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第 10 章 分 形 造 型. 一、分形的概念 分形是最近二十多年来发展起来的新 学科。分形的原文是 Fractals ,是由著 名数学家 B . Mandelbrot 于 1975 年用 拉丁词根构造的单词,他创立了独立 于欧几里德几何学之外的数学方法: 分形几何。. 自然界中存在着不可胜数的不规则形 体。多少年来,人们都是用传统的几 何方法对它们进行描述,采用的主要 手段是用规则形体去逼近。这种用规 则形体去描述不规则形体所得到的结 果,与现实是有很大差距的,并且这 种方法需要大量的数据,所以有时甚
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一、分形的概念 分形是最近二十多年来发展起来的新 学科。分形的原文是 Fractals,是由著 名数学家 B . Mandelbrot 于1975 年用 拉丁词根构造的单词,他创立了独立 于欧几里德几何学之外的数学方法: 分形几何。
自然界中存在着不可胜数的不规则形 体。多少年来,人们都是用传统的几 何方法对它们进行描述,采用的主要 手段是用规则形体去逼近。这种用规 则形体去描述不规则形体所得到的结 果,与现实是有很大差距的,并且这 种方法需要大量的数据,所以有时甚 至是不可能的。
其实,当用计算机模拟自然景物时, 最主要的是所生成的对象确实使人感 受到是预期的那一类,而不必非是某 个具体的个体。因此,为此目的,不 必使用大量的数据。是很自然的。 分形几何学的创立,为自然景物的描 述和计算机模拟提供了强有力的数学 工具。正因为如此,所以人们说,分 形是大自然的几何学。
分形具有下面列出的典型几何性质 (1)分形集都具有任意小尺度下的 比例细节,或者说它具有精细的结构。 (2)分形集不能用传统的几何语言 来描述,它既不是满足于某些条件的 点的轨迹,也不是某些简单方程的解 集。
(3)分形集具有某种自相似的形式, 可能是近似的或统计的自相似。 (4)一般说来,分形集的维数是一 个分数,所以分形也称为分数维; (5)在大多数令人感兴趣的情形下, 分形集由非常简单的方法定义,可以 用变换的迭代产生。
分形的四种构成方法 (1)基于L系统的分形模型 (2)迭代函数系统模型 (3)粒子系统模型 (4)随机插值模型
1 .Koch 曲线 ( 1 ) Koch 曲线的生成规则 Koch 曲线是 Von Koch 于1904年第一 次描述的。它的构造是:迭代初始把 原线段去掉中间的三分之一,代之以 底边在被去线段上的等边三角形的两 腰;以后每一步的迭代都是这样的重 复。 (图例)
从以上过程可以清楚地看出,Koch曲 线(其它分形集也是如此)可以由简单的 图,称为 生成元 ,迭代产生。 在这里,Koch曲线的生成元是:
在这里,假如我们约定好记号,就可 以把Koch曲线的生成元的构造用一个 字符串符号表示出来。设: F 从当前点开始,向前移动一距离d L 向左(逆时针)转一定角 R 向右(顺时针)转一定角 则Koch曲线的生成元可表示为: T= F L F R R F L F ( =60º)
曲线由把每一折线段反复迭代成缩小 比例的三分之一的生成元而成。即字 符串T= F L F R R F L F 中的每一个 F 又是字符串T 本身。而每次迭代 后,生成的曲线长是原来曲线长的三 分之四倍。可见,无数次迭代后, Koch 曲线将变得具有无限长度。并 且,Koch 曲线是永远不自相交的。
( 2 ) 生成Koch 曲线的程序 函数 side( ),用于绘制Koch 曲线的生 成元,函数中所用的参数为: xa, ya, xb, yb :线段的起点和终点坐标; a : 线段的方向角; n : 迭代次数(递归深度)。
void side ( xa, ya, xb, yb, a, n ) int n ; float xa, ya, xb, yb, a ; { float x1, y1, x2, y2, x3, y3, dl, a1, a2 ; int xs, ys, xe, ye ; if (n==0) { xs=(int)(xa+0.5) ; ys=(int)(ya+0.5) ; xe=(int)(xb+0.5) ; ye=(int)(yb+0.5) ; moveto(xs,480-ys) ; lineto(xe,480-ye); } else
{ dl=sqrt((xb-xa)*(xb-xa)+(yb-ya)*(yb-ya)) / 3. ; x1=xa+(xb-xa) / 3. ; y1=ya+(yb-ya) / 3. ; side(xa, ya, x1, y1, a, n-1) ; a1=a+AF ; x2=x1+dl*cos(a1) ; y2=y1+dl*sin(a1) ; side(x1, y1, x2, y2, a1, n-1) ; a2=a1-2.*AF ; x3=x2+dl*cos(a2) ; y3=y2+dl*sin(a2) ; side(x2, y2, x3, y3, a2, n-1) ; side(x3, y3, xb, yb, a, n-1) ; }} ***
( 3 )Koch 曲线的维数 一个几何对象的维数还可以从测量的 角度来定义: D=ln(N) / ln(S) 其中:D 维数 S 缩小系数的倒数 N 每步的分段数
在Koch曲线中,S=3 ( 缩小系数是 1/3 );N=4。 所以Koch曲线的维数为: D=ln(4) / ln(3) 依据 Koch 曲线的生成原理,设计不 同的生成元,便可以构画出多种多样 的分形曲线。 ***
2.Dragon 曲线 (1)Dragon 曲线的生成规则 变化的起始是一条原始直线段。第一 步是将该直线段由中间点隆起,使其 变成一个等腰直角三角形的两腰。 接下去再分别对两腰作和前面同样的 变化,如此不断进行。(图例)
不难看出,Dragon 曲线完全是由长 度相等的线段组成,且两两相交处 都成直角。 另外,每次分形后,曲线的长度是 原来曲线长度的 2 倍。因此,经 过无数次变化,Dragon 曲线也将变 成无限长。这一点正符合分形曲线 的特点。
下面我们来分析 Dragon 曲线的生成 规则: 假如我们从线段 1 开始,顺着曲线前 进,那么在这个过程中,每到一个线 段末端拐角处,就必须向左或向右转 90º 。于是,待要解决的关键问题就 是如何确定是向左转还是向右转。 T(1)= 90º T(2)= 90º T(3)= -90º T(4)= 90º T(5)= 90º T(6)= -90º T(7)= -90º
如果用代码 1 表示向左转90º ,用 3 表示向右转90º 。并且对于第 i 段线 段,以T ( i )来表示其转向代码。则 对于上图有: T ( 1 )=1 T ( 5 )=1 T ( 2 )=1T ( 6 )=3 T ( 3 )=3 T ( 7 )=3 T ( 4 )=1
因此,对于第 i 段线段末了的转角: A ( i )=T ( i )*90º 。 因为向右转90º 就等于向左转270º 。 对于 i 的任意整数值,其T ( i )的 值可由下式确定: T ( i )=T ( i / 2 ) ; 对于 i 是偶数 T ( i )=T ( i % 4 ) ; 对于 i 是奇数
( 2 ) 生成 Dragon 曲线的程序 Dragon 曲线可以用分步判别绘线的方 法绘制出来。其主要的程序段如下:
for ( i=1; i<=n; i++) { j = i ; while(( j&1 )==0) j>>1 ; j=j % 4 ; a=(a+j) % 4 ; x1= x1+d*cos( a*PI ) ; y1= y1- d*sin( a*PI ) ; x=(int)(x1+0.5) ; y=(int)(y1+0.5) ; lineto( x , y ) ; } ***
同样,Dragon曲线也是不自相交的, 但是在图形上它没有如 Koch 曲线那 样可明显看出。但只要把曲线中 90º 的拐角改画一个小的倒角,情况就清 楚了。(看运行图例)
3.其他分形实例 用 分形 可以构造很多自然界的形体, 下面是几种常见的例子:
(1)分枝 Koch 曲线和Dragon曲线都是连续的, 分枝结构是不连续的,它的生成元类 似于图例所示。 其生成元描述为: F : F [ L F ] F [ R F ] F ***
(2)粒子模型的图例 *** (3)岩石 这种分形由平面多边形(如三角形、 四边形等)用随机插值法迭代生成, 可模拟山峦。 如图所示: 取中点在 边直线上 在中点上加一 个随机法向量
以四边形为例:分割原始四边形为四 个小四边形,此时要求出每条边上的 中点和四边形的中点共 5 个点。设每 条边的两端点为P0i (i=1,2),中点为Pu, 四边形的中点为Pv。 则可给出计算方法为:
式中:n 为递归深度。 t 为变位系数。 r 为呈正态分布的随机数。 Pui为前四条边的中点。