Cálculo II
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Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis PowerPoint PPT Presentation


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Cálculo II. Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis. Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis. O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x 0 ,y 0 ), é o número L (se existir) e é representado por.

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Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis

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Presentation Transcript


Limites e continuidade de fun es de v rias vari veis

Cálculo II

Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis


Limites e continuidade de fun es de v rias vari veis

Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por

Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0, y0), dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma.


Limites e continuidade de fun es de v rias vari veis

Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

Nas funções abaixo o limite existirá sempre, com exceção nas restrições.


Limites e continuidade de fun es de v rias vari veis

Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis


Limites e continuidade de fun es de v rias vari veis

Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis


Limites e continuidade de fun es de v rias vari veis

Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis


Limites e continuidade de fun es de v rias vari veis

Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis


Limites e continuidade de fun es de v rias vari veis

Limite

O conceito de limite de funções ordinárias pode ser estendido para funções de várias variáveis. Assim, diz-se que f(x,y) tende para um valor definido L (ou que lim f(x,y) = L), quando o par (x,y) se aproxima de (xo,yo), se quanto mais perto (x,y) estiver de (xo,yo), mais perto f(x,y) estará de L.


Limites e continuidade de fun es de v rias vari veis

Limite de f(x,y)


Propriedades dos limites

Propriedades dos Limites

Considerando f(x,y) e g(x,y) funções de duas variáveis, com lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = L e lim (x,y)(xo,yo) g(x,y) = M  0.

1º) lim (x,y)(xo,yo) L = L

2º) lim (x,y)(xo,yo) K.f(x,y) = k.lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = k.L

3º) lim (f + g) = lim f + lim g = L + M

4º) lim (f / g) = lim f / lim g = L / M

5º)

6º) De maneira geral,

Lim {[OP[f(x,y)]} = OP[lim f(x,y)] = OP(L)


Calculando limites

Calculando Limites


Calculando limites1

Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:

Calculando Limites


Calculando limites2

Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem:

Calculando Limites


Calculando limites3

Calculando Limites

Para o cálculo de limites de funções polinomiais e “funções lineares” é só substituir os valores para os quais de x e y estão tendendo. Para funções racionais, quando ocorre indeterminação, ao fazer este procedimento, deve-se então usar a regra dos “dois caminhos”.


Exemplo da regra dos dois caminhos

Exemplo da Regra dos Dois Caminhos

Mostrar que não existe.

Como f(xo,yo) = 0/0 = indeterminação


Ent o fa amos x y tender para 0 0 pelo eixo x e pela reta y x dois caminhos 1 caminho 2 caminho

Regra dos Dois Caminhos

z

1°caminho

2°caminho

y

x

Os limites são diferentes, logo não há o limite.

Então, façamos, (x,y) tender para (0,0), pelo eixo x e pela reta y = x (“dois caminhos”).

(1º caminho)

(2º caminho)


Continuidade de fun es de v rias vari veis

Continuidade de Funções de Várias Variáveis

O conceito de continuidade de uma função f(x,y) é o mesmo já descrito para funções ordinárias.

Assim, diz-se que uma função f(x,y) é contínua em (xo,yo), se lim(x,y)⃗(xo,yo)f(x,y) existe e é igual à f(xo,yo).

EXEMPLO:

Mostrar que não é contínua em (x,y) = (0,0)


Propriedades da continuidade

Propriedades da Continuidade

Se f(x,y) e g(x,y) são contínuas em (xo,yo), então:

  • f(x,y) + g(x,y) também é contínua.

  • f(x,y) . g(x,y) também é contínua.

  • f(x,y) / g(x,y) também é contínua.

  • u(x,y) = w[g(x,y)] também é contínua.


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