Machtsfuncties
Download
1 / 31

machtsfuncties - PowerPoint PPT Presentation


  • 97 Views
  • Uploaded on

machtsfuncties. n even. n oneven. y. y. y. y. a > 0. a < 0. a > 0. a < 0. x. x. x. x. O. O. O. O. de top is (0,0). het punt van symmetrie is (0,0). 10.1.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' machtsfuncties' - tab


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

machtsfuncties

n even

n oneven

y

y

y

y

a > 0

a < 0

a > 0

a < 0

x

x

x

x

O

O

O

O

de top is (0,0)

het punt van symmetrie is (0,0)

10.1


Grafieken van machtsfuncties verschuiven

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken.

y

Grafieken van machtsfuncties verschuiven

y = x²

top (0, 0)

y = ( x – 4 )²

4 naar rechts

top (4, 0)

y = ( x – 4 )² + 3

3 omhoog

top (4,3)

y = 2 ( x – 4 )² + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4, 3)

y = a ( x - p )² + q

top (p, q)

O

x

algemeen

grafiek van translatie (p, q) beeldgrafiek

y = axn y = a(x – p)n+ q

10.1



Voorbeeld

a) ?y = 0,3x4

y = 0,3(x + 5)4 + 6

y = -0,9(x + 5)4 - 18

top (-5, -18)

b) y = 0,3x4

y = -0,9x4

y = -0,9(x + 5)4 + 6

top (-5, 6)

Bij de translatie (-5, 6) vervang je in de formule x door x + 5 en tel je 6 bij de functiewaarde op.

voorbeeld

translatie (-5,6)

verm. met -3 tov de x-as

Bij de vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met -3, vermenigvuldig je de functiewaarde met -3.

verm. met -3 tov de x-as

translatie (-5,6)

10.1


los op (exact) ?

x² < 2x + 3

f(x) = x²

g(x) = 2x + 3

f(x) = g(x)

x² = 2x + 3

x² - 2x – 3 = 0

( x + 1 )( x - 3 ) = 0

x = -1 v x = 3

aflezen uit de schets

-1 < x < 3

  • Werkschema bij het oplossen van ongelijkheden

  • Schets de grafieken van f en g.

  • Los de vergelijking f(x) = g(x) op.

  • Lees uit de schets de oplossingen af.

y

f

Lees het antwoord af op de x-as

f(x) < g(x) wanneer ligt de grafiek van fonder die van g.

-1

0

3

x

g

10.1


Opgave 21a
opgave 21a ?

x + 5 ≥ 0

x ≥ -5

y

f(x) = √(x + 5) + 3

beginpunt (-5, 3)

Df = [ -5 ,  >

Bf = [ 3 ,  >

3

1

x

1

-5

-1

10.2


Opgave 21e

y ?

opgave 21e

l(x) = √(x - 1) - 1

beginpunt (1 , -1)

Dl = [ 1 ,  >

Bl= [ -1 ,  >

1

x

-1

1

-1

10.2


  • Werkschema: het tekenen van de grafiek van een wortelfunctie ?

  • Bereken het domein en de coördinaten van het beginpunt.

  • Maak een tabel.

  • Teken de grafiek.

  • Werkschema: het oplossen van wortelvergelijkingen

  • Maak de wortel vrij.

  • Kwadrateer het linker- en rechterlid en los de verkregen vergelijking op.

  • Controleer of de oplossingen van de gekwadrateerde vergelijking oplossingen zijn van de gegeven vergelijking.

10.2


Opgave 23

y ?

opgave 23

2x + 3 ≥ 0

2x ≥ -3

x ≥ -1½

4

g

3

Wanneer ligt de grafiek van f onder die van g ?

a) f(x) = -2 + √(2x + 3)

beginpunt ( -1½ , -2)

b) Bf = [ -2 ,  >

c) f(x) < g(x)

voer in y1 = -2 + √(2x + 3)

en y2 = -0,5x + 2

x ≈ 2,41

-1½ ≤ x < 2,41

2

1

-1,5

x

-2

-1

0

1

2

3

4

2,41

-1

f

-2

10.2


Wortelvergelijkingen oplossen
Wortelvergelijkingen oplossen ?

voorbeeld

2x + √x = 10

√x = 10 – 2x

x = (10 – 2x)2

x = 100 – 40x + 4x2

-4x2 + 40x + x – 100 = 0

-4x2 + 41x – 100 = 0

D = (41)2 – 4 · -4 · -100

D = 81

x =

x = 6¼ v x = 4

Isoleer de wortelvorm.

Kwadrateer het linker- en het rechterlid.

Los de vergelijking op.

-41 ± √81

-8

Controleer of de oplossingen kloppen.

voldoet

voldoet niet

10.2


y ?

Asymptoten

4

1x

f (x) = standaardfunctie

De grafiek heet een hyperbool.

f (0) bestaat niet.

Je hebt een horizontale asymptoot

en eenverticale asymptoot.

Een asymptoot is een lijn waarmee

de grafiek op den duur vrijwel mee

samenvalt.

3

2

1

y = 0

-2

-1

0

1

2

3

x

-1

-2

x = 0

10.3


Transformaties en gebroken functies

y ?

Transformaties en gebroken functies

1x

f(x) = standaardfunctie

g(x) = + 1

translatie 2 naar rechts 1 omhoog

4

1 x - 2

3

2

y = 1

1

y = 0

-2

-1

0

1

2

3

x

-1

-2

x = 0

x = 2

10.3


Gebroken vergelijkingen
Gebroken vergelijkingen ?

Regels voor het algebraïsch oplossen van gebroken vergelijkingen

= 0 geeft A = 0

= geeft A = C

= geeft A = 0 v B = C

= geeft AD = BC

0 1

AB

= 0

= kan niet

= kan niet

= 0

een breuk is nul als de teller nul is en de noemer niet

AB

CB

1 0

AB

AC

0 0

0 5

AB

CD

Controleer of geen noemer nul wordt.

10.3


Opgave 35

y ?

opgave 35

horz.asymptoot voor grote x

vert.asymptoot noemer = 0

8

2x - 1 x + 3

f(x) =

noemer = 0

x + 3 = 0  x = -3

vert.asymptoot : x = -3

voor grote x is

f(x) ≈ 2x/x = 2

horz.asymptoot : y = 2

6

f

4

y = 2

2

f

x

-8

-6

-4

-2

0

2

4

-2

-4

10.3

x = -3


opgave 41 ?

  • Voer in y1 = 1800 – 1200/(1 + 3x) met Xmin = 0 en Xmax = 10.

  • b) t = 100 geeft N≈ 1796

  • t = 1000 geeft N ≈ 1799,6

  • horizontale symptoot: N = 1800

  • Dit betekent dat N niet boven 1800 uitkomt.

  • Voer in y2 = 1760.

  • Optie intersect geeft x ≈ 9,67.

  • Dus op 10 mei zijn er 1760 insecten.

  • 4 mei loopt van t = 3 tot t = 4

  • t = 4 geeft N = 1708

  • t = 3 geeft N = 1680

  • 1708 – 1680 = 28 insecten

  • e) N = 1680 hoort bij t = 3 (zie vraag d)

  • N = 1745 hoort bij t = 7 (zie tabel op de GR)

  • Het duurt dus 7 – 3 = 4 dagen.

N

2000

N =1800

1000

600

0

1

2

t

10.3


De grafiek van f x g x

f ?(x) = gx met g constant en g > 0 is een exponentiële functie

De grafiek van f(x) = gx

g > 1

0 < g < 1

y

y

Asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur mee samenvalt.

1

1

x

x

O

O

De grafiek is stijgend

bereik < 0, >

de x-as is asymptoot

De grafiek is dalend

bereik < 0, >

de x-as is asymptoot

10.4


Het effect van transformaties op y g x
Het effect van transformaties op ?y = gx

  • Vermenigvuldig in de formule de functiewaarde met a.

  • De asymptoot is y = 0.

  • y = gx

  • verm. t.o.v. de x-as met a

  • y = a · gx

  • Vervang in de formule x door

  • x – p.

  • De asymptoot is y = 0.

  • y = gx

  • translatie (p, 0)

  • y = gx – p

  • y = gx

  • translatie (0, q)

  • y = gx+ q

  • Tel in de formule q op bij de functiewaarde.

  • De asymptoot is y = q.

10.4


Opgave 46

f ?: y = 2x

translatie (0, -2)

y = 2x – 2

de asymptoot van f is y = -2

a)

y

f

opgave 46

4

3

g

g: y = (½)x

translatie (2, 2)

y = (½)x - 2 + 2

de asymptoot van g is y = 2

2,25

2

y = 2

1

b) Bf = < -2, >

Bg = < 2, >

c) g(4) = 2,25

x≥ 4

geeft 2 < g(x) ≤ 2,25

d) Optie intersect geeft x ≈ 2,27.

f(x) ≤ g(x)

x ≤ 2,27

O

-3

-2

-1

1

2

3

4

2,27

x

-1

y = -2

-2

-3

10.4



opgave 53a ?

23x + 5 = 16√2

23x + 5 = 24· 2½

23x + 5 = 24½

3x + 5 = 4½

3x = 4½ - 5

3x = -½

x = -⅙

10.4


  • In den beginne was er het bepalen van de som. ? En de mathematicus zag dat het goed was en sprak “leg u te samen”

  • Om een som ongedaan te maken kwam er het verschil. En de mathematicus zag dat het goed was en sprak“van uw minpunten kunt u leren.”

  • Om sneller een herhaalde som te bepalen kwam er het product. En de mathematicus zag dat het goed was en sprak“ga heen en vermenigvuldig u.”

  • Dat vroeg om het quotiënt. En de mathematicus zag dat het goed was en sprak“verdeel en heers”

  • Toen kwam de macht. En de mathematicus zag dat het goed was en sprak“verhef u en grijp hem.”

  • Die riep de wortel over zich uit. En de mathematicus zag dat het goed was en sprak“trek hem, roei hem uit.”

  • Voor een completere wereld verscheen de Loga-ritmeEn de mathematicus zag dat het goed was en sprak“Yeah cool babe, swing it out.”


Logaritme en exponent
Logaritme en exponent ?

  • 2x = 8

  • x = 3 want 23 = 8

  • 2x = 8 ⇔ 2log(8)

  • 23 = 8 ⇔2log(8) = 3

  • 2log(32) = 5 want 25 = 32

  • algemeen :

  • glog(x) = y betekent gy = x

  • dus glog(gy) = y

  • x > 0 , g > 0 en g ≠ 1

10.5


De standaardgrafiek y g log x
De standaardgrafiek ?y = glog(x)

0 < g < 1

g > 1

y

y

x

x

O

O

1

1

stijgend

dalend

domein < 0,  >

de y-as (x = 0) is asymptoot

10.5


De standaardgrafiek y g log x1

Functies ?f en g met de eigenschap dat hun grafieken elkaars

spiegelbeeld zijn in de lijn y = x heten inverse functies

De standaardgrafiek y = glog(x)

g > 1

0 < g < 1

y

y

y = x

y = x

y = 2x

1

y = (½)x

1

x

x

O

O

1

1

y = 2log(x)

y = ½log(x)

10.5


Grafieken van logaritmische functies
Grafieken van logaritmische functies ?

  • Werkschema: het tekenen van de grafiek van een logaritmische functie

  • Stel de formule op van de verticale asymptoot.

  • Maak een tabel.

  • Teken de grafiek.

10.5


Voorbeeld 1

x ? = 4

y

a) Hoe ontstaat f(x) = 3log(x – 4) + 2 uit y = 3log(x) ?

y = 3log(x)

translatie (4, 0)

y = 3log(x – 4)

translatie (0, 2)

y = 3log(x – 4) + 2

b)

Df = < 4, >

voorbeeld 1

4

3

2

1

  • x

  • 1

  • 3

  • 9

  • 3log(x)

  • -1

  • 0

  • 1

  • 2

  • -2

O

5

1

2

3

4

2 omhoog

-1

4 naar rechts

-2

10.5


Voorbeeld 2

  • Teken de grafiek van ?f(x) =

  • verticale asymptoot :

  • 4x – 1 = 0

  • x = ¼

  • voer in y1 = log(4x-1)/log(3)

  • b) f(x) ≤ 2

  • 3log(4x – 1) = 2

  • 4x – 1 = 32

  • 4x = 10

  • x = 2½

  • ¼ < x ≤ 2½

voorbeeld 2

4

3

y = 2

2

  • x

  • 1

  • 2

  • 3

  • 4

1

  • 1,8

  • 2,2

  • 2,5

  • 1

  • 3log(4x - 1)

-1

0

2

3

4

x

1

-1

-2

x = ¼

10.5


  • Rekenregels voor logaritmen ?

  • Werkschema: het oplossen van logaritmische vergelijkingen

  • 1. Kijk of je kunt toepassen glog(x) = y geeft x = gy.

  • Lukt dat niet, dan

  • Herleid het linker- en rechterlid tot logaritmen met hetzelfde grondtal.

  • Gebruik daarna glog(A) = glog(B) geeft A = B.

10.6


Logaritmische schaalverdeling
Logaritmische schaalverdeling ?

Een gewone schaalverdeling is niet praktisch als je op een getallenlijn

gegevens wilt uitzetten die sterk in grootte verschillen.

We kiezen in zo’n situatie liever een logaritmische schaalverdeling.

paard = 600 kg.

log(600) ≈ 2,8

Op de logaritmische schaalverdeling is de afstand van 104 tot 100 gelijk aan 4

log(104) = 4

10.7


Logaritmisch papier

10 ?7

F  2400

F  2400000

Logaritmisch papier

opgave 84

106

E  150

E  150000

D  55

D  55000

105

C  23

C  23000

B  7500

B  7,5

104

A  1300

A  1,3

10.7

103


opgave 87a ?

Rechte lijn op logaritmisch papier,

dus N = b · gt.

t = 1 en N = 30

t = 7 en N = 400

N = b · 1,540t

t = 1 en N = 30

Dus N = 19,5 · 1,540t.

400

g6 dagen =

≈ 1,540

gdag =

30

b· 1,5401 = 30

b =

19,5

10.7


ad