1 / 77

System ciągły; model stanu (przestrzeni stanu) - odpowiedzi

System ciągły; model stanu (przestrzeni stanu) - odpowiedzi. Poszukujemy rozwiązań. x – stany u – wejścia y - wyjścia. Rozważmy najpierw przypadek skalarny (jednowymiarowy, rzędu pierwszego). Klasyczne podejście. 1. 2. 3. Składowa wymuszona. Składowa swobodna. 4. Przykład.

sven
Download Presentation

System ciągły; model stanu (przestrzeni stanu) - odpowiedzi

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. System ciągły; model stanu (przestrzeni stanu) - odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Rozważmy najpierw przypadek skalarny (jednowymiarowy, rzędu pierwszego) Klasyczne podejście 1.

  2. 2. 3. Składowa wymuszona Składowa swobodna

  3. 4.

  4. Przykład x(t) = uc(t) vC(0- ) = 1V

  5. System ciągły; model stanu (przestrzeni stanu) – odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Weźmy równanie stanu: Rozwiązanie: Składowa swobodna Składowa wymuszona

  6. Składowa swobodna – rozwiązanie równania jednorodnego Rozwiązanie równania jednorodnego proponujemy w postaci: gdzie Sprawdzenie

  7. Rozwiązanie ogólne – rozwiązanie równania jednorodnego, zatem: gdzie Przejdziemy do wyznaczenia rozwiązania szczególnego – składowej wymuszonej – rozwiązania równania niejednorodnego Rozwiązanie równania niejednorodnego proponujemy w postaci:

  8. Rozwiązanie to musi spełniać równanie niejednorodne z drugiej strony, podstawiając proponowane rozwiązanie do równania stanu porównując

  9. podstawiając ostatni wynik do proponowanego rozwiązania Rozwiązanie szczególne – rozwiązanie równania niejednorodnego, zatem: Podsumowując – rozwiązanie równania stanu Składowa wymuszona Składowa swobodna

  10. Weźmy równanie wyjścia: Wyjście policzymy podstawiając uzyskany wynik rozwiązania równania stanu Podsumowanie:

  11. Kluczowy problem przy korzystaniu z tego rozwiązania – obliczenie - macierz tranzycji stanu – macierz fundamentalna I sposób – z definicji szeregu wykładniczego

  12. Przykład 1: Model części mechanicznej silnika prądu stałego, przy zaniedbaniu dynamiki obwodu twornika, wpływu na ten odwód obwodu wzbudzenia i pominięciu momentu obciążenia zewnętrznego można zapisać Przyjmując: otrzymamy Przyjmijmy dla uproszczenia rachunków: oraz

  13. Policzmy potęgi A:

  14. Korzystamy z definicji Czasem nie ma potrzeby liczenia granicy szeregu Przykład 2:

  15. Policzmy potęgi A:

  16. Szereg potęgowy zawiera skończoną liczbę wyrazów

  17. Wynik ten można uogólnić na dowolne n

  18. II sposób pokażemy znajdując najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej s

  19. Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać

  20. Przykład 3: macierz dołączona wyznacznik

  21. Otrzymujemy:

  22. Rozkład na ułamki proste elementów macierzy Podobnie

  23. Otrzymujemy Ostatecznie macierz tranzycji

  24. Przykład 4: Policzymy odpowiedzi układu przy zadanych warunkach początkowych na jednostkowe wymuszenie skokowe Policzmy najpierw:

  25. Stąd: Stąd bezpośrednio:

  26. Dla podanych warunków początkowych składowa swobodna odpowiedzi stanu i wyjścia :

  27. Dla skokowego jednostkowego wejścia transformata Laplace’a składowej wymuszonej odpowiedzi stanu i wyjścia (w dziedzinie zmiennej s)

  28. Dla skokowego jednostkowego wejścia składowa wymuszona odpowiedzi stanu i wyjścia Pełna odpowiedź stanu i wyjścia

  29. Związki z transmitancją Dla układu SISO: Odpowiedź wyjścia: Funkcja przejścia - transmitancja Funkcja tranzycji stanu

  30. Otrzymaliśmy: Transmitancja: Odpowiedź impulsowa:

  31. System dyskretny; model stanu (przestrzeni stanu) – odpowiedzi Poszukujemy rozwiązań Będziemy przyjmowali: Rozwiązanie równania stanu w postaci rekursywnej:

  32. W ogólnej postaci: Macierz tranzycji stanu: Jest to odpowiednik w dziedzinie czasu ciągłego macierzy Porównanie odpowiedzi stanu Składowa wymuszona Składowa swobodna

  33. Odpowiedź wyjścia: Możemy np. policzyć odpowiedź wyjścia na sekwencję impulsu jednostkowego:

  34. Transformata Z Odpowiednikiem transformacji s Laplace’a dla systemów ciągłych jest transformacja z dla systemów dyskretnych Interesują nas podobnie: sygnały o wartości zero dla ujemnych chwil czasowych i jednostronna transformacja z Dwa alternatywne sposoby zdefiniowania: Definicja 1: Mając daną sekwencję sygnałów jej transformację z definiujemy jako Zmienną z-1 możemy traktować w podanej definicji jako operator opóźnienia w czasie – wskaźnik pozycji sygnału w sekwencji

  35. Pożytki: Zastąpienie nieskończonego ciągu, jego sumą (szeregiem) mogącą mieć użyteczną postać do analizy Pytania: - istnienie sumy – zbieżność szeregu - możliwość odtworzenia z wynikowego wyrażenia zmiennej z, elementów sekwencji w dziedzinie czasu

  36. Definicja druga związana jest z sekwencją uzyskaną z próbkowania z okresem Ts sygnału ciągłego i transformacją Laplace’a Ilustracja związków dziedzina ciągła – dziedzina dyskretna poprzez idealny impulsator gdzie

  37. Definicja 2: Mając daną sekwencję sygnałów z próbkowania ciągłej funkcji f(t) z okresem T s w postaci Transformacja Laplace’a tej sekwencji dana jest Definiując zmienną z Otrzymujemy

  38. Doszliśmy do określenia transformacji z lub z zastrzeżeniem, że transformata z istnieje tylko wtedy, gdy istnieje pewne z dla którego szereg z definicji jest zbieżny

  39. Przykład 5 Rozważmy sekwencję skoku jednostkowego z określonym okresem próbkowania Mamy szereg jest zbieżny i transformata z istnieje Jeżeli Szereg geometryczny zbieżny

  40. Przykład 6 Rozważmy funkcję Przy próbkowaniu z okresem Transformata z szereg jest zbieżny i transformata istnieje Jeżeli

  41. Transformaty z wybranych sekwencji sygnałów Transformata Z Sekwencja

  42. Wybrane właściwości - transformaty z funkcji przesuniętych w czasie gdzie k jest dodatnie oraz - przesunięcie wstecz - przesunięcie wprzód - twierdzenie o wartości początkowej - twierdzenie o wartości końcowej

  43. Korzystając z definicji i podanych własności możemy dokonać transformacji dyskretnego równania stanu i znaleźć jego odpowiednik w dziedzinie zmiennej z otrzymamy Ostatnie równanie może być rozwiązane względem transformaty X(z) Wprowadzając oznaczenie Możemy to rozwiązanie zapisać w postaci

  44. Równanie wyjścia w dziedzinie zmiennej z

  45. Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać

  46. Dla skorzystania z tej ostatniej zależności potrzebna jest umiejętność przeprowadzania transformacji odwrotnej z, czyli znajdowania wartości funkcji w chwilach próbkowania Transformacja odwrotna znajduje tylko wartości funkcji w chwilach próbkowania, ale nie umożliwia znalezienia okresu próbkowania Dla znajdowania wartości funkcji w chwilach próbkowania – sekwencji wartości, praktycznie znajduje się wykorzystując  dzielenie wielomianów  rozkład na ułamki

  47.  Dzielenie wielomianów Z definicji transformacji Z Jeżeli w jakiś sposób potrafimy przedstawić funkcję F(z) w postaci to jest oczywiste, że Jeżeli F(z) jest funkcją wymierną – ułamkiem wielomianów, to wartości ci mogą być znalezione drogą dzielenia wielomianów

  48. Przykład 7 Znaleźć f[k] - dzielimy licznik i mianownik przez największa potęgę z

  49. - dzielimy licznik przez mianownik

More Related