数学模型实验课（二）

数学模型实验课（二） 最小二乘法与直线拟合

康尔乃奶粉 • 32.4元 400g; 67.1元 900g. • 4 k1 + 42/3 k2 = 32.4 • 9 k1 + 92/3 k2 = 67.1 • 解得: k1 = 5.3791, k2 = 4.3192 • 模型: C(W)=5.3791 W + 4.3192 W2/3. • 预测: W=1800, C(W) = 126.49. • W=2500, C(W) = 154.36 • 实际: W=1800, C(W)=115.9 • W=2500, C(W)=146.85

>>x=[4,9,18,25];y=[32.4,67.1,115.9,146.85]; • >>x1=[x(1),x(2)]’,x2=x1.^(2/3); • >>y1=[y(1),y(2)]’;X=[x1,x2]; • >>k=X\y1 • >>x1=[x(1),x(2),x(3)];x2=x1.^(2/3); • >>y1=[y(1),y(2),y(3)];X=[x1,x2]; • >>k=X\y1

求解线性方程组：A x = y • 如果 . 设：Ax+ε= y，求 x 使得误差 ||ε|| 最小。

A’A x = A’y x = (A’A)-1A’y 二. 直线拟合 1. 矩阵左除数据（xi, yi）,拟合直线 y = a + bx, 误差最小模型：yi = a + bxi +ε X b = y

>>y=[17,16,17,23,26,27,41,49]; • >>x=[1953,2015,2015,2821,3049,3049,5133,5592]; • >>X=[ones(8,1),x’];b=X\y’; • >>y1=b(1)+b(2).*x; • >>plot(x,y1,’r’,x,y,’*r’)

2. 直线拟合的效果（相关系数）

>>X1=[x’,y’];m=size(X1);n=m(1);p=m(2); • >>X=[ones(n,1),x’];B=X\y’;a=B(1);b=B(2:p); • >>y1=a+b*x;plot(x,y1,’r’,x,y,’*r’); • >>Cov=X1’*(eye(n)-ones(n)./n)*X1; • >>Lyy=Cov(p,p);Lxx=Cov(1:(p-1),1:(p-1)); • >>R=(b’*Lxx*b)/Lyy;r=sqrt(R);

3. 多项式拟合 • b=polyfit(x,y,1); • 4.线性回归 • [b,r,j,k,l]=regress(y’,X);

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