Probabilités

1. Probabilités Pr. François Kohlerkohler@medecine.uhp-nancy.fr

2. Expérience aléatoire, événement aléatoire • Une expérience est dite aléatoire (random experiment-random trial) lorsqu'on ne peut pas en prévoir exactement les résultats du fait que tous les facteurs qui déterminent ce résultat ne sont pas maîtrisés ou contrôlés. • Un événementaléatoire est un événement qui peut ou ne pas se réaliser au cours d'une expérience aléatoire. • Exemple : expérience aléatoire "traverser la route" - événement aléatoire "se faire écraser".

3. Définition classique • Simrésultatspeuventseproduireavecdeschanceségalesetsikrésultatscorrespondentàlaréalisationdel'événement,laprobabilitédel'événementestlerapportk/m:nombredecasfavorablessurnombredecaspossibles. • Parexemple,dansunjeude52cartes,ona13coeurs,sitouteslescartesontdeschanceségalesd'êtretirées,laprobabilitéd'extraireuncœurest13/52=0,25

4. Définition fréquentielle • Si une expérience a été répétée un grand nombre de fois dans des conditions uniformes, on constate généralement que la fréquence relative (% de réalisation) d'un événement (fi) se stabilise. • Ce phénomène est connu sous le nom de régularité statistique. • Ce nombre fixe est par définition la probabilité mathématique de l'événement considéré.

5. Définition fréquentielle • Laprobabilitéainsidéfinieestuneformeidéaliséedelafréquencerelative. • Uneestimationpragmatiquedelaprobabilitéd’unévénementestfournieparlafréquencerelative,laprécisiondecetteestimationpeutêtrefournieparsonintervalledeconfiancepourunrisquedonné. • Dansdenombreuxcas,laprobabilitépeutêtremodéliséeparuneloi.

6. Expérience, événement, propositions, logique… • Evénement : toute proposition logique associée aux résultats de l’expérience. • Représentation ensembliste : • Diagramme de Venn S ensemble des événements possibles A sous-ensemble de S B sous-ensemble de S ….

7. Evénements exclusifs • LesévénementsAetBnepeuventseproduiresimultanément.Pourtouscouples(A,B)l'ensembleA*Bestvide. • Exemple:extraireuncœurouuncarreau. • Si2événementssontexhaustifsetmutuellementexclusifs(mort-vivant) • Lanon-réalisationdel’unimpliquelaréalisationdel’autre.

8. Evénements non exclusifs • Les événements peuvent se produire simultanément . • L’intersection n’est pas vide. • Exemple : • Extraire une dame et un carreau • Avoir un diabète et rouler avec des pneus lisses. • Avoir un diabète et une angine. • Ne pas confondre événements exclusifs et événements indépendants.

9. Opérateurs logiques • On note Vrai 1, Faux 0.

10. Rappel de logique A et B A ou B A B Non(A) Non(B) Non(A et B) Non(A ou B)

11. Théorèmes de De Morgan Non(A et B) = Non(A) ou Non(B) Non(A ou B) = Non(A) et Non(B) La plupart des problèmes de probabilités n’ont comme difficulté que l’interprétation logique de l’énoncé. Rappels de logique

12. Axiomes élémentaires • 0<P(A)<1:Uneprobabilitéesttoujourscompriseentre0et1. • P(A)=1:L’événementesttoujoursréalisé. • P(A)=0:L’événementestimpossible. • Si2événementssontexclusifs: • P(AouB)=P(A+B)=P(AUB)=P(A)+P(B) • Exemple:Probabilitéd'extraireuncœurouuncarreau=P(CœurouCarreau)=0,25+0,25=0,5. • GénéralisationP(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C). • Si2événementssontmutuellementexclusifs(mort-vivant)etconstituentl’ensembledespossibles: • onaP(A)+P(B)=1=>P(A)=1-P(B). • Laprobabilitédesurvieàunmomentdonnéestégaleà1moinslaprobabilitédedécéderàcemoment.

13. Evénements non exclusifs • Lesévénementspeuventseproduiresimultanément.Exemples:« avoiruninfarctusdumyocarde »,« êtrediabétique ». • P(AouB)=P(BouA) =P(A)+P(B)-P(AetB) • Cecisedéduitdesrelations: • P(AouB)=P(AsansB)+P(BsansA)+P(AetB) • P(AsansB)=P(A)-P(AetB) • P(BsansA)=P(B)-P(AetB) • Enconclusion: • P(AouB)<P(A)+P(B) • P(AouBouC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AetB)-P(BetC)-P(AetC)+P(AetBetC)

14. Probabilités conditionnelles et indépendance • En médecine, l’utilisation des probabilités conditionnelles est fréquente et apparaît naturelle. • On dira que « un individu a 5 fois plus de chances de développer une maladie coronarienne s’il fume un paquet de tabac par jour que si il ne fume pas »… • La connaissance n’est pas figée : avant la réalisation d’un test, la probabilité d’une maladie est p. Que devient-elle si on sait que le test est positif ?

15. Probabilité conditionnelle • Soit deux événements non exclusifs A et B : • On regarde la probabilité que l’un se réalise alors que l’autre est déjà réalisé. • On note P(A/B) la probabilité de A si B est réalisé, l’inversement du conditionnement P(B/A) est la probabilité de B si A est réalisé. • Quelle est la probabilité d’avoir une douleur de la fosse illiaque droite alors que l’on a une appendicite ? • Quelle est la probabilité d’avoir une appendicite alors que j’observe une douleur dans la fosse iliaque droite ?

16. Eléments de base : Indépendance : Deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un n’influence pas la réalisation de l’autre. Exemple : Pluie, rouler avec des pneus lisses : a priori indépendant; pluie, avoir un accident a priori non indépendant. Probabilité conditionnelle

17. Indépendance • P(A/B) = P(AB)/P(B) = P(A) =>P(AB) = P(A)*P(B) • Si et seulement si deux événements sont indépendants alors P(A et B) = P(A) * P(B)

18. Inversion du conditionnement • Intérêt : évaluation des examens complémentaires. • Théorème de Bayes : A Non A P(A/B) B Non B P(B) A Non A P(A)/nonB)

19. Le tableau à 4 cases • En médecine, 2 tableaux à 4 cases sont très utilisés et renvoient au conditionnement. • Evaluation des signes et examens complémentaires. • Recherche de facteurs de risque. P(T+/M+); P(T-/M-); P(M+/T+); P(M-/T-) P(M+/E+); P(M+/E-); P(E+/M+);P(E-/M-)

20. Les arbres de décision • Un homme se présente aux urgences. Quelle est la probabilité qu’il ait une sténose coronarienne ? (Coro+)=P(EE+Coro+)+P(EE-Coro+) =0,8*0,6 + 0,4*0,3 =0,48+0,12 =0,60

21. Evaluation des examens complémentaires • Il n’existe pas de signe ou d’examen parfait qui serait toujours présent en cas de présence de la maladie et absent en cas d’absence de la maladie. Fréquence de la maladie = Prévalence=P(M+) = (VP+FN)/N Sensibilité = P(T+/M+) = VP/(VP+FN) Spécificité = P(T-/M-)= VN/(VN+FP) VPP = P(M+/T+) = VP/(VP+FP) VPN = P(M-/T-) = VN/(VN+FN)

22. Evaluation des examens complémentaires • La prévalence de la maladie dépend de différents facteurs notamment : • Zone géographique : le paludisme est beaucoup plus fréquent en Afrique qu’en France. • De la sélection réalisée par le premier niveau de soins (la prévalence dans le groupe sélectionné est égale à la VPP du test qui a servi à la sélection). • …. • La prévalence est la probabilité d’avoir la maladie avant d’avoir fait le test : probabilité pré-test.

23. Evaluation des examens complémentaires • Sensibilité (probabilités des tests positifs chez les malades) et spécificité (probabilités des tests négatifs chez les non malades) sont des caractéristiques intrinsèques du test. • Elles supposent le problème résolu puisqu’ un test de référence (gold standard) a permis de déterminer si la personne était malade ou non. • Elles sont influencées notamment par le stade évolutif de la maladie.

24. Evaluation des examens complémentaires • La valeur prédictive positive (VPP = probabilité d’avoir la maladie si le test est positif) et la valeur prédictive négative (VPN = probabilité de ne pas avoir la maladie si le test est négatif) sont les éléments qui servent à la décision médicale. • La VPP est la probabilité post-test. Dans le groupe des sujets ayant un test positif, elle représente la probabilité d’avoir la maladie. • Si le généraliste utilise la positivité du test pour adresser les sujets au spécialiste, la fréquence de la maladie (prévalence) dans le groupe adressé au spécialiste sera la VPP.

25. Valeurs prédictives • Les valeurs prédictives dépendent de : • La sensibilité du test, • La spécificité du test, • La prévalence du test. • En conséquence, le même test (même sensibilité et spécificité) aura des VPP et VPN très différentes en fonction de la prévalence de la maladie.

26. Valeurs prédictives • VPP et VPN correspondent à l’inversion du conditionnement de la sensibilité et de la spécificité. • L’arbre des probabilités permet facilement cette opération. Test Positif Sensibilité Malade Prévalence Test Négatif 1 - Sensibilité Test Positif 1 - Prévalence 1 - Spécificité Non Malade Spécificité Test Négatif

27. VPP et VPN en fonction de la prévalence • Pour une sensibilité et une spécificité donnée : • Une augmentation de la prévalence entraîne une augmentation de la VPP. • Une augmentation de la prévalence entraîne une diminution de la VPN.

28. Exemple • Lepaludismeauneprévalencede90%enAfriqueetde0,001enFrance.Untestbiologiqueestutilisépourlediagnosticavecunesensibilitéde95%etunespécificitéde85%.QuellesserontlesprobabilitéspourdespatientsAfricainsetFrançaisd’avoirlepaludismequandletestestpositifetinversementdeneparavoirlamaladiequandletestestnégatif? • Conclusion:siletestestpositifenAfrique,onestquasimentcertainquelepatientalepaludismealorsqu’enFranceonnepeutrienconclure.Parcontresiletestestnégatif,onestquasimentcertainqu’enFrancelepatientn’apasdepalualorsqu’enAfrique,onnepeutriendire. • =>Attentionautransfertd’expérience.

29. Rapports de vraisemblance • RV+ : L = • Un sujet a L fois plus de chance d'avoir le test positif s'il est atteint de la maladie que dans le cas contraire. • RV- : • L'apport diagnostique d'un résultat positif du test est d'autant plus grand que le RV+ (L) est plus élevé. L'apport diagnostique d'un résultat négatif d'autant plus grand que le RV- est plus petit et proche de zéro. • B.Grenier

30. Diagramme de Fagan • Permet, sans calcul, de déterminer la probabilité post-test à partir de la prévalence (probabilité pré-test) et du rapport de vraisemblance. (source HAS) Prévalence = 10% L = 12

31. Dépistage, Confirmation diagnostique • Dépistage : • S’adresse à des sujets ne se plaignant de rien à priori sains. • Prendre un test à sensibilité élevée (peu de FN, VPN très grande) . • Éventuellement suivi d’un test de confirmation. • Ne pas oublier les autres éléments : • Acceptabilité, Risque, Coût • Confirmation d’une maladie suspectée : • Prendre un test avec une spécificité élevée(peu de FP, VPP très grande) d’autant plus que le coût du faux positif est élevé.

32. Valeurs diagnostiques d’un test • Si un test a une spécificité élevée, un résultat positif confirme l’hypothèse diagnostic. • Si un test a une sensibilité élevée, un résultat négatif élimine le diagnostic . (Règles de Sacket) • Gain diagnostic positif : • C’est la différence entre la probabilité pré-test (prévalence) de la maladie et la probabilité post-test (valeur prédictive positive). • Gain positif = VPP – prévalence.

33. Et si le test consiste à comparer une valeur quantitative à une limite ? • Silerésultatdutestbiologiqueoudusignecliniqueestunevariablequantitative(glycémie-diabète;tensionartériellesystolique-hypertension...),lasensibilitéetlaspécificitévontdépendreduseuilquel'onchoisitpourdirequeletestestpositifounégatif. • Pourchaquevaleurdelalimite,onauraunevaleurdelasensibilitéetunevaleurdelaspécificité. • CeciconduitàlacourbedeROC.

34. Spécificité et sensibilité en fonction de la limite Ici si l’on déplace la limite vers la droite, la spécificité va augmenter et le sensibilité va diminuer (diabète et glycémie par exemple). Attention, il existe des cas inverse : taux d’hormones et hypothyroidie.

35. 1 0 1 Courbe de ROC Sensibilité • A chaque valeur de la limite L du critère quantitatif, on a une valeur de la sensibilité et de la spécificité. • On obtient ainsi 1 point de la courbe. • En faisant varier la limite L, on obtient d’autres points. • La courbe joignant les points est la courbe de ROC. • Les valeurs de sensibilité et spécificité en fonction de L peuvent être obtenues par l’observation ou par la modélisation du phénomène par une loi de probabilité. 1-Spécificité

36. Courbe de ROC • Aire sous la courbe : AROC • Entre 0,5 (examen au hasard : pile ou face) et 1 (examen parfait). • Instrument privilégié d’évaluation et de comparaison des performances diagnostiques des examens complémentaires.

37. Importance de l’indépendance • Indépendance est opposé à liaison. • Deux phénomènes sont indépendants si la réalisation de l’un n’influence pas la réalisation de l’autre. • Deux phénomènes sont liés si la réalisation de l’un influence la réalisation de l’autre. • Attention : Liaison ne veut pas dire causalité. • Indépendance = hypothèse nulle du test du Khi2 sous laquelle sont calculés les effectifs théoriques.

38. Application à la reproductibilité • Problème fréquent en santé : • Deux médecins donnent un avis sur l’opportunité de réaliser une intervention chirurgicale. • Si la reproductibilité était parfaite les deux médecins seraient toujours d’accord. Mais… La concordance observée est : (10+45)/80 = 0,69

39. Reproductibilité • Si les deux jugements étaient indépendants, quels auraient été les résultats ? Les probabilités peuvent être approchées par les fréquences. Sous l’hypothèse d’indépendance, on obtient le tableau :

40. Reproductibilité Concordance observée Cobs=(10+45)/80 = 0,69 Concordance sous hypothèse d’indépendance Cthéo =(5,6+40,6)/80 = 0,58 Coefficient de Kappa Si Kappa > 0,6 : bonne concordance

41. Application à la survie • Soit les événements Morts-Vivants • P(Vivant) = 1 - P(Mort) • La probabilité d'être vivant au jour J et au jour J+1 est égale au produit des probabilités d'être vivant au jour J et J+1. JourExposésDCDPDVP(DCD)P(Viv.)Pcum(Viv) 010000011 1100300,030,971*0,97 697202/97=0,02060,97940,97*0,9794 = 0,95002 79503010,95002 1092……………