Download
1 / 66
1.04k likes | 2.1k Views
Statistika Inferensi : Estimasi Titik & Estimasi Interval. Estimasi titik. Estimasi adalah keseluruhan proses yang menggunakan sebuah estimator untuk menghasilkan sebuah estimate dari suatu parameter.
E N D
Estimasititik • Estimasi adalah keseluruhan proses yang menggunakan sebuah estimator untuk menghasilkan sebuah estimate dari suatu parameter. • Sebuah estimasi titik dari sebuah parameter adalah sesuatu angka tunggal yang dapat dianggap sebagai nilai yang masuk akal dari .
Contoh • Seorang ahli sosial ekonomi ingin mengestimasi rata-rata penghasilan buruh di suatu kota. Sebuah sampel dikumpulkan menghasilkan rata-rata Rp 2.000.000,-. • Dalam hal ini telah dilakukan estimasi titik, dengan menggunakan estimator berupa statistic mean ( ) untuk mengestimasi parameter mean populasi (μ). NilaisampelRp 2.000.000,- sebagainilai estimate dari mean populasi.
Estimasi Interval • Sebuah estimasi interval (interval estimate) dari sebuah parameter , adalah suatu sebaran nilai nilai yang digunakan untuk mengestimasi interval. • Jika dimiliki sampel X1, X2, …., Xn dari distribusi normal N(, 2) maka
Akibatnya interval kepercayaan (1-)100% untuk mean populasi adalah dengan Z(1-/2) adalah kuantil ke-(1-/2) dari distribusi normal baku dan jika tidak diketahui maka dapat diestimasi dengan simpangan baku (standard deviation) sampel s yaitu s = s2.
Jadi interval kepercayaan (confidence interval) adalah estimasi interval berdasarkan tingkat kepercayaan tertentu dan batas atas serta batas bawah interval disebut batas kepercayaan (confidence limits). • Dari prakteknya tingkat kepercayaan dilakukan sebelum estimasi dilakukan, jadi dengan menetapkan tingkat kepercayaan interval sebesar 90 persen (90 %). • Artinya seseorang yang melakukan tersebut ingin agar 90 persen yakin bahwa mean dari populasi akan termuat dalam interval yang diperoleh.
Estimasi interval untukbeberapatingkatkepercayaan (1-)100%.
Contoh • Seorang guru ingin mengestimasi waktu rata-rata yang digunakan untuk belajar. • Suatu sampe acak ukuran 36 menunjukan bahwa rata-rata waktu yang digunakan siswa untuk belajar di rumah setiap harinya adalah 100 menit. • Informasi sebelumnya menyatakan bahwa standar deviasi adalah 20 menit.
Estimasi interval dengantingkatkepercayaan 95 persendapatditentukanberikutini : • Unsurunsur yang diketahui : = 100 ; = 20; n=36; tingkatkepercayaan 95 %. • Dengantingkatkepercayaan 95 % makanilai z adalah 1,96 jadiestimasi interval darinilaiwaktu rata-rata sesungguhnyaadalah : • Dengankata lain guru mengestimasidengantingkatkeyakinan 95 % bahwa rata-rata waktubelajaradalahantara 93,47 menithingga 106,53 menit
Jika n > 30 • Dari seluruhsiswa 4 kelasdiambilsebagaisampel 40 siswadandidapatkannilaiMatematikadari 40 siswatersebutsebagaiberikut : 58 48 56 43 58 57 48 35 43 47 49 41 64 58 46 44 47 55 42 48 54 29 46 47 59 47 52 43 47 49 40 58 60 50 50 50 64 36 43 44 makaestimasi rata-rata nilaiMatematikasesungguhnyadengantingkatkepercayaan 90 persenyaitu :
Dengan tingkat kepercayaan 90 % maka nilai z adalah 1,645 jadi estimasi interval dari rata-rata sesungguhnya adalah :
Jika n 30 • Jika dimiliki sampel X1, X2, …., Xn dari distribusi normal N(, 2) dengan 2 tidak diketahui maka : berdistribusi t dengan derajat bebas n-1.
Sifat-sifatdistribusit • Distribusiiniserupadengandistribusi Z dengan mean noldansimetrisberbentuklonceng / bell shape terhadap mean. • Bentukdistribusitergantungpadaukuransampel. Jadidistribusiadalahkumpulankeluargadistribusidanperbedaansatudengan yang lainnnyatergantungpadaukuransampel. • Padaukuransampel yang kecilkeruncinganberbentukdistribusitkurangdibandingkandengandistribusi Z danjikameningkatnyaukuransampelmendekati 30 makabentukdistribusisemakinmendekatibentukdistribusi Z. (Jadijikan >30 makadigunakannilai z).
Untuk n 30, interval kepercayaan (1-)100% untuk mean populasi adalah dengan tn-1; (1-/2) adalah kuantil ke-(1-/2) dari distribusi t dengan derajat bebas n-1 dan s adalah simpangan baku (standard deviation) sampel dengan s = s2 yaitu akar dari variansi sampel.
Contoh • Misalkan diberikan nilai Matematika 10 siswa sebagai berikut : 58, 58, 43, 64, 47, 54, 59, 47, 60, dan 64. • Estimasi rata-rata nilai Matematika sesungguhnya (populasi). Nilai rata-rata Matematika dengan tingkat kepercayaan 95 persen dapat diestimasi sebagai berikut:
interval kepercayaan (rata-rata populasi) dengankoefisienkepercayaan 95 % :
Secaraumum, hipotesisstatistik pernyataanmengenaidistribusiprobabilitaspopulasiataupernyataantentang parameter populasi. • Contoh : NilaiMatematikasiswakelas 10 SMAN 1 Salatigaberdistribusi normal. Akandiujihipotesis : rata-ratanya 60. Pernyataan : Rata-ratanya 60 ( = 60 ) hipotesisstatistik
Kesalahan yang mungkin • Kesalahan jenis pertama (type-I error) bila menolak menolak hipotesis yang seharusnya diterima. • Kesalahan jenis kedua (type-II error) bila menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.
ProsedurUjihipotesis • Pernyataan Hipotesis nol dan hipotesis alternatif • Pemilihan tingkat kepentingan ( level of significance ), α kesalahan tipe I • Pernyataan aturan keputusan ( Decision Rule) • Perhitungan nilai-p berdasarkan pada data sampel • Pengambilan keputusan secara statistik (Penarikan kesimpulan)
PernyataanHipotesisnol dan hipotesisalternatif • Hipotesisnol (H0) adalahasumsi yang akandiuji. • Hipotesisnoldinyatakandenganhubungan sama dengan. Jadihipotesisnoladalahmenyatakanbahwaparameter (mean, presentase, variansi dan lain-lain) bernilai sama dengannilaitertentu. • Hipotesisalternatif (H1) adalahhipotesis yang berbedadarihipotesisnol. • Hipotesisalternatifmerupakankumpulanhipotesis yang diterimadenganmenolakhipotesisnol.
Contoh • Dalam suatu prosedur pengujian hipotesis mengenai mean dari suatu populasi, pernyataan-pernyataan mengenai hipotesis nol sebagai mean populasi 60 secara umum dinotasikan : H0 : µ = 60 H1 : µ ≠ 60.
Pemilihantingkatkepentingan ( level of significance ), α • Tingkat kepentingan ( level of significance ) menyatakansuatutingkatresikomelakukankesalahandenganmenolakhipotesis nol. • Dengankata lain, tingkatkepentinganmenunjukkan probabilitasmaksimum yang ditetapkanuntukmenghasilkanjenisresikopadatingkat yang pertama. • Dalamprakteknya, tingkatkepentingan yang digunakanadalah 0.1, 0.05 atau 0.01. • Jadidenganmengatakanhipotesisbahwaditolakdengantingkatkepentingan 0.05 keputusanitubisasalahdenganprobabitas 0.05.
Pernyataanaturankeputusan (Decision Rule) • Suatu nilai-P didefinisikan sebagai nilai tingkat kepentingan yang teramati yang merupakan nilai tingkat signifikan terkecil di mana hipotesis nol akan ditolak apabila suatu prosedur pengujian hipotesis tertentu pada data sampel. • Menolak H0 jika nilai-p (p-value) < dan menerima H0 jika nilai-p (p-value) > .
Perhitungannilai-p berdasarkan data sampel & Kesimpulan • Berdasarkan sampel dihitung nilai-p. • Karena nilai-p < maka Ho ditolak atau sebalinya nilai-p > maka Ho diterima.
UjiHipotesisdengan Mean Tunggal • Pengujian ini dibedakan atas dua jenis yaitu : Uji dua ujung ( two tailed test) Uji satu ujung ( one tailed test).
UjiDua Ujung • Ujiduaujung (two tailed) adalahujihipotesis yang menolakhipotesisnoljikastatistiksampelsecarasignificantlebihtinggiataulebihrendahdaripadanilai parameter populasi yang diasumsikan. • Dalamhalinihipotesisnoldanhipotesisalternatifnyamasing-masing : H0 : µ = nilai yang diasumsikan H1 : µ ≠ nilai yang diasumsikan
Contoh Nilai Matematika siswa kelas 10 SMAN 1 Salatiga berdistribusi normal. Akan diuji hipotesis : rata-ratanya 60. Hipotesis nol : H0 : = 60 Hipotesis alternatif : H1 : 60
Berdasarkan hasil output SPSS diperoleh nilai-p mendekati nol dan karena nilai- p < = 0,10 (10 %) maka H0 ditolak berarti H1 diterima. Dengan kata lain, 60 berarti rata-rata nilai Matematika siswa kelas 10 tidak sama dengan 60.
Contoh Nilai Matematika siswa kelas 10 SMAN 1 Salatiga berdistribusi normal. Akan diuji hipotesis : rata-ratanya 50. Hipotesis nol : H0 : = 50 Hipotesis alternatif : H1 : 50
Berdasarkan hasil output SPSS diperoleh nilai-p = 0,367 dan karena nilai- p > = 0,10 (10 %) maka H0 diterima. Dengan kata lain, = 50 berarti rata-rata nilai Matematika siswa kelas 10 sama dengan 50.
Outline • Uji Hipotesis Mean dengan Sampel ganda : - Uji t untuk populasi saling bergantung - Uji t untuk populasi saling bebas
Uji t pasanganuntukpopulasisalingtergantung Prosedur : • PernyataanHipotesisnol dan HipotesisAlternatif • Dalamujiinihipotesisnolnyaadalahmetodebaru sama denganmetode lama (perbedaan rata-ratanyaadalahnol). Sedangkanhipotesisalternatifnyaadalahmetodebarutidak sama denganmetode lama (terdapatperbedaannilai rata-rata). H0 : μd = 0 ( metode lama sama dengan metode baru) H1 : μd ≠ 0 uji dua ujung ( μd > 0 ujisatuujung ) (metode lama tidaksamadenganmetodebaru) • Pemilihantingkatkepentingan (level of significance), α
Aturan pengambilan keputusan : • H0 ditolak jika nilai-p < dan sebaliknya H0 diterima jika nilai-p .
Contoh • Seorang guru akan mengevaluasi metode pembelajaran baru untuk siswa. • Jika dalam program baru tersebut terdapat penghematan waktu dari pada program saat ini maka ia akan merekomendasikan perusahaan tersebut dengan program baru.
Suatu sampel yang terdiri dari 8 diambil dan kemudian diperoleh nilai sebelum dan setelah digunakan metode pembelajaran yang baru. • Nilai yang diperoleh sebelum dan setelah digunakan metode pembelajaran yang baru ditunjukkan pada tabel berikut :
Uji hipotesis dilakukan dengan langkah sebagai berikut : • Hipotesis H0 : metode baru tidak meningkatkan nilai H1 : metode baru meningkatkan nilai • Tingkat kepentingan α = 0,05 = 5 % • Aturan Keputusan H0 ditolak dan H1 diterima jika nilai-p < 0,05 dan sebaliknya H0 diterima dan H1 ditolak jika nilai-p > 0,05.
Hasil output SPSS(terlihatthit = 1,366 dannilai-p = 0,214 > 0,05 sehingga H0diterima)
Kesimpulan • Metodepembelajaranbarutidakmeningkatkannilai. • Hal tersebutjugadidukungolehinformasitambahanpadahasil output SPSS berikutini. • Tidakterdapatperbedaan yang signifikanantara rata-rata nilaisebelumdannilaisesudahpenggunaanmetodepembelajaranbaru.
