第二章  数列极限
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第二章 数列极限. 教学目标:. 1° 使学生初步掌握数列极限这一重要概念 的内涵与外延; 2° 使学生学会用定义证明极限的基本方法 3° 通过知识学习,加深对数学的抽象性特 点的认识;体验数学概念形成的抽象化思 维方法;体验数学“符号化”的意义及“数 形结合”方法; 4° 了解我国古代数学家关于极限思想的论 述,增强爱国主义观念。. 一、概念的引入. 截丈问题:. “ 一尺之棰,日截其半,万世不竭”. 二、数列的定义. 例如. 1. 数列对应着数轴上一个点列 . 可看作一动点在数轴上依次取.

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Presentation Transcript

教学目标:

1°使学生初步掌握数列极限这一重要概念

的内涵与外延;

2°使学生学会用定义证明极限的基本方法

3°通过知识学习,加深对数学的抽象性特

点的认识;体验数学概念形成的抽象化思

维方法;体验数学“符号化”的意义及“数

形结合”方法;

4°了解我国古代数学家关于极限思想的论

述,增强爱国主义观念。


一、概念的引入

截丈问题:

“一尺之棰,日截其半,万世不竭”



1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取

2.数列是整标函数

注意:



无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?

问题:

通过上面演示实验的观察:

问题:

“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.


如果数列没有极限,就说数列是发散的.

注意:


其中

几何解释:


注意:

数列极限的定义未给出求极限的方法.

例1

所以,


用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.

例2

所以,

说明:常数列的极限等于同一常数.

小结:


3


收敛数列的性质

1.唯一性

2.有界性

3.保号性

4.保不等式性

5.迫敛性

6.四则运算法则


1、唯一性

定理 每个收敛的数列只有一个极限.

由定义,

故收敛数列极限唯一.


2、有界性

例如,

有界

无界


定理 收敛的数列必定有界.

由定义,

注意:有界性是数列收敛的必要条件.

推论 无界数列必定发散.


3、保号性

若 ,则对任何 ,存在数N,

使得当n>N时,有


4.保不等式性

定理 设

皆收敛,若

则,


推论

则,

推论



5.极限的夹逼性

定理 4 若

从某项开始成立


6.极限的四则运算

定理 设

(1)

(这里

为常数)。

(2)

(3)


3、子数列的收敛性

例如,

注意:


定理 收敛数列的任一子数列也收敛.且极限相同.

证毕.


推论 收敛数列的任一子数列也收敛.且极限相同.若数列存在两个子数列分别收敛于不同的极限,则这个数列必发散。

注 该推论是证明数列必发散的很好的工具。


收敛数列的任一子数列也收敛.且极限相同.

由定义,

区间长度为1.

不可能同时位于长度为1的区间内.


数列极限存在的条件 收敛数列的任一子数列也收敛.且极限相同.

  • 1. 单调有界定理

  • 2. 柯西(Cauchy)收敛准则


一、单调有界数列 收敛数列的任一子数列也收敛.且极限相同.

单调增加

单调数列

单调减少

定理 1 单调有界数列必收敛。

几何解释:


柯 西 收敛数列的任一子数列也收敛.且极限相同.

柯西(Cauchy,Augustin Louis1789-1857),十九世纪前半世纪的法国数学家。

他的特长是在分析学方面,他对微积分给出了严密的基础。他还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理,这些都是很重要的。他的全集26卷,仅次于欧拉,居第二位。  柯西是历史上有数的大分析学家之一。幼年时在父亲的教导下学习数学。拉格朗日、拉普拉斯常和他的父亲交往,曾预言柯西日后必成大器。1805年柯西入理工科大学,1816年成为那里的教授。  

1821年,在拉普拉斯和泊松的鼓励下,柯西出版了《分析教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中的应用》这几部划时代的著作。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用,连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基础上。  现今所谓的柯西定义或ε-δ方法是半个世纪后经过维尔斯特拉斯的加工才完成的。柯西时代实数的严格理论还未建立起来,因此极限理论也就不可能完成。柯西在1821年提出ε方法(后来又改成δ),即所谓极限概念的算术化,把整个极限过程用一系列不等式来刻画,使无穷的运算化成一系列不等式的推导。后来维尔斯特拉斯将ε和δ联系起来,完成了ε-δ方法。


柯西收敛原理 收敛数列的任一子数列也收敛.且极限相同.

(一)基本数列:

定义 3 如果对


(二)柯西收敛原理 收敛数列的任一子数列也收敛.且极限相同.

定理 7 (柯西收敛原理)

收敛

为基本数列。


Cauchy
柯西 收敛数列的任一子数列也收敛.且极限相同.(Cauchy)收敛准则

  • 定理


当 时,必有 成立

思考题

证明

要使

只要使

从而由


即证明中没有采用“ 成立适当放大” 的值

思考题解答

~

(等价)

证明中所采用的

实际上就是不等式


从而 时, 成立

仅有 成立,

但不是 的充分条件.

反而缩小为


练 习 题 成立


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