et

Le modèle de van Genuchten-Mualem model (1980):


  • But du travail

Hypothèse: les paramètres hydrodynamiques sont constants par zone.

Problèmes à résoudre:

  • Trouver la distribution des zones dans le domaine.

  • Estimer les paramètres dans chaque zone (Résolution du

  • problème inverse).


Problème 2:Estimation des paramètres hydrodynamiques

(Résolution du problème inverse)


  • Résolution de l’équation de l’écoulement (le problème direct)

  • Linéarisation:

  • Picard, Newton-Raphson, Primary variable switching (Diersch and Perrochet, 1999)

- Primary variable switching:

Résidu du système:

On linéarise par rapport à la variable X:


  • Comparaison entre les différentes méthodes de linéarisation

Pression imposée

Pression imposée


plus rapide si Np

n’est pas assez grand

  • Formulation du problème inverse

- La fonction objectif:

- Minimisation:

les algorithmes de minimisation les plus fréquents: Gauss-Newton et Quasi-Newton

Gauss-Newton

Quasi-Newton

Approcher le Hessien

sans jamais le calculer

Calcul exact du Hessien

à partir des sensibilités


  • Méthode de Gauss-Newton (Algorithme de Levenberg Marquardt)

Gradient:

Jacobien:


Sensibilités:

Un système linéaire par paramètre


  • Problème inverse


Problème 1:Déterminer la distribution des zones dans

le domaine


discontinuité:

Au premier ordre:

  • Indicateur de raffinement (Chavent and Bissel, 1998, Ben Ameur et al., 2002)


au minimum:

Indicateur de Raffinement


Indicateur correspondant au paramètre pk

et à la localisation i

, Indicateur normalisé

: Indicateur multidimensionnel

  • Indicateur de raffinement multidimensionnel

Normalisation

Norme


  • Calcul des gradients local

Méthode de l’état adjoint:

On considère le problème d’optimisation suivant:

Afin de résoudre ce problème, on introduit le Lagrangien:

Pour calculer les gradients locaux, on résout le système adjoint:


Système adjoint:

Les gradients locaux sont calculés par:


  • Algorithme de raffinement


C3

C1

C2

C4

5 cm

z

15.5 cm

10.5 cm

0.5 cm

5.5 cm

z=0

20.5 cm

11 cm

Zone 1

36 cm

40 cm

Zone 2

76 cm

59.5 cm

Zone 3

  • Exemples Numériques: Cas de 3 zones

Condition à la limite supérieure

Condition à la limite inférieure


60.5 cm

C

8

C

9

C

10

C

11

C

12

C

13

C

14

C

15

  • Première itération


20.5 cm

C

3

C

4

C

5

C

6

C

7

Zone 1

Zone 2

  • Deuxième itération


20.5 cm

Zone 1

60.5 cm

60.5 cm

Zone 1

Zone 2

120 cm

Zone 2

Zone 3

Cas de 3 zones

Paramétrisation obtenue

à la première itération

Paramétrisation obtenue

à la deuxième itération

Paramétrisation initiale


C3

C1

C2

C4

5 cm

z

15.5 cm

10.5 cm

0.5 cm

5.5 cm

  • Exemplesnumériques: Cas de 5 zones

Après quatre itérations:


z=0

20.5 cm

11 cm

Zone 1

36 cm

40 cm

Zone 2

76 cm

59.5 cm

Zone 3

  • Cas où les mesures sont entachées d’erreurs: Cas de 3 zones

  • La paramétrisation exacte a été retrouvée

  • après deux itérations.

  • Mêmes coupes sélectionnées à chaque itération

  • que dans le cas sans erreur de mesure.


z=0

20.5 cm

11 cm

Zone 1

40 cm

Zone 2

75 cm

59.5 cm

100 cm

Zone 3

  • Influence des positions des points de mesures

  • La paramétrisation exacte a été retrouvée après

  • deux itérations.

  • Plus de coupes sélectionnées à chaque itération..

  • Les paramètres sont parfaitement estimés à

  • l’exception de et de la zone 2.


  • Conclusion

  • Un algorithme de paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres

  • hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé a été présenté:

  • Les paramètres hydrodynamiques sont constants par zone.

  • L’indicateur de raffinement correspondant à chaque zone a été utilisé afin de

  • de définir l’indicateur multidimensionnel.

  • Les résultats numériques sont encourageants et montrent la robustesse de

  • l’algorithme.


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