Slide1 l.jpg
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 80

Parabola PowerPoint PPT Presentation


  • 134 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Parabola. Dato un punto F del piano. F. d. ed una retta d. si dice parabola l’insieme dei punti del piano equidistanti dal punto F e dalla retta d . Parabola punto per punto. Animazione : clicca sull’immagine.

Download Presentation

Parabola

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Slide1 l.jpg

Parabola

Dato un punto F del piano

F

d

ed una retta d

si diceparabolal’insieme dei punti del piano

equidistanti dal punto F e dalla retta d


Slide2 l.jpg

Parabola punto per punto

Animazione : clicca sull’immagine


Slide3 l.jpg

Ogni punto è determinato dall’eguaglianza fra le distanze punto-retta punto-fuoco

fuoco F

direttrice

Per ogni punto il valore delle distanze(=raggio) è diversa, tranne che . . .

fuoco F

direttrice


Slide4 l.jpg

L’insieme dei punti (parabola)

  • ha un punto particolare detto vertice

  • è simmetrico rispetto alla linea asse di simmetria

Asse di

simmetria

F fuoco

V vertice


Slide5 l.jpg

10

8

6

F

4

V

2

4

2

0

2

4

6

8

10

2

4

Rappresentazione della parabola nel piano cartesiano

Se nel piano inseriamo un sistema di assi cartesiani si ha la rappresentazione a fianco della parabola.

Il fuoco F e il vertice V sono punti,ognuno con le sue coordinate, l’asse di simmetria è una retta parallela all’asse y.


Slide6 l.jpg

I punti della parabola sono costruiti sull’eguaglianza delle distanze dal fuoco e dalla direttrice

Animazione : clicca sull’immagine


Slide7 l.jpg

Variando fuoco e direttrice si possono ottenere parabole diverse

per posizione . . .

Animazione : clicca sull’immagine


Slide8 l.jpg

. . . e per ampiezza

Animazione : clicca sull’immagine


Slide9 l.jpg

P

10

F

8

6

4

2

5

0

5

10

2

4

I punti di una parabola soddisfano tutti la proprietà eguaglianza delle distanze. Possiamo determinarne l’equazione.


Slide10 l.jpg

Equazione generica della parabola

a,b,c R

Asse di simmetria parallelo asse y

a,b,c R

Asse di simmetria parallelo asse x

Ci occuperemo qui delle parabole con asse di simmetria parallelo all’asse y

Per approfondimenti vedere scheda


Slide11 l.jpg

Esercizio 1

Esercizio 2

Variazione dei grafici al variare dei coefficienti

a,b,c R

Vediamo come si presenta il grafico della parabola al variare dei valori a,b,c

Con il pacchetto grafico che avete a disposizione disegnate nel piano cartesiano le parabole :


Slide12 l.jpg

10

5

10

5

0

5

10

5

10

Esercizio 1

Esercizio 2

Si ottengono i grafici

Concavità

a>0 a<0


Slide13 l.jpg

Esercizio 3

Esercizio 4

Vertice

Al variare di a e b varia la posizione dell’ascissa del vertice, che ha infatti coordinate :

Per approfondimenti vedere scheda


Slide14 l.jpg

Esercizio 5

Al variare di c varia la posizione del vertice per quanto riguarda l’ordinata : il grafico della parabola risulta traslato


Slide15 l.jpg

Esercizio 6

Intersezioni con gli assi


Slide16 l.jpg

Per determinare il punto d’intersezione con l’asse y si risolve il sistema

P(0,c)

x = 0

Y = 0

Per determinare i punti d’intersezione con l’asse x si risolve il sistema

Si ottiene un’equazione di 2° grado in x

le cui soluzioni rappresentano le ascisse dei punti d’intersezione

Quali sono i punti in cui la parabola taglia gli assi cartesiani ?


Slide17 l.jpg

La parabola ha due punti d’intersezione con l’asse x

Se b2-4ac> 0

La parabola ha un punto d’intersezione con l’asse x

Se b2-4ac= 0

La parabola non ha punti d’intersezione con l’asse x

Se b2-4ac< 0


Slide18 l.jpg

Inoltre

Se c=0

y=ax2+bx

La parabola passa per l’origine

Se b=0

y=ax2+c

La parabola ha il vertice sull’asse y

Se b=0 e c=0

y=ax2

La parabola ha il vertice nell’origine


Slide19 l.jpg

10

8

vertice

6

F

4

fuoco

V

2

direttrice

4

2

0

2

4

6

8

10

2

equazione asse di simmetria

4

Formule

y=ax2+bx+c

Per approfondimenti vedere scheda


Come si rappresenta la parabola di equazione y ax 2 bx c nel piano cartesiano l.jpg

4

2

2

0

2

4

2

4

V

Come si rappresenta la parabola di equazione y=ax2+bx+c nel piano cartesiano

  • Determinare le coordinate del vertice V

  • Determinare l’equazione dell’ asse di simmetria

  • Determinare le coordinate degli eventuali puntid’intersezione con gli assi

  • Determinare le coordinate di qualche altro punto, anche tenendo presente la simmetria

  • Rappresentare punti e asse nel piano : essi caratterizzano il grafico


Slide21 l.jpg

Classificazione

La parabola fa parte di una famiglia di curve dette CONICHE

Con il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono indefinito e un piano che non passa per il vertice del cono stesso.


Slide22 l.jpg

PARABOLA

ELLISSE

IPERBOLE

CIRCONFERENZA

(ellisse particolare)


Slide23 l.jpg

Osserva la linea d’intersezione cono-piano

Animazione : clicca sull’immagine


Slide24 l.jpg

In questo caso la curva ottenuta come intersezione tra il cono indefinito e il piano è la parabola


Slide25 l.jpg

Osserva la linea d’intersezione cono-piano

Animazione : clicca sull’immagine


Slide26 l.jpg

In questo caso la curva ottenuta come intersezione tra il cono indefinito e il piano è l’ellisse


Slide27 l.jpg

Osserva la linea d’intersezione cono-piano

Animazione : clicca sull’immagine


Slide28 l.jpg

In questo caso la curva ottenuta come intersezione tra il cono indefinito e il piano è l’iperbole


Slide29 l.jpg

parabola

ellisse

iperbole

La curva ottenuta dipende

dall’inclinazione

L’equazione generale di una conica è: ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0 a,b,c,d,e,f R


Per farle a casa l.jpg

Per farle a casa

Una torcia elettrica accesa posta perpendicolarmente ad una parete la illumina formando un cerchio

Le coniche si ottengono intersecando un cono ed un piano : in questo caso il cono è il fascio di luce ed il piano è la parete.

Se incliniamo la torcia si ottiene un’altra figura luminosa : l’ellisse.

Inclinando maggiormente la torcia, la linea esterna della parte illuminata diventa una parabola

Ruotando ancora di più si ottiene un ramo di iperbole.


Slide31 l.jpg

Parabola : applicazioni e meccanismi

  • Moto di un proiettile

  • Fontane

  • Fuochi artificiali

  • Ponti sospesi

  • Proprietà focali della parabola

  • Specchi ustori

  • Antenna parabolica

  • Fari dei porti

  • Fari auto, flash, proiettori


Slide32 l.jpg

FINE


Slide34 l.jpg

Moto di un proiettile

Il moto di un proiettile è il moto di un peso che viene lanciato in aria obliquamente. Il lancio di una palla da baseball, da golf o lo sparo di una pallottola sono esempi di questo moto.

Galileo(1564-1642) fu il primo a studiare scientificamente tale moto e nei Discorsi e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze dimostrò che la traiettoria di un proiettile è una parabola.

Consideriamo il proiettile soggetto alla sola forza di gravità, supponendo nulla l'influenza dei vari agenti atmosferici, in particolare le forze di attrito dell'aria e  quelle del vento.


Slide35 l.jpg

Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani il moto, supponendo che l’origine sia il punto nel quale il proiettile inizia a muoversi obliquamente con velocità v0

Facendo un po' di conti si scopre che la funzione del moto ha la forma: y =ax2 +bx: la TRAIETTORIA è una parabola passante per l'origine e con concavità rivolta verso il basso.

v0

Animazione : clicca sull’immagine

Per approfondimenti vedere scheda


Slide36 l.jpg

v0

Scheda 4 moto di un proiettile

Il moto di un proiettile è il moto di un peso che viene lanciato in aria obliquamente. Il lancio di una palla da baseball, da golf o lo sparo di una pallottola sono esempi di questo moto.

Galileo(1564-1642) fu il primo a studiare scientificamente tale moto e nei Discorsi e Dimostrazioni matematiche sopra due Nuove Scienze dimostrò che la traiettoria di un proiettile è una parabola.

Consideriamo il proiettile soggetto alla sola forza di gravità, supponendo nulla l'influenza dei vari agenti atmosferici, in particolare le forze di attrito dell'aria e  quelle del vento.

Rappresentiamo in un sistema di assi cartesiani il moto, supponendo che l’origine sia il punto nel quale il proiettile inizia a muoversi con velocità v0 e con un angolo di inclinazione θ

g : accelerazione di gravità

v0 : velocità iniziale,θ : angolo formato col terreno (alzo)


Slide37 l.jpg

g

v0

v0y

v0x

Le coordinate del punto P (x,y) che individua la posizione del proiettile al passare del tempo t sono

x = v0x t

y = v0y t - 1/2 g t2

v0x: componente orizzontale della velocità iniziale v0

v0y: componente verticale della velocità iniziale v0

L'accelerazione è quella gravitazionale ed essendo diretta verso la terra è negativa, quindi va sottratta

L’equazione della traiettoria si ottiene eliminando il tempo t. Si ha così :

y = v0y / v0x x - 1/2 g x2/ v0x2

che ha la forma: y =ax-bx2, ed è l'equazione di una parabola passante per l'origine e con concavità rivolta verso il basso; e questo prova che la TRAIETTORIA di un proiettile è una parabola.

Nel caso in cui un proiettile venga lanciato da un'altezza h, y ha anche un termine noto, che significa che parabola descritta non passa per (0, 0).


Slide38 l.jpg

75°

60°

45°

30°

15°

ymax

θ

Gittata

  • Per ottenere la traiettoria in funzione dell’alzo θ : essendo

  • v0x = v0 cos θ

  • v0y = v0 sin θ

  • si ottiene

  • x = (v0 cos θ) t

  • y = (v0 sin θ) t - 1/2 g t2

  • La funzione che si ottiene eliminando t è

  • y = (tang θ) x -[ g/2 v0 2cos2 θ ] x2

  • Per ottenere l’altezza massima del proiettile corrispondente ad un certo valore di v0 e di θ si può determinare il vertice della parabola. Perciò si avrà :

  • ymax= v0 2sin2θ /g

  • Per ottenere la gittata intersecando con l'asse delle x si ha :

  • Gittata = v02 sin 2θ /g

  • Variamo la funzione per l'alzo a che varia da 0° a 90°. Si può osservare che la gittatamassima si ottiene per 45° e che le gittate sono uguali per angoli che differiscono ugualmente da 45°,cioè per angoli complementari.


Slide40 l.jpg

La parabola più elementare ha equazione

Cerchiamo l’equazione della parabola di fuoco F(0,m ) e direttrice d: y = -m nel piano cartesiano.

  Per ogni punto P(x,y) della parabola si deve ottenere :

distanza (P ,F) = distanza ( P,retta d)

quindi

= y +m

Sviluppando i calcoli si ottiene

y = x2

Ponendo =a si ottiene y =a x2

P

F

y=-m

asse di simmetriax=0

Parabola con vertice nell’origine Formule


Slide41 l.jpg

Una parabola con vertice in un punto W(h,k) può essere vista come una traslazione della parabola con vertice V(0,0). Tutti i punti P(x,y) di y=ax2 sono spostati in Q(X,Y) secondo la trasformazione

X = x+h

x = X-h

Y = y+k

y = Y-k

Si ricava

Poiché x e y sono legati dalla relazione y=ax2 sostituendo si ottiene Y-k=a(X-h)2

Y= aX2 - 2ahX + ah2+k

↑ ↑ ↑

Si ottiene l’equazione della parabola Y= aX2 + bX + c

ponendo b=-2ah c= ah2+k

Parabola generica Formule

Q(X,Y)

P(x,y)

W(h,k)

k

V(0,0)

h


Slide42 l.jpg

Le formule relative a vertice V, fuoco F, retta direttrice e asse di simmetria della parabola

y=ax2

tramite la trasformazione risultano per la parabola

y=ax2+ bx + c

X = x+h

Y = y+k

Formule


Slide44 l.jpg

La parabola più elementare ha equazione

Cerchiamo l’equazione della parabola di fuoco F(0,m ) e direttrice d: y = -m nel piano cartesiano.

  Per ogni punto P(x,y) della parabola si deve ottenere :

distanza (P ,F) = distanza ( P,retta d)

quindi

= y +m

Sviluppando i calcoli si ottiene

y = x2

Ponendo =a si ottiene y =a x2

P

F

y=-m

asse di simmetriax=0

Parabola con vertice nell’origine Formule


Slide45 l.jpg

Una parabola con vertice in un punto W(h,k) può essere vista come una traslazione della parabola con vertice V(0,0). Tutti i punti P(x,y) di y=ax2 sono spostati in Q(X,Y) secondo la trasformazione

X = x+h

x = X-h

Y = y+k

y = Y-k

Si ricava

Poiché x e y sono legati dalla relazione y=ax2 sostituendo si ottiene Y-k=a(X-h)2

Y= aX2 - 2ahX + ah2+k

↑ ↑ ↑

Si ottiene l’equazione della parabola Y= aX2 + bX + c

ponendo b=-2ah c= ah2+k

Parabola generica Formule

Q(X,Y)

P(x,y)

W(h,k)

k

V(0,0)

h


Slide46 l.jpg

Le formule relative a vertice V, fuoco F, retta direttrice e asse di simmetria della parabola

y=ax2

tramite la trasformazione risultano per la parabola

y=ax2+ bx + c

X = x+h

Y = y+k

Formule


Slide48 l.jpg

La parabola più elementare ha equazione

Cerchiamo l’equazione della parabola di fuoco F(0,m ) e direttrice d: y = -m nel piano cartesiano.

  Per ogni punto P(x,y) della parabola si deve ottenere :

distanza (P ,F) = distanza ( P,retta d)

quindi

= y +m

Sviluppando i calcoli si ottiene

y = x2

Ponendo =a si ottiene y =a x2

P

F

y=-m

asse di simmetriax=0

Parabola con vertice nell’origine Formule


Slide49 l.jpg

Una parabola con vertice in un punto W(h,k) può essere vista come una traslazione della parabola con vertice V(0,0). Tutti i punti P(x,y) di y=ax2 sono spostati in Q(X,Y) secondo la trasformazione

X = x+h

x = X-h

Y = y+k

y = Y-k

Si ricava

Poiché x e y sono legati dalla relazione y=ax2 sostituendo si ottiene Y-k=a(X-h)2

Y= aX2 - 2ahX + ah2+k

↑ ↑ ↑

Si ottiene l’equazione della parabola Y= aX2 + bX + c

ponendo b=-2ah c= ah2+k

Parabola generica Formule

Q(X,Y)

P(x,y)

W(h,k)

k

V(0,0)

h


Slide50 l.jpg

Le formule relative a vertice V, fuoco F, retta direttrice e asse di simmetria della parabola

y=ax2

tramite la trasformazione risultano per la parabola

y=ax2+ bx + c

X = x+h

Y = y+k

Formule


Slide52 l.jpg

Antenna parabolica

I grandi radiotelescopi e le antenne paraboliche con le quali si ricevono le trasmissioni televisive dai satelliti agiscono secondo lo stesso principio: i segnali, praticamente paralleli data la grande distanza da cui provengono, rimbalzano sull'antenna e vengono concentrati sul ricevitore posto nel suo fuoco, aumentando così considerevolmente la potenza in ingresso. In altre parole, l'antenna parabolica funge da amplificatore, o meglio da condensatore dei segnali, altrimenti piuttosto deboli, provenienti dai satelliti.


Slide55 l.jpg

Fari dei porti

Lo stesso  principio viene utilizzato in modo opposto nei fari dei porti, nelle calotte dei fari per auto e moto e neiproiettori in genere: una luce posta nel fuoco viene irradiata parallelamente all'asse del fuoco. Un raggio proveniente dal fuoco viene riflesso dalla parabola in una direzione parallela all'asse.

fuoco F

LANTERNA di Genova


Slide56 l.jpg

Colosso di Rodi

Probabilmente il primo faro ad utilizzare le proprietà focali della parabola fu proprio il faro di Rodi, considerato all'epoca una delle sette meraviglie del mondo. Alto 85 metri poteva esser visto a circa 50 km di distanza. Esso fu costruito ad Alessandria  (Rodi era una isoletta davanti al porto cittadino) nel 280 a. C. cioè nell'epoca e nei luoghi in cui lo studio delle conicheda parte dei Greci era in pieno sviluppo.

Colosso di Rodi


Slide58 l.jpg

Fari auto, flash, proiettori

La luce emessa dalla lampadina posta nel fuoco della superficie riflettente parabolica dirige i raggi uscenti in direzione parallela all’asse, creando un fascio di luce meno disperso, di più alta luminosità direzionata. Tale principio viene sfruttato in generale nella costruzione di proiettori

Moto d’epoca Guzzi Sport14

Ingrandimento della calotta del faro


Slide60 l.jpg

Fontane

Apparato per mostrare la traiettoria parabolica dei liquidi(Istituto e Museo di Storia della Scienza, Firenze, ITALIA).

Gli strumenti esposti in questa sala furono costruiti nell'officina del Museo di Fisica dal 1775, sotto la direzione di Felice Fontana (1730-1805).


Slide61 l.jpg

La Barcaccia - Roma

Euroflora

Genova

Fontana di produzione


Slide62 l.jpg

Fontana di produzione


Slide63 l.jpg

Fontana di produzione


Slide64 l.jpg

Le 99 cannelle – L’Aquila


Slide65 l.jpg

Fontana delle Naiadi – Roma


Slide67 l.jpg

Fuochi artificiali


Slide69 l.jpg

Animazione : clicca sull’immagine


Slide71 l.jpg

Specchi ustori

La leggenda secondo la quale Archimede (III sec. a.C.) avrebbe incendiato le navi romane con uno specchio ustorio ha dato luogo a ricerche fino al Seicento inoltrato.

Animazione : clicca sull’immagine


Slide73 l.jpg

Disposizione dei cavi dei ponti sospesi

La costruzione di un ponte è un problema che per la sua utilità ha suscitato interesse fin dall’antichità.

I più imponenti sono sicuramente i ponti sospesi, ponti cioè in cui l’impalcato è sospeso mediante tiranti in acciaio ai cavi portanti, disposti secondo una certa curva e sostenuti da alti piloni.

Ponti sospesi


Slide74 l.jpg

Ciascuno dei cavi forma una spezzata i cui vertici sono i punti in cui i tiranti si saldano al cavo.

Tali punti appartengono ad una curva parabolica.

Per approfondimenti vedere scheda


Slide75 l.jpg

Il Golden Gate, sulla baia di S. Francisco, è uno dei ponti maggiori di questo tipo; è stato costruito negli anni ’30 ed ha una luce libera di 1280 m. I cavi d’acciaio del Golden Gate hanno 93 cm di diametro e sono formati da 27500 "fili" di 6 mm di diametro, pesano da soli circa 15.000 tonnellate e sostengono un impalcato a 75 m dal mare. Le torri sono alte 223 m sopra il pelo dell’acqua. Questi dati possono forse aiutare a capire l’interesse per calcolare la " curva" lungo cui si dispongono i cavi in modo da conoscere la lunghezza dei tiranti prima di aver iniziato la costruzione del ponte.


Slide76 l.jpg

Un problema che potrebbe apparire dello stesso tipo è quello della forma di una catena o di una fune appesa agli estremi: esso ha come soluzione una curva, la catenaria, di equazione

y = (ex+e-x)/2.

che differisce dalla parabola

Le differenze sono dovute alle forze che agiscono sui cavi a causa del peso dell’impalcato.


Slide77 l.jpg

y1 = b

SCHEDA

I vertici della nostra spezzata appartengono alla parabola di equazione:

y = (p/2aT) x2 + (b - ap/8T)

con:

a = distanza fra due tiranti consecutivi

b = y1 = ordinata all’origine

p = forza peso

T = tensione del cavo


Slide79 l.jpg

Proprietà focali della parabola

Il fuoco della parabola ha interessanti proprietà relative alla riflessione e convergenza dei raggi luminosi.

fuoco F

Un raggio proveniente  secondo una direzione parallela all'asse della parabola quando incontra la superficie parabolica viene riflesso nel fuoco.


Slide80 l.jpg

Se dunque vogliamo concentrare in un punto dei raggi paralleli (o praticamente paralleli, come ad esempio quelli del sole) si dovrà usare una superficie riflettente a forma di parabola (paraboloide).

Se la parabola è orientata verso il sole allora cattura i raggi solari, cioè tutti i raggi riflessi convergono nel fuoco F. Così facendo si può costruire uno specchio ustorio, capace di incendiare un pezzo di carta o di legno posto nel suo fuoco.

Questa proprietà giustifica tra l'altro il nome stesso di fuoco.

paraboloidesuperficie ottenuta dalla rotazione di una parabola attorno al suo asse

Animazione : clicca sull’immagine


  • Login