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Potencias y Raíces de números naturales

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Potencias y Raíces de números naturales. Potencia. Producto de factores iguales. Antes de empezar, recuerda:. ------------------------------------------------------------------------------------------------.

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Presentation Transcript
slide2

Potencia

Producto de factores iguales

EGC

antes de empezar recuerda
Antes de empezar, recuerda:

------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------

Multiplicación por 10, 100, 1000, …:

EGC

una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicaci n de factores iguales
Una POTENCIA es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales

Se lee “tres al cuadrado” o “tres elevado a dos”

Se lee “tres al cubo” o “tres elevado a tres”

Se lee “tres a la cuarta” o “tres elevado a cuatro”

Las demás se leen “a la quinta”, “a la sexta”, …

Fíjate por qué la potencia de exponente dos (cuadrado) y la exponente tres (cubo) se llaman así:

EGC

significado de la potencia cuadrada
Significado de la potencia cuadrada

3

Cuadrado

Cuadrado de 3

Base 3

3

Cuadrado de tres unidades de base, tiene nueve unidades de superficie.

Es conveniente que memorices los cuadrados de los 16 primeros números naturales.

EGC

significado de la potencia c bica
Significado de la potencia cúbica

3

3

3

1 cubito base

27 cubitos

Si tomamos tres cubitos base y lo multiplicamos por sí mismo, obtenemos un cuadrado de 9, y al multiplicar otra vez, obtenemos un cubo de 27 cubitos unidad.

EGC

cuidado
¡Cuidado!

No confundas

10 veces 10

con

2 veces 10

EGC

operaciones con potencias
Operaciones con potencias
  • Potencia de un producto:

Ya podemos quitar los paréntesis porque son todas multiplicaciones, que tienen la misma prioridad.

Así que:

Cada factor se eleva al exponente

EGC

la prioridad de las operaciones ahora es
La prioridad de las operaciones ahora es:

1º Paréntesis y corchetes.

2º Potencias y raíces.

3º Multiplicaciones y divisiones.

4º Sumas y restas.

Entonces si en la operación anterior en lugar de usar primero la definición de potencia aplicamos el paréntesis, vemos que se cumple.

Calcula mentalmente en 4 segundos:

EGC

slide10

Calcula mentalmente en 4 segundos:

Pista:

Calcula mentalmente en 4 segundos:

EGC

slide11

Operaciones con potencias

  • Potencia de un cociente:

La potencia de un cociente es el cociente de las potencias del numerador y el denominador.

Calcula mentalmente en 4 segundos:

EGC

slide12

Operaciones con potencias

  • Si multiplicamos (o dividimos) potencias de la misma base, se suman (o restan) exponentes:

Entonces:

Entonces:

EGC

slide13

Consecuencias

  • ¿Qué pasaría si dividiéramos dos potencias iguales?:
  • Por ejemplo

Pero si usamos las propiedades:

Entonces:

Cualquier base (que no sea 0) elevada a 0 vale 1.

EGC

slide14

Consecuencias

  • Si elevamos una base a 1, el resultado es la misma base:
  • Por ejemplo:

Pero si usamos las propiedades:

Entonces:

Cualquier base elevada a 1 es ella misma.

EGC

slide15

Operaciones combinadas

Se sigue la prioridad:

1º Paréntesis y corchetes.

2º Potencias y raíces.

3º Multiplicaciones y divisiones.

4º Sumas y restas.

primero

tercero

segundo

EGC

slide16

Evaluación

Completa y calcula:

Soluciones: 1, 1, 5.

EGC

slide17

Evaluación

Completa y calcula:

………………. de potencias del mismo/a …………...., entonces, …………………

.............................................................

………………. de potencias del mismo/a …………...., entonces, …………………

.............................................................

………………. de potencias del mismo/a …………...., entonces, …………………

.........................................

Potencia de ………………., entonces,

.............................................................

EGC

slide18

Evaluación

Completa y calcula:

Distinta ……………y distinto …………………:

¿Se aplica propiedad?

Igual ………….. distinto ………………….:

¿Se aplica propiedad?

Igual ………….. distinta ………………….:

¿Se aplica propiedad?

EGC

slide19

Evaluación

- Escribe de forma abreviada:

(usando la definición de potencia),

- Si

¿cómo se calculará?:

- Calcula:

- ¿Es correcto este razonamiento?:

3 veces tres al cuadrado

EGC

slide20

Evaluación

- ¿Cuántos remeros participan en la regata? Exprésalo en forma de potencia.

- Este jardín tiene 6 macizos, cada uno de los cuales tiene 6 filas de 6 plantas cada una. Halla el número total de plantas expresándolo previamente en forma de potencia.

- Un átomo de uranio al desintegrarse emite 3 neutrones, los cuales, chocando con otros tantos átomos de uranio, los desintegran, a su vez, y así sucesivamente. ¿Cuántos átomos de uranio se habrán desintegrado después de 7 choques?

EGC

slide21

Radical

y sus raíces…

EGC

slide22

Raíz cuadrada

Se dice que la suma y la resta son operaciones inversas, porque una “deshace” lo que “hace” la otra. Por ejemplo, si a un número le sumamos 5, podemos deshacer esta operación restando 5.

Igualmente son operaciones inversas la multiplicación y la división.

Lo mismo pasa con la potenciación y la radicación:

Por ejemplo, si sabemos que el cuadrado de un número es 9, ¿cuál es ese número?

Es decir, si tenemos un cuadrado formado por 9, ¿cuál es la base (lado)? 3

Hemos calculado la raíz cuadrada de 9, que se escribe así:

EGC

slide23

¿Qué pasaría en esta situación?:

Como has memorizado los cuadrados de los 16 primeros números naturales, completa:

“La raíz de ……es ….., porque ………..”

“La raíz de ……es ….., porque ………..”

“La raíz de ……es ….., porque ………..”

“La raíz de ……es ….., porque ………..”

“La raíz de ……es ….., porque ………..”

porque ……………………..

porque ……………………..

EGC

slide24

Estos números se llaman “cuadrados perfectos”, porque su raíz cuadrada es exacta:

Si la raíz cuadrada es inexacta, se dice que es entera, y el número no es un cuadrado perfecto.

Es lo que pasa si calculamos

Acudamos a nuestras ayudantes:

La raíz entera de es entonces:

Calcula tú la raíz cuadrada de 60, 52, 145, 101 y 216.

EGC

slide25

Observa cuál es la diferencia entre un cuadrado y el siguiente:

Diferencia entre el cuadrado de 2 y el de 3:

Diferencia entre el cuadrado de 4 y el de 5:

Entonces, la diferencia entre un cuadrado y el siguiente es del doble del lado pequeño más 1.

EGC

slide26

Operaciones combinadas

1º Paréntesis y corchetes.

2º Potencias y raíces.

3º Multiplicaciones y divisiones.

4º Sumas y restas.

EGC

slide27

Evaluación

Resuelve:

Calcula el lado de un cuadrado que tiene 121 metros cuadrados de superficie.

Se quiere bordear una alfombra cuadrada de 9 metros cuadrados con un cordón que cuesta 2 euros el metro. ¿Cuál será el gasto?

EGC

slide28

Evaluación

Resuelve:

La gran pirámide de Egipto, de base cuadrada, ocupa una extensión aproximada de 56000 metros cuadrados. ¿Cuál es el lado aproximado de la base?

Un casillero cuadrado de cartas tiene 12 casillas de lado. Como resulta pequeño se le quiere añadir una casilla más por cada lado. ¿Cuántas casillas habrá que añadir?

Un jardinero colocó sus macetas igualmente espaciadas formando un cuadrado de 14 macetas de lado y le sobraron 12. ¿Cuánto necesitará para formar un cuadrado de 15 macetas de lado?

EGC

slide29

Vocabulario

  • Potencia: (Completa tú)
  • Base:
  • Exponente:
  • Factor:
  • Raíz:
  • Radicando:
  • Radical:
  • Índice:
  • Potenciación:
  • Radicación:

EGC

slide30

Criterios de evaluación (y CCBB)

  • Calcular el valor de potencias naturales.Páginas 10, 17-19 (Mat., Aprender a aprender)
  • Simplificar cálculos a partir de las operaciones con potencias.Páginas 10, 17-19 (Mat.)
  • Calcular la raíz cuadrada, exacta o entera, de un número natural. Pág. 23,29 (Mat.Ling.)
  • Realizar operaciones combinadas con potencias y raíces, aplicando el orden correcto.
  • Pág. 15, 16, 26, 27.
  • Resolver situaciones con raíces y potencias.Pág. 20, 27, 28. (Mat., Autonom., Social y ciud.)

Bibliografía

  • Cálculo. Ed. SM. 1977.
  • Números. Ed. Octaedro. 1994.
  • Matemáticas 1º ESO. Ed. Oxford. Serie Trama. Proyecto Ánfora. 2007
  • Enlaces de internet:
  • Y otros.

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_de_la_ra%C3%ADz_cuadrada

EGC

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