Sudaryatno Sudirham
Download
1 / 57

Diferensiasi - PowerPoint PPT Presentation


  • 168 Views
  • Uploaded on

Sudaryatno Sudirham. Diferensiasi. Klik untuk melanjutkan. Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org. Pengertian-Pengertian. y. 2. Δ y. 1. Δ x. 0. x. 0. 1. 2. 3. 4. -1.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Diferensiasi' - summer


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Sudaryatno Sudirham

Diferensiasi

Klikuntukmelanjutkan


BahanKuliah Terbuka

dalam format pdftersedia di

www.buku-e.lipi.go.id

dalam format ppsberanimasitersedia di

www.ee-cafe.org



y

2

Δy

1

Δx

0

x

0

1

2

3

4

-1

Kita telah melihat bahwakemiringangarislurusadalah

Bagaimanakah dengan garis lengkung?


y = f(x)

y

y = f(x)

y

Δy*

P1

P2

Δx*

x

Δy

Inimerupakanfungsi turunan dari

di titik P

P1

Δx

x

GarisLengkung

Garislurusdengankemiringany/xmemotonggarislengkung di duatitik

JarakkeduatitikpotongsemakinkeciljikaΔxdi perkecilmenjadix*

Pada kondisi Δx mendekati nol, kitaperoleh

Ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P


y

(x2,y2)

(x1,y1)

x

Padasuatugarislengkung

kitadapatmemperolehturunannya di berbagaititikpadagarislengkungtersebut

f ′(x) di titik (x1,y1) adalah turunanydi titik (x1,y1),

f ′(x) di titik (x2,y2) adalah turunany di titik(x2,y2)


Jika pada suatu titik x1 di mana

benar ada

makadikatakanbahwafungsi f(x)

“dapat didiferensiasi di titik tersebut”

Jikadalamsuatu domain suatufungsif(x) dapat di-diferensiasi

di semuaxdalamdalam domain tersebut

kitakatakanbahwafungsif(x) dapat di-diferensiasidalam domain.

kitabaca “turunanfungsiyterhadapx”

Penurunaninidapatdilakukanjikaymemangmerupakanfungsix. Jikatidak, tentulahpenurunanitutidakdapatdilakukan.



Contoh:

Contoh:

Fungsi ramp

10

y

8

Fungsi tetapan

6

4

2

0

0

1

2

3

4

5

x


Contoh:

Turunan fungsimononompangkat 2berbentuk mononompangkat 1 (kurvagaris lurus)

Contoh:

Turunan fungsi mononompangkat 3berbentuk mononompangkat 2 (kurva parabola)


berbentuk garis lurus

Jika n= 1 maka kurva fungsi

dan turunannya berupa nilai konstan,

Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x,

Secara umum, turunan fungsimononom

adalah

*)

Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya, yang mungkinmasihdapatditurunkanlagi

turunandari

turunandari

*)Untukn berupabilangantakbulatakandibahaskemudian


disebut turunan pertama,

turunan kedua,

turunan ke-tiga, dst.

Contoh:


Kurva fungsi mononom

yang memiliki beberapaturunan

akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya.

dan turunan-turunannya

Fungsi

200

100

0

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-100

Contoh:



10

f1(x) = 4x + 2

y

8

6

4

2

0

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

x

-2

-4

Contoh:

Turunanfungsiinisamadenganturunanf(x)=4x karenaturunandaritetapan 2 adalah 0.

SecaraUmum:JikaF(x) = f(x) + K makaFʹ(x) = f (x)


10

y

5

0

-1

0

1

2

3

4

x

-5

-10

-15

Contoh:


Contoh:

Contoh:

Secara Umum:

Turunan fungsipolinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu memang memiliki turunan.



Jika

maka


Contoh:

adalah

Turunan

Jikadipandangsebagaiperkalianduafungsi

Jika

Contoh:

Jikadipandangsebagaiperkaliantigafungsi


Fungsi Yang Merupakan PangkatdarisuatuFungsi


Contoh:

Contohinimenunjukkanbahwa

SecaraUmum:


Contoh:

Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi


Fungsi Rasional



Contoh:

Contoh:

Contoh:

(agar penyebut tidak nol)


FungsiBerpangkatTidakBulat


Bilangantidakbulat

dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0

(vadalahfungsi yang bisaditurunkan)

Jika y ≠ 0, kita dapatkan

sehingga

Formulasi ini mirip dengan keadaanjikan bulat, hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.


FungsiParametrikdan

Kaidah Rantai


Apabila kita mempunyai persamaan

maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk

Jika

dapat diturunkan terhadap x dan

dapat diturunkan terhadap t,

maka

dapat diturunkan terhadap t menjadi

Kaidah rantai


FungsiImplisit


Sebagianfungsiimplisitdapatdiubahkedalambentukexplisitnamunsebagian yang lain tidak.

Untukfungsi yang dapatdiubahdalambentukeksplisit, turunanfungsidapatdicaridengancaraseperti yang sudahkitapelajari di atas.

Untukmencariturunanfungsi yang takdapatdiubahkedalambentukeksplisitperlucarakhusus, yang disebutdiferensiasiimplisit. Dalamcarainikitamenganggapbahwafungsiydapatdidiferensiasiterhadapx.


Jika

kita peroleh turunan

Contoh:

Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh


Contoh:

Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh

kita dapat memperoleh turunan

Untuk


TurunanFungsiTrigonometri


Jika

maka

Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1dan sinx = x. Oleh karena itu


Jika

maka

Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cosx = 1dan sinx = x. Oleh karena itu



v untuk dicari.C

iC

200

vC

iC

100

0

t [detik]

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

-100

-200

Contoh:

Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah

Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 210-6 farad merupakan fungsi sinus vC= 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor iniadalah


v untuk dicari.L

iL

200

vL

iL

100

0

t[detik]

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

-100

-200

Contoh:

Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus iL = 0,2cos400t ampere.

Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah


Turunan untuk dicari.FungsiTrigonometriInversi


1 untuk dicari.

x

y

1

y

x


x untuk dicari.

y

1

1

y

x


x untuk dicari.

y

1

x

1

y


Fungsi untuk dicari.TrigonometridariSuatuFungsi


Jika untuk dicari.v = f(x), maka


Jika untuk dicari.w = f(x), maka


Fungsi Logaritmik untuk dicari.

dan

FungsiEksponensial


Fungsi logaritmik untuk dicari.

didefinisikan melalui suatu integral

6

y

5

1/t

4

3

2

1

0

x

t

0

1

2

3

4

1/x

x +Δx

1/(x+Δx)

Turunan Fungsi Logaritmik

Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut

luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, dalam selang antara t = 1 dan t = x

ln(x+x)lnx

Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx 1/x). Namun jika Δx makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx 1/x); dan jika Δx mendekati nol luas tersebut sama dengan (Δx 1/x).


Turunan Fungsi Eksponensial untuk dicari.

penurunan secara implisit di kedua sisi

atau

.

Jadi turunan dari exadalah exitu sendiri

dst.

Jika


Diferensial untuk dicari.dxdandy


Sekarang kita akan melihat untuk dicari.dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx0, sama dengan turunan fungsi y terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x:

Turunan fungsi y(x) terhadap xdinyatakandenganformulasi

dxdandydidefinisikan sebagai berikut:

1).dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalahbilangan nyata dan merupakan peubah bebas lain selain x;

2).dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx yang dinyatakan dengan


y untuk dicari.

y

Iniadalahfungsi (peubahtakbebas)

dy

dy

P

P

dx

dx

x

x

Penjelasansecaragrafis

Jikadxberubah, makadyberubahsedemikianrupasehinggady/dx samadengankemiringangarissinggungpadakurva

Iniadalahpeubahbebas

adalahlaju perubahan y terhadap perubahan x.

adalahbesar perubahan nilai y sepanjang garis singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx


y untuk dicari.

dx

P

dy

x

y

y

dy

dx

P

P

dx

dy

x

x

Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”.

Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.


Turunan Fungsi untuk dicari.

Diferensial

Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabelberikut.

Dalam tabel ini v adalah fungsi x.


sehingga untuk dicari.

Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.

1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx.

2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel)

Contoh:

Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas


Bahan untuk dicari. Ajar

Diferensiasi

SudaryatnoSudirham