Machtsfuncties
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 31

machtsfuncties PowerPoint PPT Presentation


  • 70 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

machtsfuncties. n even. n oneven. y. y. y. y. a > 0. a < 0. a > 0. a < 0. x. x. x. x. O. O. O. O. de top is (0,0). het punt van symmetrie is (0,0). 10.1.

Download Presentation

machtsfuncties

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Machtsfuncties

machtsfuncties

n even

n oneven

y

y

y

y

a > 0

a < 0

a > 0

a < 0

x

x

x

x

O

O

O

O

de top is (0,0)

het punt van symmetrie is (0,0)

10.1


Grafieken van machtsfuncties verschuiven

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken.

y

Grafieken van machtsfuncties verschuiven

y = x²

top (0, 0)

y = ( x – 4 )²

4 naar rechts

top (4, 0)

y = ( x – 4 )² + 3

3 omhoog

top (4,3)

y = 2 ( x – 4 )² + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4, 3)

y = a ( x - p )² + q

top (p, q)

O

x

algemeen

grafiek van translatie (p, q) beeldgrafiek

y = axn y = a(x – p)n+ q

10.1


Machtsfuncties

Welk functievoorschrift hoort bij de verschillende parabolen ?


Voorbeeld

a) y = 0,3x4

y = 0,3(x + 5)4 + 6

y = -0,9(x + 5)4 - 18

top (-5, -18)

b)y = 0,3x4

y = -0,9x4

y = -0,9(x + 5)4 + 6

top (-5, 6)

Bij de translatie (-5, 6) vervang je in de formule x door x + 5 en tel je 6 bij de functiewaarde op.

voorbeeld

translatie (-5,6)

verm. met -3 tov de x-as

Bij de vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met -3, vermenigvuldig je de functiewaarde met -3.

verm. met -3 tov de x-as

translatie (-5,6)

10.1


Machtsfuncties

los op (exact)

x² < 2x + 3

f(x) = x²

g(x) = 2x + 3

f(x) = g(x)

x² = 2x + 3

x² - 2x – 3 = 0

( x + 1 )( x - 3 ) = 0

x = -1 v x = 3

aflezen uit de schets

-1 < x < 3

  • Werkschema bij het oplossen van ongelijkheden

  • Schets de grafieken van f en g.

  • Los de vergelijking f(x) = g(x) op.

  • Lees uit de schets de oplossingen af.

y

f

Lees het antwoord af op de x-as

f(x) < g(x) wanneer ligt de grafiek van fonder die van g.

-1

0

3

x

g

10.1


Opgave 21a

opgave 21a

x + 5 ≥ 0

x ≥ -5

y

f(x) = √(x + 5) + 3

beginpunt (-5, 3)

Df = [ -5 ,  >

Bf = [ 3 ,  >

3

1

x

1

-5

-1

10.2


Opgave 21e

y

opgave 21e

l(x) = √(x - 1) - 1

beginpunt (1 , -1)

Dl = [ 1 ,  >

Bl= [ -1 ,  >

1

x

-1

1

-1

10.2


Machtsfuncties

  • Werkschema: het tekenen van de grafiek van een wortelfunctie

  • Bereken het domein en de coördinaten van het beginpunt.

  • Maak een tabel.

  • Teken de grafiek.

  • Werkschema: het oplossen van wortelvergelijkingen

  • Maak de wortel vrij.

  • Kwadrateer het linker- en rechterlid en los de verkregen vergelijking op.

  • Controleer of de oplossingen van de gekwadrateerde vergelijking oplossingen zijn van de gegeven vergelijking.

10.2


Opgave 23

y

opgave 23

2x + 3 ≥ 0

2x ≥ -3

x ≥ -1½

4

g

3

Wanneer ligt de grafiek van f onder die van g ?

a) f(x) = -2 + √(2x + 3)

beginpunt ( -1½ , -2)

b) Bf = [ -2 ,  >

c)f(x) < g(x)

voer in y1 = -2 + √(2x + 3)

en y2 = -0,5x + 2

x ≈ 2,41

-1½ ≤ x < 2,41

2

1

-1,5

x

-2

-1

0

1

2

3

4

2,41

-1

f

-2

10.2


Wortelvergelijkingen oplossen

Wortelvergelijkingen oplossen

voorbeeld

2x + √x = 10

√x = 10 – 2x

x = (10 – 2x)2

x = 100 – 40x + 4x2

-4x2 + 40x + x – 100 = 0

-4x2 + 41x – 100 = 0

D = (41)2 – 4 · -4 · -100

D = 81

x =

x = 6¼ v x = 4

Isoleer de wortelvorm.

Kwadrateer het linker- en het rechterlid.

Los de vergelijking op.

-41 ± √81

-8

Controleer of de oplossingen kloppen.

voldoet

voldoet niet

10.2


Machtsfuncties

y

Asymptoten

4

1x

f (x) = standaardfunctie

De grafiek heet een hyperbool.

f (0) bestaat niet.

Je hebt een horizontale asymptoot

en eenverticale asymptoot.

Een asymptoot is een lijn waarmee

de grafiek op den duur vrijwel mee

samenvalt.

3

2

1

y = 0

-2

-1

0

1

2

3

x

-1

-2

x = 0

10.3


Transformaties en gebroken functies

y

Transformaties en gebroken functies

1x

f(x) = standaardfunctie

g(x) = + 1

translatie 2 naar rechts 1 omhoog

4

1 x - 2

3

2

y = 1

1

y = 0

-2

-1

0

1

2

3

x

-1

-2

x = 0

x = 2

10.3


Gebroken vergelijkingen

Gebroken vergelijkingen

Regels voor het algebraïsch oplossen van gebroken vergelijkingen

= 0 geeft A = 0

= geeft A = C

= geeft A = 0 v B = C

= geeft AD = BC

0 1

AB

= 0

= kan niet

= kan niet

= 0

een breuk is nul als de teller nul is en de noemer niet

AB

CB

1 0

AB

AC

0 0

0 5

AB

CD

Controleer of geen noemer nul wordt.

10.3


Opgave 35

y

opgave 35

horz.asymptoot voor grote x

vert.asymptoot noemer = 0

8

2x - 1 x + 3

f(x) =

noemer = 0

x + 3 = 0  x = -3

vert.asymptoot : x = -3

voor grote x is

f(x) ≈ 2x/x = 2

horz.asymptoot : y = 2

6

f

4

y = 2

2

f

x

-8

-6

-4

-2

0

2

4

-2

-4

10.3

x = -3


Machtsfuncties

opgave 41

  • Voer in y1 = 1800 – 1200/(1 + 3x)met Xmin = 0 en Xmax = 10.

  • b)t = 100 geeft N≈ 1796

  • t = 1000 geeft N ≈ 1799,6

  • horizontale symptoot: N = 1800

  • Dit betekent dat N niet boven 1800 uitkomt.

  • Voer in y2 = 1760.

  • Optie intersect geeft x ≈ 9,67.

  • Dus op 10 mei zijn er 1760 insecten.

  • 4 mei loopt van t = 3 tot t = 4

  • t = 4 geeft N = 1708

  • t = 3 geeft N = 1680

  • 1708 – 1680 = 28 insecten

  • e)N = 1680 hoort bij t = 3 (zie vraag d)

  • N = 1745 hoort bij t = 7 (zie tabel op de GR)

  • Het duurt dus 7 – 3 = 4 dagen.

N

2000

N =1800

1000

600

0

1

2

t

10.3


De grafiek van f x g x

f(x) = gx met g constant en g > 0 is een exponentiële functie

De grafiek van f(x) = gx

g > 1

0 < g < 1

y

y

Asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur mee samenvalt.

1

1

x

x

O

O

De grafiek is stijgend

bereik < 0, >

de x-as is asymptoot

De grafiek is dalend

bereik < 0, >

de x-as is asymptoot

10.4


Het effect van transformaties op y g x

Het effect van transformaties op y = gx

  • Vermenigvuldig in de formule de functiewaarde met a.

  • De asymptoot is y = 0.

  • y = gx

  • verm. t.o.v. de x-as met a

  • y = a · gx

  • Vervang in de formule x door

  • x – p.

  • De asymptoot is y = 0.

  • y = gx

  • translatie (p, 0)

  • y = gx – p

  • y = gx

  • translatie (0, q)

  • y = gx+ q

  • Tel in de formule q op bij de functiewaarde.

  • De asymptoot is y = q.

10.4


Opgave 46

f: y = 2x

translatie (0, -2)

y = 2x – 2

de asymptoot van f is y = -2

a)

y

f

opgave 46

4

3

g

g: y = (½)x

translatie (2, 2)

y = (½)x - 2 + 2

de asymptoot van g is y = 2

2,25

2

y = 2

1

b)Bf = < -2, >

Bg = < 2, >

c)g(4) = 2,25

x≥ 4

geeft 2 < g(x) ≤ 2,25

d)Optie intersect geeft x ≈ 2,27.

f(x) ≤ g(x)

x ≤ 2,27

O

-3

-2

-1

1

2

3

4

2,27

x

-1

y = -2

-2

-3

10.4


Rekenregels voor machten

Rekenregels voor machten

10.4


Machtsfuncties

opgave 53a

23x + 5 = 16√2

23x + 5 = 24· 2½

23x + 5 = 24½

3x + 5 = 4½

3x = 4½ - 5

3x = -½

x = -⅙

10.4


Machtsfuncties

  • In den beginne was er het bepalen van de som. En de mathematicus zag dat het goed was en sprak “leg u te samen”

  • Om een som ongedaan te maken kwam er het verschil. En de mathematicus zag dat het goed was en sprak“van uw minpunten kunt u leren.”

  • Om sneller een herhaalde som te bepalen kwam er het product. En de mathematicus zag dat het goed was en sprak“ga heen en vermenigvuldig u.”

  • Dat vroeg om het quotiënt. En de mathematicus zag dat het goed was en sprak“verdeel en heers”

  • Toen kwam de macht. En de mathematicus zag dat het goed was en sprak“verhef u en grijp hem.”

  • Die riep de wortel over zich uit. En de mathematicus zag dat het goed was en sprak“trek hem, roei hem uit.”

  • Voor een completere wereld verscheen de Loga-ritmeEn de mathematicus zag dat het goed was en sprak“Yeah cool babe, swing it out.”


Logaritme en exponent

Logaritme en exponent

  • 2x = 8

  • x = 3 want 23 = 8

  • 2x = 8 ⇔ 2log(8)

  • 23 = 8 ⇔2log(8) = 3

  • 2log(32) = 5 want 25 = 32

  • algemeen :

  • glog(x) = y betekent gy = x

  • dus glog(gy) = y

  • x > 0 , g > 0 en g ≠ 1

10.5


De standaardgrafiek y g log x

De standaardgrafiek y = glog(x)

0 < g < 1

g > 1

y

y

x

x

O

O

1

1

stijgend

dalend

domein < 0,  >

de y-as (x = 0) is asymptoot

10.5


De standaardgrafiek y g log x1

Functies f en g met de eigenschap dat hun grafieken elkaars

spiegelbeeld zijn in de lijn y = x heten inverse functies

De standaardgrafiek y = glog(x)

g > 1

0 < g < 1

y

y

y = x

y = x

y = 2x

1

y = (½)x

1

x

x

O

O

1

1

y = 2log(x)

y = ½log(x)

10.5


Grafieken van logaritmische functies

Grafieken van logaritmische functies

  • Werkschema: het tekenen van de grafiek van een logaritmische functie

  • Stel de formule op van de verticale asymptoot.

  • Maak een tabel.

  • Teken de grafiek.

10.5


Voorbeeld 1

x = 4

y

a)Hoe ontstaat f(x) = 3log(x – 4) + 2 uit y = 3log(x) ?

y = 3log(x)

translatie (4, 0)

y = 3log(x – 4)

translatie (0, 2)

y = 3log(x – 4) + 2

b)

Df = < 4, >

voorbeeld 1

4

3

2

1

  • x

  • 1

  • 3

  • 9

  • 3log(x)

  • -1

  • 0

  • 1

  • 2

  • -2

O

5

1

2

3

4

2 omhoog

-1

4 naar rechts

-2

10.5


Voorbeeld 2

  • Teken de grafiek van f(x) =

  • verticale asymptoot :

  • 4x – 1 = 0

  • x = ¼

  • voer in y1 = log(4x-1)/log(3)

  • b)f(x) ≤ 2

  • 3log(4x – 1) = 2

  • 4x – 1 = 32

  • 4x = 10

  • x = 2½

  • ¼ < x ≤ 2½

voorbeeld 2

4

3

y = 2

2

  • x

  • 1

  • 2

  • 3

  • 4

1

  • 1,8

  • 2,2

  • 2,5

  • 1

  • 3log(4x - 1)

-1

0

2

3

4

x

1

-1

-2

x = ¼

10.5


Machtsfuncties

  • Rekenregels voor logaritmen

  • Werkschema: het oplossen van logaritmische vergelijkingen

  • 1.Kijk of je kunt toepassen glog(x) = y geeft x = gy.

  • Lukt dat niet, dan

  • Herleid het linker- en rechterlid tot logaritmen met hetzelfde grondtal.

  • Gebruik daarna glog(A) = glog(B) geeft A = B.

10.6


Logaritmische schaalverdeling

Logaritmische schaalverdeling

Een gewone schaalverdeling is niet praktisch als je op een getallenlijn

gegevens wilt uitzetten die sterk in grootte verschillen.

We kiezen in zo’n situatie liever een logaritmische schaalverdeling.

paard = 600 kg.

log(600) ≈ 2,8

Op de logaritmische schaalverdeling is de afstand van 104 tot 100 gelijk aan 4

log(104) = 4

10.7


Logaritmisch papier

107

F  2400

F  2400000

Logaritmisch papier

opgave 84

106

E  150

E  150000

D  55

D  55000

105

C  23

C  23000

B  7500

B  7,5

104

A  1300

A  1,3

10.7

103


Machtsfuncties

opgave 87a

Rechte lijn op logaritmisch papier,

dus N = b · gt.

t = 1 en N = 30

t = 7 en N = 400

N = b · 1,540t

t = 1 en N = 30

Dus N = 19,5 · 1,540t.

400

g6 dagen =

≈ 1,540

gdag =

30

b· 1,5401 = 30

b =

19,5

10.7


  • Login