平面向量的数量积
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平面向量的数量积. 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义. 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 特别地,当 λ= 0 或 a=0 时 , λa=0. 定义:. 一般地,实数 λ 与向量 a 的积是一个向 量,记作 λa ,它的长度和方向规定如下: (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当 λ>0 时 ,λa 的方向与 a 方向相同; 当 λ<0 时 ,λa 的方向与 a 方向相反;. 运算律:. 设 a,b 为任意向量, λ,μ 为 任意实数 ,则有:

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平面向量的数量积

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角


7025113

特别地,当λ=0或a=0时, λa=0

定义:

一般地,实数λ与向量a 的积是一个向

量,记作λa,它的长度和方向规定如下:

(1) |λa|=|λ| |a|

(2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同;

当λ<0时,λa 的方向与a方向相反;


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运算律:

设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则有:

① λ(μa)=(λμ)a

② (λ+μ) a=λa+μa

③ λ(a+b)=λa+λb


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当θ=0°时,a与b同向;

O

A

B

当θ=180°时,a与b反向;

A

O

B

B

当θ=90°时,称a与b垂直,

记为a⊥b.

b

a

O

A

已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b,则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°)叫做向量a与b的夹角。

向量的夹角

B

θ

A

O


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我们学过功的概念,即一个物体在力F的作用下产生位移s(如图)

F

θ

S

力F所做的功W可用下式计算

W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角

从力所做的功出发,我们引入向量“数量积”的概念。


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已知两个非零向量a与b,它们的

夹角为θ,我们把数量|a| |b|cosθ叫做

a与b的数量积(或内积),记作a·b

a·b=|a| |b| cosθ

规定:零向量与任一向量的数量积为0。

注意:向量的数量积是一个数量。

|a| cosθ(|b| cosθ)叫做向量a在b方向上(向量b在a方向上)的投影。


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向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正,什么时候为负?

思考:

a·b=|a| |b| cosθ

当0°≤θ < 90°时a·b为正;

当90°<θ ≤180°时a·b为负。

当θ =90°时a·b为零。


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B

b

θ

A

O

a

B1

是非零向量,

方向相同的

单位向量,

的夹角,则

重要性质:

特别地


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例1 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,求a·b。

解:a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°

=5×4×(-1/2)= -10

例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。

解: |a| =√2, |b|=2, θ=45 °

∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 °

= 2


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的长度

等于

B

b

的乘积。

θ

A

O

a

B1

|b|cosθ

a·b的几何意义:


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7.对任意向量 a 有

练习:

1.若a =0,则对任一向量b ,有a · b=0.

2.若a ≠0,则对任一非零向量b ,有a · b≠0.

×

3.若a ≠0,a · b =0,则b=0

×

×

4.若a · b=0,则a · b中至少有一个为0.

5.若a≠0,a · b= b · c,则a=c

×

6.若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立.

×


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其中,

是任意三个向量,

二、平面向量的数量积的运算律:

数量积的运算律:

注:


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证明运算律(3)

向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON,

b

a

a+b

(a + b) ·c = ON |c|

= (OM + MN) |c|

= OM|c| + MN|c|

= a·c + b·c .

c

N

M

O


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例 3:求证:

(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;

(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.

证明:(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)

=(a+b)·a+(a+b)·b

=a·a+b·a+a·b+b·b

=a2+2a·b+b2.


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例 3:求证:

(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;

(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.

证明:(2)(a+b)·(a-b)=(a+b)·a-(a+b)·b

=a·a+b·a-a·b-b·b

=a2-b2.


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例4、

的夹角为

解:


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作业:


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C

B

A

O

即 ,∠ACB=90°

3、用向量方法证明:直径所对的圆周角为直角。

如图所示,已知⊙O,AB为直径,C

为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°

分析:要证∠ACB=90°,只须证向

量 ,即 。

解:设

则 ,

由此可得:


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