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Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé

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Param trisation adaptative pour l estimation des param tres hydrodynamiques dans un milieu poreux non satur - PowerPoint PPT Presentation


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Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé. Mohamed HAYEK François LEHMANN Philippe ACKERER. Institut de Mécanique des Fluides et des Solides de Strasbourg.

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Presentation Transcript
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Paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé

Mohamed HAYEK

François LEHMANN

Philippe ACKERER

Institut de Mécanique des Fluides et des Solides de Strasbourg

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Equation de l’écoulement dans un milieu poreux non saturé (Equation de Richards)

- Condition à la limite supérieure:

- Condition à la limite inférieure:

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Relations entre h, K, et

Le modèle de van Genuchten-Mualem model (1980):

slide4

But du travail

Hypothèse: les paramètres hydrodynamiques sont constants par zone.

Problèmes à résoudre:

  • Trouver la distribution des zones dans le domaine.
  • Estimer les paramètres dans chaque zone (Résolution du
  • problème inverse).
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Résolution de l’équation de l’écoulement (le problème direct)

  • Linéarisation:
  • Picard, Newton-Raphson, Primary variable switching (Diersch and Perrochet, 1999)

- Primary variable switching:

Résidu du système:

On linéarise par rapport à la variable X:

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Comparaison entre les différentes méthodes de linéarisation

Pression imposée

Pression imposée

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plus rapide si Np

n’est pas assez grand

  • Formulation du problème inverse

- La fonction objectif:

- Minimisation:

les algorithmes de minimisation les plus fréquents: Gauss-Newton et Quasi-Newton

Gauss-Newton

Quasi-Newton

Approcher le Hessien

sans jamais le calculer

Calcul exact du Hessien

à partir des sensibilités

slide10

Sensibilités:

Un système linéaire par paramètre

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discontinuité:

Au premier ordre:

  • Indicateur de raffinement (Chavent and Bissel, 1998, Ben Ameur et al., 2002)
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au minimum:

Indicateur de Raffinement

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Indicateur correspondant au paramètre pk

et à la localisation i

, Indicateur normalisé

: Indicateur multidimensionnel

  • Indicateur de raffinement multidimensionnel

Normalisation

Norme

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Calcul des gradients local

Méthode de l’état adjoint:

On considère le problème d’optimisation suivant:

Afin de résoudre ce problème, on introduit le Lagrangien:

Pour calculer les gradients locaux, on résout le système adjoint:

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Système adjoint:

Les gradients locaux sont calculés par:

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C3

C1

C2

C4

5 cm

z

15.5 cm

10.5 cm

0.5 cm

5.5 cm

z=0

20.5 cm

11 cm

Zone 1

36 cm

40 cm

Zone 2

76 cm

59.5 cm

Zone 3

  • Exemples Numériques: Cas de 3 zones

Condition à la limite supérieure

Condition à la limite inférieure

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60.5 cm

C

8

C

9

C

10

C

11

C

12

C

13

C

14

C

15

  • Première itération
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20.5 cm

C

3

C

4

C

5

C

6

C

7

Zone 1

Zone 2

  • Deuxième itération
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20.5 cm

Zone 1

60.5 cm

60.5 cm

Zone 1

Zone 2

120 cm

Zone 2

Zone 3

Cas de 3 zones

Paramétrisation obtenue

à la première itération

Paramétrisation obtenue

à la deuxième itération

Paramétrisation initiale

slide23

C3

C1

C2

C4

5 cm

z

15.5 cm

10.5 cm

0.5 cm

5.5 cm

  • Exemplesnumériques: Cas de 5 zones

Après quatre itérations:

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z=0

20.5 cm

11 cm

Zone 1

36 cm

40 cm

Zone 2

76 cm

59.5 cm

Zone 3

  • Cas où les mesures sont entachées d’erreurs: Cas de 3 zones
  • La paramétrisation exacte a été retrouvée
  • après deux itérations.
  • Mêmes coupes sélectionnées à chaque itération
  • que dans le cas sans erreur de mesure.
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z=0

20.5 cm

11 cm

Zone 1

40 cm

Zone 2

75 cm

59.5 cm

100 cm

Zone 3

  • Influence des positions des points de mesures
  • La paramétrisation exacte a été retrouvée après
  • deux itérations.
  • Plus de coupes sélectionnées à chaque itération..
  • Les paramètres sont parfaitement estimés à
  • l’exception de et de la zone 2.
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Conclusion

  • Un algorithme de paramétrisation adaptative pour l’estimation des paramètres
  • hydrodynamiques dans un milieu poreux non saturé a été présenté:
  • Les paramètres hydrodynamiques sont constants par zone.
  • L’indicateur de raffinement correspondant à chaque zone a été utilisé afin de
  • de définir l’indicateur multidimensionnel.
  • Les résultats numériques sont encourageants et montrent la robustesse de
  • l’algorithme.
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