§4.4 衍射光栅

1. 4 光波衍射与变换 §4.4 衍射光栅

2. 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 主要内容 1. 光栅及其结构特点 2. 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 3. 闪耀光栅 4. 正弦光栅的夫琅禾费衍射 5. 体光栅的布拉格衍射 6. 光栅的云纹效应 7. 塔耳博特效应

3. 图4.4-2 正弦光栅 图4.4-1 朗琴光栅 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4.1光栅及其结构特点 (1) 定义 狭义：平行、等宽且等间隔的多狭缝衍射屏（朗琴光栅） 广义：具有周期性空间结构的衍射屏

4. 正交光栅（周期：500nm） 硅片上离子束刻蚀的光栅（周期：440nm） 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换

5. 4 光波衍射与变换 4.4.1光栅及其结构特点 4.4 衍射光栅 (2) 分类 按照明方式：透射型（平面、三维），反射型（平面） 按调制光波方式：振幅型，相位型，混合型 按结构特点：矩形，正弦型，阶跃型 (3) 光栅的特征参数 光栅常数（周期）：相邻栅线的间距，即空间周期的长度，以d表示 光栅频率：光栅常数的倒数1/d，以f0表示 (4) 光栅的用途 衍射分光，高频调制

6. 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 L L1 Pq G q P0 S q f ' 图4.4-3 光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 (1) 衍射图样的形成机制 单色点光源S经透镜L1准直后垂直照射在一朗琴光栅G上，透过光栅的衍射光波经透镜L会聚在其像方焦平面上，形成夫琅禾费衍射。

7. ( ) 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅 设光栅的透光部分包含N个狭缝，每个狭缝宽度为a，相邻两个狭缝的间距（光栅常数）为d，透过单个狭缝的光波在P0点的振幅和强度分别为A0和I0=A02。根据单缝衍射和多光束干涉的特点可得出： ①透过每个狭缝的光波，均在透镜L的像方焦平面上形成一组振幅分布相同且位置重合的夫琅禾费衍射光场，其中透过第m个狭缝的衍射光波在P点的振幅大小： ( ) (4.4-1) ② 相邻狭缝对应的衍射光波在叠加点的相位差相等，并且等于： (4.4-2)

8. 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅 ③各个狭缝引起的单缝衍射光波在透镜L的像方焦平面上形成等强度的多光束干涉，其在q方向总的叠加光波复振幅和强度分布分别为 (4.4-3) (4.4-4) 单缝衍射因子： 缝间干涉因子：

9. (2) 衍射图样的强度分布 （a=0） 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅 主极大值位置： 或 (4.4-5) j=0, 1, 2, 3, ··· (4.4-6) 主极大值强度： (4.4-7) 中央主极大值强度： 极小值位置： (4.4-8) j'=1, 2, 3, ···，但 j'≠N, 2N, 3N, ··· 极小值强度： (4.4-9)

10. 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅 次极大值位置： (4.4-10) j'=1, 2, 3, ···，但 j'≠N, 2N, 3N, ··· 次极大值强度： (4.4-11) 讨 论： ①由于a<d，在单缝衍射的每一级亮纹区域内又出现了一系列新的强度极值点。相邻两个主极大值之间分布着N-1个极小值和N-2个次极大值。 ② 主极大值位置与狭缝数目无关，但其强度大小正比于狭缝数目的平方及单缝衍射强度因子。因此，一方面主极大值中心点的光强度随狭缝数目的增大而增大；另一方面，各级主极大值中心点的相对强度又按sinc2a形式分布，中央主极大值中心点的光强度最大。

11. 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅 ③ 随着狭缝数目的增大，次极大值强度越来越小，并以各主极大值点为中心向两侧依次减弱。当N很大时，最大的次极大值强度不超过主极大值的1/23。因此，一般情况下衍射光能量主要集中在各主极大值条纹上。 ④ 若取狭缝数目N=2，则缝间干涉因子变为： 强度分布变为： (4.4-12) 结论： 多缝或光栅衍射实际上是受单缝衍射因子调制的多光束干涉。给定缝的间隔d后，强度主极大值位置即确定，单缝衍射因子并不改变主极大值的位置，只改变各级主极大值的强度。或者说，单缝衍射因子的作用仅仅在于影响衍射光强度在各级主极大值间的分配。

12. N=1 N=2 d=3a N=3 d=3a N=4 d=3a N=5 d=3a a /p 衍射图样 归一化强度分布 图4.4-4 多缝的夫琅禾费衍射图样及强度分布 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅

13. 多缝的夫琅禾费衍射图样（仿真） 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅

14. N=20 d=3a a /p 图4.4-5 光栅的夫琅禾费衍射图样强度分布（归一化） 正交光栅的夫琅禾费衍射图样 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅

15. (3) 光栅衍射条纹的半角宽度及角间距 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅 半角宽度：亮纹中心与其一侧相邻暗纹中心对透镜中心的张角，以DqW表示。 角间距：相邻亮纹中心对透镜中心的张角，以Dqd表示。 单缝衍射因子中央主极大值的角宽度： (4.4-13) 光栅衍射第j个主极大值中心的角位置： (4.4-14) 相邻第一极小值的角位置： (4.4-15) 第j个主极大条纹的半角宽度： (4.4-16) 相邻两个主极大值条纹的角间距： (4.4-17)

16. 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅 结论： ① 光栅衍射主极大值条纹的半角宽度正比于照射光的波长，反比于狭缝数目及光栅常数，并随着衍射角的增大而增大。当狭缝数目很大时，主极大值条纹将变为一明细的亮线，即光栅的衍射谱线。 ② 相邻主极大值条纹的角间距正比于照射光的波长，反比于光栅常数，并随着衍射角的增大而增大。当狭缝数目很大时，角间距远大于半角宽度（ Dqjd>> DqjW），衍射图样为宽阔的暗背景下的一组锐细的亮线。 ③当衍射角较小时，主极大值条纹的半角宽度和角间距近似为常数： (4.4-18) (4.4-19)

17. (4) 光栅方程 G q q0 G q q0 (a) 同侧 (b) 异侧 图4.4-6 平行光倾斜照射光栅时的夫琅禾费衍射 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅 光栅方程：平面衍射光栅在给定衍射角方向出现主极大值中心的必要条件 平行光垂直入射： ， j=0, 1, 2, 3, ··· (4.4-20) ， j=0, 1, 2, 3, ··· 平行光斜入射： (4.4-21) 符号规则：以光栅法线为基准，入射光与衍射光位于同侧时，入射角q0前取正号；异侧时，取负号。

18. (5) 缺级现象 d=2a d=3a d=4a d=5a 图4.4-7 光栅衍射的缺级现象（N=20） 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅 缺级现象：衍射图样中亮条纹的缺位现象。 缺级的原因： 给定衍射角方向上相应级次的主极大值条纹中心与单缝衍射的某一级极小值位置重合。即该衍射方向同时满足条件：dsinq=±jl和asinq=±j'l，故而受单缝衍射因子的调制，该级主极大值条纹强度等于0。 缺级亮条纹级次： (4.4-22)

19. 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅 结 论 光栅方程只表示了在给定衍射角方向出现主极大值中心的必要条件，即使该条件已得到满足，但同时在该方向又满足单缝衍射的极小值条件，则该方向上的主极大值将并不出现，即发生缺级现象。

20. (6) 光栅光谱 0级衍射 L2 白光 光源 L1 蓝 光栅 绿 平行光管 红 S 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅 光栅光谱：根据光栅方程，在给定亮纹级次情况下，衍射角与波长成正比。因此，复色光照射时，同一级次不同波长的衍射主极大值位置不同，从而形成的一组不同波长彼此分开的锐细的彩色谱线。 光栅光谱仪：基于光栅衍射分光原理的光谱仪——摄谱仪、单色仪、分光计。 图4.4-8 光栅光谱仪原理

21. ① 光栅光谱的特点 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅 • 同一级谱线中，长波谱线的衍射角大于短波谱线； • 随着级次的增大，不同波长、不同级次的谱线可能发生重叠； • 白光照射时，除中央0级亮纹中心仍为白色外，其余各级均为自短波长到长波长排列的连续光谱。 ② 光栅光谱仪的色散本领（色散率）——衍射角随波长的变化率 (4.4-23) 角色散率： 线色散率： (4.4-24) 结论：光栅光谱的色散本领与光栅常数及衍射光谱级次有关。衍射级次越高，光栅常数越小，色散本领越大。

22. 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅 ③ 光栅光谱与棱镜光谱的比较 棱镜光谱：非匀排光谱，只有一级。起因于折射率色散，↑，q↓； 光栅光谱：匀排光谱（小角度），有多级。起因于衍射色散，↑，q↑。 ④ 光栅光谱仪的量程 由于光栅的衍射角最大不超过90o（q<90o），故满足光栅方程的最大波长：lmax≤d。表明光栅光谱仪的最大量程为光栅常数d。工作于不同波段的光谱仪要选用适当光栅常数的光栅备件。 ⑤ 光栅光谱仪的自由光谱范围 为使相邻级次光谱不至于出现重叠现象，要求光谱仪工作波段第j级的上限（长波）lM与第（j+1）级的下限（短波）lm满足关系：(j+1)lm>jM。满足这一关系的波长范围，称为光谱仪在该衍射级的自由光谱范围。对于1级光谱：lm> lM/2。

23. 4 光波衍射与变换 4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅 说 明 由于透镜总是存在色差问题，实际光谱仪中都尽量避免适用透镜进行光谱成像，而是采用凹面反射镜来会聚衍射光谱。因为反射镜系统是理想的消色差系统。有的光栅光谱仪直接采用凹面反射式光栅，既作为分光器件，又作为成像器件，从而大大简化了光路系统。

24. 4.4.3 闪耀光栅 刻槽平面 q b 光栅平面 d 图4.4-9 闪耀光栅的结构 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 透射式光栅的缺点：0级主极大值条纹占有绝大部分光能量，仅有很少部分光能量分布于高级次条纹上。特别是当光栅狭缝数目很大时，高级次条纹的强度变得很小。 闪耀光栅：由一组锯齿状刻槽构成的反射式光栅。 闪耀光栅的特点：可将单槽衍射的0级与槽间干涉的0级在空间错开，从而把光能量转移并集中到所需要的某一级光谱上。 闪耀角：刻槽面法线与光栅面法线之间的夹角，以qb表示。

25. ① 平行光束垂直刻槽表面入射 单缝衍射中央主极大方向 光栅衍射中央主极大方向 q b -q b D q b d 图4.4-10 闪耀光栅的衍射（垂直槽面照射） 4 光波衍射与变换 4.4.3 闪耀光栅 4.4 衍射光栅 单槽衍射的0级方向正好沿入射光方向返回。光栅衍射的0级主极大值中心位于-qb方向（与入射光线相对于光栅平面法线呈镜面对称）。相邻刻槽反射的光束在其反射方向的光程差为D=2dsinqb。对于波长为lb的单色成分，在该方向上出现相长干涉的条件是： ， j=1, 2, 3, ··· (4.4-25)

26. ② 平行光垂直光栅平面入射 单缝衍射中央主极大方向 光栅衍射中央主极大方向 2qb =q0 q b d 图4.4-11 闪耀光栅的衍射（垂直栅面照射） 4 光波衍射与变换 4.4.3 闪耀光栅 4.4 衍射光栅 由于刻槽表面相对于光栅面法线方向夹角为qb，单槽衍射的0级极大值不再沿刻槽面法线方向，而是沿与光栅面夹角q0=2qb的反射方向。相邻刻槽表面反射的光束间的光程差变为：D=dsin(2qb)。因此，闪耀条件变为 ， j= 1, 2, 3, ··· (4.4-26)

27. 4 光波衍射与变换 4.4.3 闪耀光栅 4.4 衍射光栅 结论：满足由闪耀条件时，波长b的第j级谱线将被转移到单槽衍射的0级极大值方向，从而大大提高谱线的亮度。通过闪耀角qb的不同设计，可以使光栅适用于某一特定波段的某级光谱上。 闪耀波长：b；闪耀级次：j。 闪耀光栅的特点：单槽宽度a与刻槽间距d相差很小，故其它衍射级次（包括中央0级）都因几乎落在单槽衍射的极小值位置而形成缺级，从而将80%～90%的光能量都集中到b成分的第j级谱线上。当a取值很小时，单槽衍射的中央主极大分布较宽，从而可使得位于闪耀波长附近波段的光谱强度都得到提高。

28. d≈a j=2 N=20 狭缝S1 光源 M1 闪耀光栅G 凹面反射镜 d≈a j=1 N=20 M2 探测器 狭缝S2 图4.4-12 闪耀光栅的衍射原理 图4.4-13反射式光栅单色仪结构光路 4 光波衍射与变换 4.4.3 闪耀光栅 4.4 衍射光栅

29. 4.4.4 正弦光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 正弦光栅：复振幅透过率具有正弦（余弦）函数形式的衍射屏 一维正弦光栅： (4.4-27) 正交正弦光栅： (4.4-28) f0=1/d，fx=1/dx，fy=1/dy：光栅的空间频率，大小等于光栅常数的倒数。 一维正弦光栅的夫琅禾费衍射： 设单位振幅平面光波垂直照射一维正弦光栅，则透射光波复振幅表示为 (4.4-29)

30. L2 L1 光栅G P+q q P0 S P-q f2' 图4.4-14 正弦光栅的夫琅禾费衍射 4 光波衍射与变换 4.4.4 正弦光栅的夫琅禾费衍射 4.4 衍射光栅 结论：垂直入射的平面光波被一维正弦光栅衍射后，分解为三束方向不同的平面光波（空间频率分别为0和±f0）。其中，第一项代表0级衍射，衍射角：q0=0；第二项代表+1级衍射，衍射角：sinq+=f0l=l/d；第三项代表-1级衍射，衍射角： sinq-=-f0l=-l/d。

31. 4.4.5 体光栅的布拉格衍射 q q ' a a ' d 图4.4-15 三维体光栅结构 图4.4-16 体光栅的布拉格衍射 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 体光栅：具有三维空间周期性结构的衍射体，厚度远大于空间周期。 举例：晶格点阵、体全息图、由超声波或光波在透明介质中形成的空间周期性折射率或密度分布。

32. 体光栅的衍射特点： 4 光波衍射与变换 4.4.5 体光栅的布拉格衍射 4.4 衍射光栅 一维体光栅可等效为一组透明的等间隔平行界面。光波进入介质后，将在每个界面上发生反射和透射，自各个界面透射的光波相位相同，与界面间距即光栅常数无关，其叠加结果形成0级衍射极大值。自不同界面反射的光波相位有可能不同，其叠加结果与光波入射角a或掠射角a有关。 相邻界面反射的两束光波间光程差： 布拉格条件——反射光波发生相长干涉的条件，即： (4.4-30)

33. 4 光波衍射与变换 4.4.5 体光栅的布拉格衍射 4.4 衍射光栅 说明： ① 布拉格条件是描述体光栅衍射的基本方程，又称布拉格方程。对于给定的光栅常数，不同波长满足布拉格条件所要求的掠射角不同。或者说，给定波长情况下，只有方向满足布拉格条件的入射光波，才能发生衍射（反射）。另一方面，给定光栅常数和入射方向情况下，只有波长满足布拉格条件的入射光波，才能发生衍射（反射）。此即布拉格衍射的方向和波长选择特性，是体全息再现、声光调制器以及光纤光栅的理论基础。 ② 体光栅的三维结构特点，决定了其光栅常数往往不是唯一的。对于给定波长，在给定入射光方向情况下，会出现多级布拉格衍射条纹，这些条纹的产生起源于不同取向且不同光栅常数的空间结构。晶体的X射线衍射，正是利用这一原理，通过对给定波长X射线经晶体的衍射光谱分析，从而确定出晶体结构特征和晶格常数。

34. 4.4.6 光栅的云纹效应 a (a) 第一类莫阿条纹 (b) 第二类莫阿条纹 图4.4-17 光栅的莫阿条纹 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 云纹效应：两块光栅（或网状结构）叠置时出现的几何投影条纹，又称莫阿条纹。 如果把等间隔平行排列的光栅栅线（狭缝）看成是单色平面光波的一组等相位面，则莫阿条纹可以看成是两列单色平面光波叠加时形成的干涉条纹。

35. ③相邻（暗）亮条纹中心的间距： (4.4-31) 4 光波衍射与变换 4.4.6 光栅的云纹效应 4.4 衍射光栅 (1)第一类云纹（第一类莫阿条纹） 定义：两个栅线平行但光栅常数略有不同的光栅叠置时产生的条纹图样。 条纹特点： ①透光部分形成亮纹，不透光部分形成暗纹； ② 条纹排列方向平行于光栅栅线方向； 可见，两光栅常数d和d'相差很小时，莫阿条纹的间距Dx可以很大。此即第一类云纹效应的光学放大原理。 ④两光栅沿栅线方向相对平移一个栅距（光栅常数），莫阿条纹相应移动一个条纹间距。

36. 4 光波衍射与变换 4.4.6 光栅的云纹效应 4.4 衍射光栅 (2) 第二类云纹（第二类莫阿条纹） 定义：两个空间频率（或光栅常数）相同但栅线相对有一很小转角的光栅叠置时产生的条纹图样。 条纹特点： ① 透光和不透光部分分别形成亮纹和暗纹 ② 条纹排列方向垂直于光栅栅线方向——与第一类云纹正交 ③ 相邻（暗）亮条纹中心的间距： (4.4-32) 两光栅栅线夹角a很小时，莫阿条纹的间距Dx可以很大。此即第二类云纹效应的光学放大原理。 ④ 两光栅沿栅线方向相对平移一个栅距（光栅常数），莫阿条纹相应移动一个条纹间距。

37. 表面变形 表面等高线 图4.4-19 莫阿条纹的应用 4 光波衍射与变换 4.4.6 光栅的云纹效应 4.4 衍射光栅 结论：云纹效应反映了相互叠置的两光栅之间的微小差异。这种差异越小，所引起的莫阿条纹间距Dx越大。前者是微小量，后者则是宏观量。通过常规方法对莫阿条纹的测量，即可推算出两光栅的微小差异。利用这一原理，可检测光栅或网格的质量、测量工程材料或结构件的应力、应变，测量物体的三维面形，以及微小位移和速度等。

38. 4.4.7 塔耳博特效应 G1 L1 G G2 G3 S z z1 z2 z3 图4.4-20 光栅的塔耳博特（Talbot）效应 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 塔耳博特效应： 具有周期性结构的衍射屏在空间的周期性衍射自成像现象。 光栅的塔耳博特效应特点： 设平面光波垂直照射光栅，波长为，光栅常数为d，则塔耳博特像距离光栅的位置： (4.4-33) 灰度反转像（反转塔耳博特像）的位置： (4.4-34)

39. 塔耳博特效应的产生机制： z=d2/l z=2d2/l z=3d2/l z=4d2/l z=0 图4.4-21 正弦光栅的塔耳博特效应的衍射图解 4 光波衍射与变换 4.4.7 塔耳博特效应 4.4 衍射光栅 透过光栅的衍射光波在空间相遇区发生相干叠加，在满足塔耳博特距离的平面上，所有参与叠加的衍射波分量间的相位关系正好与光栅平面处相同。其相干叠加的结果，再次形成类似光栅几何投影的条纹图样。 塔耳博特效应的应用： 无透镜成像，可用于复制印刷电路板的掩模板、复制光栅、复制阵列微光学器件，或形成云纹测量用的空间虚光栅等。

40. 本节重点 4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 1. 多缝及朗琴光栅的夫琅禾费衍射图样特点 2. 平面光栅衍射的光栅方程 3. 缺级现象的起因及特点 4. 闪耀光栅和正弦光栅的夫琅禾费衍射图样特点 5. 体光栅的布拉格衍射方程 6. 两类云纹效应的特点及可能应用