Droite et plan perpendiculaires.

1. Droite et plan perpendiculaires. Par KHROUCH Ahmed 6D

2. p Considérons une droite p, un point P de cette droite, un plan ω déterminé par deux droites a et b sécantes en P et perpendiculaire à p Considérons une droite quelconque d de ω passant par P. Démontrons que les droites d et p sont perpendiculaires. Par le point D de la droite d, menons les parallèles aux droites a et b; ces droites coupent b et a respectivement en B et en A. β Q α PADB est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en M(M est le milieu de AB). δ B Nous démontrons que p est perpendiculaire à d en démontrant que dans le plan δ déterminé par les droites sécantes d et p, le triangle PMQ est rectangle en P ou encore que P b A a M D ω d PQ²=QM²-PM²

3. p - M est le milieu de [AB] QA²+QB²=2QM²+ AB² (1) 2 PA²+PB²=2PM²+AB² (2) 2 β Q α δ B P b A a M D ω d - Retranchons, membres à membres, l’égalité (2) de l’égalité (1) (QA²-PA²)+(QB²-PB²)=2(QM²-PM²). (3) Or, les triangles APQ et BPQ sont rectangles en P. Donc: QA²-PA²=PQ² et QB²-PB²=PQ². L’égalité (3) s’écrit 2PQ²=2(QM²-PM²) ou encore PQ²=QM²-PM² Elle exprime que le triangle est rectangle en P. a