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Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé. Mohamed HAYEK François LEHMANN Philippe ACKERER. Institut de Mécanique des Fluides et des Solides de Strasbourg.

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Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé

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Presentation Transcript


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé

Mohamed HAYEK

François LEHMANN

Philippe ACKERER

Institut de Mécanique des Fluides et des Solides de Strasbourg


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

  • Equation de l’écoulement dans un milieu poreux non saturé (Equation de Richards)

- Condition à la limite supérieure:

- Condition à la limite inférieure:


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

  • Relations entre h, K, et

Le modèle de van Genuchten-Mualem model (1980):


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

  • But du travail

Hypothèse: les paramètres hydrodynamiques sont constants par zone.

Problèmes à résoudre:

  • Trouver la distribution des zones dans le domaine.

  • Estimer les paramètres dans chaque zone (Résolution du

  • problème inverse).


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

Problème 2:Estimation des paramètres hydrodynamiques

(Résolution du problème inverse)


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

  • Résolution de l’équation de l’écoulement (le problème direct)

  • Linéarisation:

  • Picard, Newton-Raphson, Primary variable switching (Diersch and Perrochet, 1999)

- Primary variable switching:

Résidu du système:

On linéarise par rapport à la variable X:


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

  • Comparaison entre les différentes méthodes de linéarisation

Pression imposée

Pression imposée


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

plus rapide si Np

n’est pas assez grand

  • Formulation du problème inverse

- La fonction objectif:

- Minimisation:

les algorithmes de minimisation les plus fréquents: Gauss-Newton et Quasi-Newton

Gauss-Newton

Quasi-Newton

Approcher le Hessien

sans jamais le calculer

Calcul exact du Hessien

à partir des sensibilités


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

  • Méthode de Gauss-Newton (Algorithme de Levenberg Marquardt)

Gradient:

Jacobien:


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

Sensibilités:

Un système linéaire par paramètre


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

  • Problème inverse


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

Problème 1:Déterminer la distribution des zones dans

le domaine


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

discontinuité:

Au premier ordre:

  • Indicateur de raffinement (Chavent and Bissel, 1998, Ben Ameur et al., 2002)


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

au minimum:

Indicateur de Raffinement


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

Indicateur correspondant au paramètre pk

et à la localisation i

, Indicateur normalisé

: Indicateur multidimensionnel

  • Indicateur de raffinement multidimensionnel

Normalisation

Norme


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

  • Calcul des gradients local

Méthode de l’état adjoint:

On considère le problème d’optimisation suivant:

Afin de résoudre ce problème, on introduit le Lagrangien:

Pour calculer les gradients locaux, on résout le système adjoint:


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

Système adjoint:

Les gradients locaux sont calculés par:


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

  • Algorithme de raffinement


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

C3

C1

C2

C4

5 cm

z

15.5 cm

10.5 cm

0.5 cm

5.5 cm

z=0

20.5 cm

11 cm

Zone 1

36 cm

40 cm

Zone 2

76 cm

59.5 cm

Zone 3

  • Exemples Numériques: Cas de 3 zones

Condition à la limite supérieure

Condition à la limite inférieure


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

60.5 cm

C

8

C

9

C

10

C

11

C

12

C

13

C

14

C

15

  • Première itération


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

20.5 cm

C

3

C

4

C

5

C

6

C

7

Zone 1

Zone 2

  • Deuxième itération


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

20.5 cm

Zone 1

60.5 cm

60.5 cm

Zone 1

Zone 2

120 cm

Zone 2

Zone 3

Cas de 3 zones

Paramétrisation obtenue

à la première itération

Paramétrisation obtenue

à la deuxième itération

Paramétrisation initiale


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

C3

C1

C2

C4

5 cm

z

15.5 cm

10.5 cm

0.5 cm

5.5 cm

  • Exemplesnumériques: Cas de 5 zones

Après quatre itérations:


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

z=0

20.5 cm

11 cm

Zone 1

36 cm

40 cm

Zone 2

76 cm

59.5 cm

Zone 3

  • Cas où les mesures sont entachées d’erreurs: Cas de 3 zones

  • La paramétrisation exacte a été retrouvée

  • après deux itérations.

  • Mêmes coupes sélectionnées à chaque itération

  • que dans le cas sans erreur de mesure.


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

z=0

20.5 cm

11 cm

Zone 1

40 cm

Zone 2

75 cm

59.5 cm

100 cm

Zone 3

  • Influence des positions des points de mesures

  • La paramétrisation exacte a été retrouvée après

  • deux itérations.

  • Plus de coupes sélectionnées à chaque itération..

  • Les paramètres sont parfaitement estimés à

  • l’exception de et de la zone 2.


Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur

  • Conclusion

  • Un algorithme de paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres

  • hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé a été présenté:

  • Les paramètres hydrodynamiques sont constants par zone.

  • L’indicateur de raffinement correspondant à chaque zone a été utilisé afin de

  • de définir l’indicateur multidimensionnel.

  • Les résultats numériques sont encourageants et montrent la robustesse de

  • l’algorithme.


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