乘法公式

1. 乘法公式

2. b a a x × x＝x2 隨堂練習1、如果有一個正方形，它的邊長是x，那麼它的面積為何? 則其面積＝a × a＝ 7 3 4 長 面積公式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd （二項積公式）課本p4 1、我們已經知道長方形的面積＝長×寬，所以： a (1)一個長為a、寬為b的長方形面積 ab ＝a × b(或 b × a )＝(或) ab ba (2)如果長與寬都是a，即以a為邊長的正方形， a2 2、如果有一長方形，其長為7＋3，寬為4 如圖，可知長方形面積＝10 × 4＝40 4 ×( 7 ＋ 3 ) 即( 7 ＋ 3 )×4 ＝ 4×7 ＋ 4×3 ＝ 7×4 ＋ 3×4 利用分配律 ＝ 28＋12 ＝40

3. 隨堂練習1、如果有一個正方形，它的邊長是x，那麼它的面積為何?隨堂練習1、如果有一個正方形，它的邊長是x，那麼它的面積為何? x × x＝x2 2、如果有一個長方形，它的長是x，寬是3 那麼它的面積為何? x × 3＝3x a＋b c＋d 面積公式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd （二項積公式）課本p4 3、如果有一長方形，其長為a＋b，寬為c＋d (其中a、b、c、d均為正數 )，如圖，可知長方形面積＝ (a+b)(c+d)

4. 寬 長 面積公式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd （二項積公式）課本p5 2、如果有一長方形，其長為a＋b，寬為c＋d (其中a、b、c、d均為正數 )，如圖，可知長方形面積＝a × c＋b × c＋a × d＋b × d ac bc 證明：長方形面積為( a ＋ b )( c ＋ d ) ad bd a × c + b × c + a × d + b × d ＝ + ad + bc ………2題答案 ＝ ac + b d 證明：長方形面積為( a ＋ b )( c ＋ d )

5. 我們稱ac＋bc＋ad＋bd為( a ＋ b )( c ＋ d )的 面積公式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd （二項積公式）課本p5 3、其實對於任意數a、b、c、d，不論正負，均可利用「分配律」得到：( a ＋ b )( c ＋ d )＝( a ＋ b ) × ＋( a ＋ b ) × ＝a × ＋b ×＋a × ＋b × c d c c c d d ＝ ac ＋ bc ＋ ad ＋ bd 展開式

6. 面積公式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd （二項積公式） 4、利用3.所得的結果，我們可推得： (1) ( a ＋ b )( c － d )＝ac bc ad bd ( a ＋ b )【 c +(－ d )】 +a × (-d) +b × (-d) ＝ac + bc - - ＝ac bc ad bd + (2) ( a － b )( c － d ) - - bc + bd ＝ ac - ad

7. a × c + b × c + a × d + b × d ＝ 40 × 50 ＝ 2491 2000+350+120+21 ＝ ＝ 47 × 53 2491 面積公式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd （二項積公式）課本p5 例題一：講義p7---2t(1)先將公式(1)中的a、b、c、d分別用下列各數值代入，看看會得出什麼樣的式子，再檢查這個式子等號兩邊的數其值是否相等。(1)a=40, b=7, c=50, d=3 40 7 (40+7) ×(50+3) 50 3 + 7 × 50 + 40 × 3 + 7 × 3 2000 350 120 21 47×3… 141 235 47×50… 47 × 53 = 2491

8. a × c + b × c + a × d + b × d ＝ 40 × 50 ＝ 2000-350-120+21 1551 ＝ ＝ 33 × 47 1551 面積公式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd （二項積公式）課本p5 例題一：講義p7---2t(2)先將公式(1)中的a、b、c、d分別用下列各數值代入，看看會得出什麼樣的式子，再檢查這個式子等號兩邊的數其值是否相等。(2)a=40, b= -7, c=50, d= - 3 40 -7 【40+(-7)】 ×【50+(-3)】 -350 50 -3 -120 + (- 7) × 50 + 40 ×(- 3) + (-7) × (-3) 2021- 470 231 132 33 × 47 = 1551

9. x × x + x × 2 + x × 3 + 2 × 3 ＝ x2 ＝ x2+ 5x+6 ＝ x 2 x 3 面積公式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd （二項積公式）課本p8 例題二： 先將公式(1)中的a、b、c、d分別用下列各數值代入，看看會得出什麼樣的式子，再檢查這個式子等號兩邊的數其值是否相等。(2)a=x, b= 2, c=x, d= 3 (x+2) ×(x+3) + 2x + 3x + 6 第三章課程x2+ 5x+6= (x+2) ×(x+3)

10. 面積公式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd （二項積公式）課本p5 講義p14 part2----2 如右圖，將一個長方形分成四部面積分別為ac、cd、ab、bd 則長方形的面積為下列何者? (A) (a+b)(c+d) a×c bc (B) (a+c)(b+d) a×d bd (C) (a+d)(b+c) (D) (a-b)(c-d) a d c ac cd 答：C b ab bd

11. 面積公式：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd （二項積公式）課本p5 講義p14 part2----6 如右圖，將一個正方形分成四部面積，分別為a2、ab、ab、b2 則正方形的邊長為下列何者? (A) a2+b2 (B) a+b (C) a-b (D) a2-b2 a b ab b2 b aa 答：B ab a a2

12. 100 4 100 4 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2（和的平方公式）課本p9 二、(a+b)²= a²+2ab+b² （和的平方公式） 1、我們已經知道( a )2＝a2，且( a × b )2＝ ( a × b ) ( a × b ) ＝a2 × b2，則( a ＋ b )2是否也與a2 ＋ b2相同呢? 不相同 2、如果一個正方形，其兩邊均為a＋b(其中a、b均為正數)， 如圖，可知 正方形面積 ＝a × a ＋b × a ＋a × b ＋b × b a2 ba ＋ba ＋ab ＋b2 ＝a2 ab b2 ＝a2＋2ab＋b2 正方形面積即( a ＋ b )2＝ a2＋2ab＋b2 例：正方形面積即1042＝( 100 ＋ 4 )2 10000 800 16 ＝ 1002＋ 2×100×4＋42 ＝ 10000＋ 800 ＋16 ＝ 10816

13. 5 3 5 3 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2（和的平方公式）  • 所以我們可以回答1.的問題：( a ＋ b )2a2＋ b2 其實我們用數字代入也可立即明白兩式並不相等。 例如：令a＝5，b＝3代入，左式＝( 5 ＋ 3 )2＝82＝64， 右式＝52＋32＝25＋9＝34 ，6434，故可得知 課本p9隨堂練習1、當a＝30，b＝7時，檢查和的平方公式等號兩邊 的數其值是否相等。 左式＝( 30 ＋ 7 )2＝372＝1369 左式＝ 302＋2 × 30 ×7 ＋72 ＝ 900 ＋420 ＋49 ＝ 900 ＋420 ＋49 ＝ 1369 900 420 49

14. 7 3 7 3 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2（和的平方公式） 課本p9隨堂練習2、判斷下表左邊的等式對或錯?若錯誤請加以更正： 講義p7---3s  (7＋3)2 ＝72＋2 × 7 ×3＋32  (5＋6)2 ＝52＋2 × 5 ×6＋62 7 ×3 7 ×3

15. 10 0.6 10 0.6 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2（和的平方公式） 課本p9例題三利用和的平方公式，計算10.62 0.6 ×0.6 10.62 = ( 10 + 0.6 )2 0. 36 ( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2 ( 10 + 0.6 )2 = 102 + 2 × 10 × 0.6 + 0.62 = 100+ 12 + 0.36 = 112.36 10012 0.36

16. (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2（和的平方公式） 講義p14part1---3已知 9.42 =92 + 2 × 9 × 0.4 + a，則a=? 0.4 ×0.4 ( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2 0. 16 9.42 =( 9 +0.4 )2= 92 + 2 × 9 × 0.4 + 0.42 9.42 = 92 + 2 × 9 × 0.4 + a 答：B

17. 三、(a－b)²=a²－2ab+b²（差的平方公式） (a+b)2=a2+2ab+b2（和的平方公式） 如果正方形的邊長為a－b( 其中a、b均為正數，且a>b )，如圖，可知( a － b )( a － b )＋b × ( a － b )＋( a － b ) × b ＋b × b＝a × a，則( a － b )2＝a2－2b( a － b )－b2＝ 則( a － b )2＝ ( a － b )( a － b )…粉紅色 ＝ a2 ab b(a-b) 淡綠色 =a2-ab-(ab-b2) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 (a－b )2＋b × (a－b)＋(a－b) × b ＋b2＝a2 (a－b )2＋2b(a－b)＋b2＝a2 (a－b )2＝a2-2b(a－b)-b2= a2-2ba+2b2-b2 =a²－2ab+b²

18. － － 三、(a－b)²=a²－2ab+b²（差的平方公式） 1、其實在公式(a+b)²= a²+2ab+b²中，若以－b代替b，也可得【a＋(－b)】2＝a2＋2 × a ×＋ (－b) (－b)2 ＝a²2abb² － ＋ a² -ab -ab (-b)2 講義p17---36如右圖，一長方形被分割成六個小長方形，其面積分別為ab、ae、bc、ce、bd、de，則此長方形的總面積為何? (A) (a+b+d)(c+e) a c d (B) (a+c+d)(b+e) b (C) (a+b+c)(d+e) (D) (a+c+e)(b+d) e

19. 三、(a－b)²=a²－2ab+b²（差的平方公式）課本p10三、(a－b)²=a²－2ab+b²（差的平方公式）課本p10 ( a － b )2 ＝a2 -ab -ab +b2 ＝a2-2ab+b2 例：9.92 =(10 － 0.1 )2 10 0.1 =a²－ 2 a b + b² =10²－ 2 ×10 × 0.1 + 0.1² 10 =100－ 2 + 0.01 =98.01 0.1

20. 三、(a－b)²=a²－2ab+b²（差的平方公式）課本p10三、(a－b)²=a²－2ab+b²（差的平方公式）課本p10 10004 400 例：982 =(100 － 2 )2 9 6 0 4 =a²－ 2 a b + b² =100²－ 2 ×100 × 2 + 2² 100 =10000－ 400 +4 2 =9604 100 2

21. (a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2（差的平方公式） 課本p11隨堂練習2、判斷下表左邊的等式對或錯?若錯誤請加以更正： 講義p7---3t  (9-7)2 ＝92-2 × 9 ×7＋72  (6-3)2 ＝62 - 2×6 ×3＋32  (3)2 ＝(-3)2=9

22. b a-b a-b 四、 a²－b²＝(a+b)(a－b) （平方差公式） 1、仔細觀察下圖(一)(其中a、b均為正數)，若將圖中甲、乙兩塊小長方形重新組合成下圖(二)，可知( a＋b ) ( a－b )＝a2b2 課本p11-12 － 圖(一) 圖(二) 我們也可以利用公式(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，以a替代c，以－b替代d，得( a＋b ) ( a－b )＝a × a＋b × a＋a × (－b)＋b × (－b)＝ (a + b) × (a-b) -b2 =a2 -ab +ab = a2-b2

23. 四、 a²－b²＝(a+b)(a－b) （平方差公式） 課本p11可以利用直式計算，也可以用公式 106×94 =(100+6)× (100-6) -36 =10000 -6000 +6000 =9964

24. 課本p12隨堂練習(a+b)(a－b)＝a²－b²（平方差公式）課本p12隨堂練習(a+b)(a－b)＝a²－b²（平方差公式） 在下述情形中，檢查平方差公式等號兩邊的數其值是否相等：(1) a= 9，b=14(2) a=-2，b=5 (a+b)(a－b) =(9+14)(9－14) 解：(1) 左式 =23 × (－5) =－115 右式 a²－b² =9²－14² =81－196 =－(196-81) 答：左式=右式 =－115 (2) a=-2，b=5 (a+b)(a－b) =(-2+5)(-2－5) 左式 =3 ×(-7) =-21 a²－b² 右式 =(-2)²－5² =4－25 =－21 答：左式=右式

25. 25 × 25 625 (a+b)(a－b)＝a²－b²（平方差公式） 五、公式的別稱： 1. (a+b)²= a²+2ab+b² ，又稱為 2. (a－b)²=a²－2ab+b² ，又稱為 3. a²－b²= (a+b)(a－b) ，又稱為 和的平方公式 差的平方公式 平方差公式 課本p12例題四：利用平方差公式，計算下列各題： (1) 2502 × 2498 ( a + b) ( a － b) 25×5… ＝(2500 ＋2 ) × (2500 －2 ) 125 50 25×20… ＝25002－22 ＝6250000－4 25002 ＝6249996 ＝2500 × 2500 6250000－ 4 ＝25 ×100× 25 ×100 ＝625 ×100×100 6249996

26. (a+b)(a－b)＝a²－b²（平方差公式） 課本p12例題四：利用平方差公式，計算下列各題： (2) 100.3 × 99.7 ( a + b) ( a － b) ＝(100 ＋0.3 ) × (100 －0.3 ) 10000－ 0.09 ＝1002－0.32 9999.91 ＝10000－0.09 ＝9999.91

27. ＝(9 ＋ ) × ( )2= ＝92－ 2 ( ) (9 － ) (a+b)(a－b)＝a²－b²（平方差公式） 課本p12例題四：利用平方差公式，計算下列各題： (3) ( a + b) ( a － b) ＝81－ ＝80

28. (a+b)(a－b)＝a²－b²（平方差公式） 課本p13隨堂練習：利用平方差公式，計算下列各題： (1) 1007 × 993 ( a + b) ( a － b) ＝(1000 ＋7 ) × (1000 －7 ) 1000000－ 49 ＝10002－72 999951 ＝1000000－49 ＝999951

29. (a+b)(a－b)＝a²－b²（平方差公式） 課本p13隨堂練習：利用平方差公式，計算下列各題： (2) 1.03 × 0.97 ( a + b) ( a － b) ＝(1 ＋0.03 ) × ( 1 －0.03 ) 1－ 0.0009 ＝12－0.032 0.9991 ＝1－0.0009 ＝0.9991

30. ( )2= ＝(1 ＋ ) × (1 － ) ＝12－ 2 ( ) (a+b)(a－b)＝a²－b²（平方差公式） 課本p13隨堂練習：利用平方差公式，計算下列各題： (3) ( a + b) ( a － b) ＝1－ ＝

31. 課本p14自我評量、講義p6---1s 1、連連看：將左、右兩邊相等的式子連起來 72－2 × 7 ×3 ＋32 (7 ＋3 ) (7＋3 ) = (7 ＋3 ) 2 72－32 (7 －3 ) (7 －3 ) = (7－3 ) 2 (7 ＋3 ) (7 －3 ) 72＋2 × 7 ×3 ＋32 (a－b)² a²－b² (a+b)(a－b) a²－2ab+b² (a+b)² a²+2ab+b² 五、公式的別稱： 1. (a+b)²= a²+2ab+b² 2. (a－b)²=a²－2ab+b² 3. a²－b²= (a+b)(a－b)

32. 課本p14自我評量、講義p6---1t 2、利用本節所學的乘法公式，展開下列各式： (1) (s ＋t ) 2 =s2＋2st ＋t2 ( a + b)² = a²+2ab+b² (2) (s－t ) 2 =s2－ 2st ＋t2 (3) (s ＋t ) (s －t ) =s2－ t2 (4) (s ＋t ) (m＋n ) =sm + sn +tm +tn 五、公式的別稱： 1. (a+b)²= a²+2ab+b² 2. (a－b)²=a²－2ab+b² 3. a²－b²= (a+b)(a－b)

33. 課本p15---3自我評量、講義p12---14t (1)如右圖，從一個邊長為a的正方形右下角剪去一個邊長為b的小正方形後，所得出的圖形面積是多少? 註：甲、乙兩梯形可拼成一個長方形 答：a2-b2 (2)再沿著右圖的虛線剪成甲、乙兩個梯形，則這兩個梯形的兩底各為多少?高又是多少? 答：兩底均為a與b，高均為a-b (3)這兩個梯形可以拼成一個長方形嗎?它的長與寬各是多少?面積是多少? 答：可以；將甲翻轉與乙緊密相接，如右圖所示： 長為a+b、寬為a-b，面積是(a+b)(a-b) (4)再由(1)中圖形的面積與(3)中長方形形的面積相等，你能列出怎樣的等式? 答： a2-b2=(a+b)(a-b)