曲线和曲面上的积分
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曲线和曲面上的积分. 曲面积分 1. 曲面上的测度. 曲面积分. 曲面表示和曲面上的测度 第一型曲面积分 ( 质量 ) 第二型曲面积分 ( 流量 ). 曲面的映射观点定义. 设 [a,b] R k ,: [a,b] R n (nk+1) 若 连续 , 称 S=([a,b]) 为 R n 中的连续超曲面 若具有一阶连续导数 , 且 t[a,b],(t) 满秩 , 称 S= ([a,b]) 为 R n 中的 k 维光滑超曲面 ; 若是单射 , S= ([a,b]) 为 R n 中的 k 维正则超曲面

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Presentation Transcript


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曲线和曲面上的积分

曲面积分

1.曲面上的测度


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曲面积分

  • 曲面表示和曲面上的测度

  • 第一型曲面积分(质量)

  • 第二型曲面积分(流量)


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曲面的映射观点定义

  • 设[a,b]Rk,: [a,b] Rn (nk+1)

  • 若连续,称S=([a,b])为 Rn中的连续超曲面

  • 若具有一阶连续导数, 且t[a,b],(t)满秩, 称S= ([a,b])为 Rn中的k维光滑超曲面; 若是单射, S= ([a,b])为 Rn中的k维正则超曲面

  • 若连续,且存在[a,b]可以分成m个内部不相交的闭区域Wj, Lj=(Wj)是k维光滑(正则)超曲面,称S=([a,b])为 Rn中的k维分片光滑(正则)超曲面


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曲面的集合观点定义

  • 设SRn, 若存在: [a,b] Rk Rn, 有S= ([a,b])

  • 若连续, 就称S为Rn中的一个连续超曲面, 称为S的一个表示

  • 若光滑且导数点点不为零, 就称S为Rn中的k维光滑超曲面, 称为S的光滑表示

  • 若光滑,单射且导数点点不为零, 就称S为 Rn中的一条正则曲面, 称为S的正则表示


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同一超曲面可以有不同的表示

  • 同一超曲面可以有不同表示:

    • 集合观点下的正则超曲面一定有非正则的表示;

    • 几何上正则的超曲面未必有正则表示;

    • 几何上非正则的超曲面一定没有正则表示

  • 在下面的讨论中, 我们总假设

    • 连续,

    • S是正则或分片正则超曲面,是其相应的表示

    • 因此将对超曲面的两种观点统一


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超曲面的分类

  • 设: [a,b] Rn (n2), 连续

  • 若是单射,称L=([a,b])为Rn中的简单曲面

  • Rn中的闭超曲面:??

  • Rn中的简单闭超曲面:不带边的紧流形


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超曲面的方向(定向)

  • 可定向曲面(双侧曲面)

  • 不可定向曲面(单侧曲面)


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正则超曲面面积的定义

  • 设[a,b]Rk, :[a,b] Rn(nk+1),

    正则,S=([a,b]), 定义S的k维面积

    其中上标T表示矩阵的转置


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对超曲面面积公式的说明

  • 面积公式的推导

    • Rn中k维平行2k面体的体积计算

    • 用切超平面块近似超曲面面积

  • n-1维超曲面的面积公式

    • 由参数方程给出的曲面体积公式

    • 由函数图像给出的曲面体积公式


R n k 2k

Rn中k维平行2k面体的体积

  • 设E是由Rn中k个线性无关向量V1,V2,…,Vk所张成的平行2k面体, 由Schmidt正交化方法得到与其等体积的直角平行2k面体E0, 张成E0的k个向量是a1,a2,...,ak两组向量间的关系


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平行2k面体的体积(续1)

  • 体积公式: |E|=|E0|=|a1|•|a2|•…•|ak|也就是

  • 也就是


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平行2k面体的体积(续2)

  • 由此就得到

    其中

    注意Vj都是列向量.


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平行2k面体体积公式解释

  • Binet-Cauchy公式: 设A=(aij)nk, B=(bij)nk, 则

  • 对这个公式的解释: Rn中的平行2k面体的体积的平方等于其在 Rn中所有k维坐标面中投影的平方和(一般勾股定理)


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用切超平面块近似超曲面面积

  • 设[a,b]Rk,: [a,b] Rn (nk+1),正则, S=

    ([a,b]). 下面按微元法给出超曲面的面积公式:

    任取[a,b]的一个分法W: W1,…,Wm. Sj=(Wj), j=

    1, …,m. 取tjWj, 用

    近似Sj的体积, 然后求和-取极限就得到公式.


N 1 1

n-1维超曲面的面积公式(1)

  • 由参数方程给出的曲面体积公式:

  • 设[a,b]Rn-1, : [a,b]  Rn (nk+1) , 正则, S=([a,b]). 此时, 习惯上有下面的记法

    其中e表示第i个元素标准基向量ei的列向量


N 1 2

n-1维超曲面的面积公式(2)

  • 由函数图像给出的曲面体积公式:

  • 函数图像公式[a,b]Rn-1, g: [a,b]  R, (t)=(t, g(t)), S=([a,b])


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正则超曲面上的测度

  • 设[a,b]Rk,: [a,b] Rn (nk+1),正则, S=

    ([a,b]). ES, 如果-1(E)是[a,b]的可测集,

    就说E是S的可测集,其测度定义为


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