Matemática II aula 5

1. Matemática IIaula 5 Profª Débora Bastos

2. Derivada da função Implícita • O que é uma função implícita? É uma função em que não podemos ou é trabalhoso colocar y em função somente de x. É o oposto a função explícita: y = 3x2+5x+1  explícita xy + y6 = x6 – seny  implícita • Calculo da função implícita: Considere y = f(x) derivável em D(f), para encontrar siga os seguintes passos: 1- Derive cada termo como algo independente, considerando y=f(x); 2- Separe o que tiver no 1º membro da equação e o que não tiver no 2º membro. 3-Coloque em evidência no 1º membro da equação; 4- Isole na equação e teremos a derivada de f.

3. Derivada da função Implícita Observação: Provavelmente a derivada também será uma função implícita, ou seja, Exemplo: Encontre para a equação abaixo: xy + y6 = x6 – seny senu un xn produto u.v

4. Derivada da função Implícita Exercícios: Considere y=f(x) derivável em D(f), determine para: • 3x4y2 – 7xy3 = 4 – 8y • (x+y)2 – (x – y)2 = x4 + x4 • xcosy + ycosx = 1

5. Problemas de Taxa de variação Interpretação geométrica de f ’: Taxa de variação: (a) Média: Se y= f(x) então a taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [a,b] é: 

6. Problemas de Taxa de variação Exemplo: 1. Seja a função f(t) = t2 + 5, onde t é o tempo (s) e f(t) é o deslocamento de um ponto móvel no tempo t (m). Determine o taxa de variação média do deslocamento em t  [2,5]? Ou seja, a tvm do deslocamento de um ponto em relação ao tempo é a velocidade média do ponto no intervalo calculado. v média = 7 m/s

7. Problemas de Taxa de variação Exemplo: 2. A velocidade (m/s) de um móvel em relação ao tempo (s) é dado por v(t) = 14 + 3t. Determine a taxa média da variação de velocidade em relação ao tempo para t  [1.3]. Ou seja, a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo é a aceleração média no intervalo calculado. amédia = 3m/s2 (b) Instantânea: Obtemos a taxa instantânea para um valor x se x  0, ou seja, aplicando o limite quando x  0.

8. Problemas de Taxa de variação A taxa de variação instantânea de f em relação a x0 é dado por : f ’(x0) Exemplo: Se um objeto é solto em queda de uma altura de 100 pés e se a resistência do ar pode ser desprezada, a altura h do objeto no instante t (s) é dado por h(t) =  16t2 + 100. Determine a taxa de variação de h no instante t = 1s, ou seja, a velocidade instantânea do objeto quando t = 1s. h’(t) =  32t h’(1) =  32 pés/s. Neste caso a velocidade é negativa, pois o móvel está se deslocando para baixo. A

9. Problemas de Taxa de variação As aplicações das taxas de variação não são exclusividade do campo da física. É possível obter uma taxa de variação instantânea (ou média) desde que se tenha a expressão que determine o que se quer investigar. Exemplo: Os economistas se referem a lucro marginal, receita marginal e custo marginal como taxas de variação do lucro, receita e custo em relação ao número x de unidades produzidas ou vendidas. P é lucro : lucro marginal R é receita: receita marginal C é custo: custo marginal

10. Problemas de Taxa de variação Exemplo: O lucro resultante da venda de x unidades de um artigo é dado por: P(x) = 0,0002x3 + 10x. • Ache o lucro marginal para um nível de produção de 50 unidades. • Comparar com o aumento do lucro decorrente do aumento de produção de 50 para 51 unidades. (a) $11,50 por unidade

11. Problemas de Taxa de variação (b) Para x = 50 o lucro efetivo é P(50) = 0,0002(50)3+10.50=525 Para x = 51 o lucro efetivo é P(51) = 0,0002(51)3 + 10.51= 536,53 Note que o aumento efetivo de lucro de $11,53 (quando x aumenta de 50 para 51 unidades) pode ser aproximado pelo lucro marginal de $11,50 por unidade (quando x = 50). Exemplo: Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranja sejam fornecidos diariamente sendo p o preço por caixa e a equação da oferta: px – 20p – 3x + 105 = 0 Se o fornecimento diário estiver decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia, com que taxa os preços estarão variando quando o fornecimento diário for de 5.000 caixas?

12. Problemas de Taxa de variação • x – fornecimento de caixas (milhares) por dia; • p – preço por caixa; • t – dias; • - variação de caixas fornecidas por dia; • - variação do preço por dia; • x= 5 (mil) • Se x = 5, então p.5 – 20.p – 3.5 + 105 = 0 logo p = 6. Calculando a derivada (implícita) da função oferta: • Substituindo as informações:

13. Problemas de Taxa de variação • Assim o preço de uma caixa de laranja estará decrescendo a uma taxa $0,005 por dia, quando o fornecimento diário for de 5.000 caixas. • Exercícios: 1- No instante t=0, um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés de altura. Sua função posição é h =  16t2 + 16t + 32, onde t é tempo (s) e h é altura (pés). (a) Em que instante o mergulhador atinge a água? (b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto? 2-A lei de Boyle para a expansão de um gás é PV = C onde P é pressão (kg/m2), V é volume (m3) e C é uma constante. Num certo instante, a pressão é de 150 kg/m2, o volume é de 1,5m3 e está crescendo a uma taxa de 1m3/min. Ache a taxa de variação da pressão neste instante.