中学数学课程、教学改革研究

1. 中学数学课程、教学改革研究 人民教育出版社 章建跃 zhangjy@pep.com.cn 01058758320

2. 一、几个基本观点 1．坚持我国数学教育的优良传统 • 课程教材体系结构严谨，逻辑性强，语言叙述条理清晰，文字简洁、流畅，有利于教师组织教学，注重对学生进行基础训练等； • 教学强调概念理解和基本技能训练，强调为学生铺设合理的认知台阶，强调变式训练等； • 学生学习刻苦，基础扎实，运算能力和逻辑推理能力强等。

3. 2.针对问题进行改革 • 数学教学“不自然”，强加于人； • 缺乏问题意识； • 重结果轻过程，“掐头去尾烧中段”； • 重解题技能、技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高； • 讲逻辑而不讲思想。

4. 3．处理好数学课改中的各种矛盾关系，把握平衡不走极端而到达光辉顶点3．处理好数学课改中的各种矛盾关系，把握平衡不走极端而到达光辉顶点 • 学生主体与教师主导 • 接受学习与发现学习 • 基础与创新 • 数学知识、能力与情感态度 • 数学化与情境化（直观与逻辑、具体与抽象等） • 独立思考与合作交流 • 过程与结果 • 面向全体与因材施教 • 书本知识与数学应用 • ……

5. 二、改革的几个重点问题 1．亲和力问题 • 呈现方式：自然亲切，生动活泼，激发兴趣和美感，引发学习激情。 • 数学的内在吸引力：在体现知识归纳概括过程中的数学思想、解决各种问题中数学的力量、数学探究和论证方法的优美和精彩之处、数学的科学和文化价值等方面，引发学生的积极体验。

6. 2．加强“问题性”——问题引导学习 • 问题引导学习应当成为基本的数学教学原则 • 通过恰当的、对学生思维有适度启发性的问题，引导学生的思考和探索，经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维基本过程，切实改进学生的学习方式，培养问题意识，孕育创新精神。

7. 好问题的标准 “跳一跳能够摘到的果子” • 反映当前教学内容的本质； • “度”——似会非会，感到能解决但又不能轻易解决，经过适度努力能够解决。

8. 3．提高思想性 • 加强过程与联系，以数学概念的发展过程、逻辑关系组织教学内容，保持思想方法的前后一致性；以核心概念和基本思想（数及其运算、函数、空间观念、数形结合、向量、导数、统计、随机观念、算法等）为贯穿教学过程的“灵魂”。

9. 4．加强结构性(联系性) 结构良好的教学内容的特点 • 核心知识（基本概念及由内容所反映的数学思想方法）为联结点，精中求简，易学、好懂、能懂、会用，能切实减轻学生负担； • 形成概念的网络系统，联系通畅，便于记忆与检索； • 具有自我生长的活力，容易在新情境中引发新思想和新方法。

10. “结构性”的几个具体要求 （1）教学目标明确，削支强干，重点突出，集中精力于核心内容。 （2）教学内容安排注重层次结构，张弛有序，循序渐进。由浅入深，由易到难，先简后繁，先单一后综合。

11. （3）每堂课都围绕一个中心论题展开和深化，精心组织相关的数学成分，使相应的核心概念或重要思想成为一个有机整体，相关的数学术语、定义、符号、概念、技能等因素都得到仔细的展开；课与课之间建立精当的序列关系，保持知识的连贯性，思想方法的一致性。易错、易混淆的问题有计划地复现和纠正，使知识得到螺旋式的巩固和提高。（3）每堂课都围绕一个中心论题展开和深化，精心组织相关的数学成分，使相应的核心概念或重要思想成为一个有机整体，相关的数学术语、定义、符号、概念、技能等因素都得到仔细的展开；课与课之间建立精当的序列关系，保持知识的连贯性，思想方法的一致性。易错、易混淆的问题有计划地复现和纠正，使知识得到螺旋式的巩固和提高。

12. （4）强调科学思考方法的应用 推广 类比 当前内容 类比 特殊化

13. 案例一 三角函数中的结构思想 • 定义：任意角与单位圆的交点为P(x，y)，则x=cos，y=sin ，对应关系明确，函数的意义直观而具体； • 三角函数性质：正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述，例如 （1）P(x，y)在单位圆上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函数的值域为[－1，1]； （2）|OP|2=1sin2+cos2=1；

14. （3）对于圆心的中心对称性 sin(π+)=－sin，cos(π+)=－cos； （4）对于x轴的轴对称性 sin(－)=－sin，cos(－)=cos； （5）对于y轴的轴对称性 sin(π－)=sin，cos(π－)=－cos； （6）对于直线y=x的轴对称性 sin( －)=cos，cos( －)=sin；

15. （7）sin的单调性 ：－ 0 π y： －1 0 1 0 －1 （8）圆的旋转对称性：和（差）角公式 圆的反射对称性：和（差）化积公式

16. 三、大纲教材课标教材的比较 • 指导思想 课标教材 模块化，螺旋上升，关注学生学习心理，基础性，选择性，多样性 大纲教材 系统性，逻辑性，关注知识体系的合理性，基础性

17. 案例二 一元二次不等式的位置 大纲教材 在集合与简易逻辑中，为集合运算、求定义域和值域准备工具 课标教材 在数学五中，从不等关系是客观事物的基本数量关系角度，作为刻画不等关系的工具之一，强调不等式、方程及函数之间的联系。 集合是一种数学语言；求复杂的定义域、值域是“双基的异化”

18. 案例三 立体几何教材结构的处理 1.从整体到局部、具体到抽象 与老教材立体几何内容体系相比，本模块立体几何的内容体系结构有重大调整。

19. 第九章 直线、平面、简单几何体 • 空间直线和平面 • 9．1 平面 • 9．2 空间直线 • 9．3 直线、平面平行的判定和性质 • 9．4 直线、平面垂直的判定和性质 • 9．5 两个平面平行的判定和性质 • 9．6 两个平面垂直的判定和性质 全日制普通高级中学教科书（实验修订本.必修）

20. 、简单几何体 • 9.7 棱柱 • 9.8 棱锥 • 研究性学习课题：多面体欧拉公式的发现 • 9.9 球 • 小结与复习 全日制普通高级中学教科书（实验修订本.必修）

22. 优缺点比较 大纲教材 • 优点——从点、线、面到几何体，按公理化体系，按知识的逻辑关系安排内容，结构严谨，“数学味”浓厚. • 缺点——与学生的认知规律、思维方式有矛盾，是造成学立体几何困难的原因之一.

23. 课标教材 • 从空间几何体整体认识到点、直线和平面位置及其度量的认识 • 优点——关注学生思维过程，为合情推理到逻辑推理过渡创造条件；体现从具体到抽象的认识规律。 • 缺点——逻辑性的减弱。

24. 2.强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理化思想2.强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理化思想 “采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。”

25. 在立体几何学习中，经历合情推理——演绎推理过程。通过对事物、模型、图片等的操作和感知，引导学生归纳、概括几何图形的结构特征，认识空间点、线、面的位置关系，用数学语言表达平行、垂直的性质与判定，并能进行证明。在立体几何学习中，经历合情推理——演绎推理过程。通过对事物、模型、图片等的操作和感知，引导学生归纳、概括几何图形的结构特征，认识空间点、线、面的位置关系，用数学语言表达平行、垂直的性质与判定，并能进行证明。 不是不要证明，而是完善过程。 既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理能力。

26. 把握立体几何教学的变化： 几何教育功能的全面性，即从单纯强调几何的逻辑推理转变为合情推理与逻辑推理并重。

27. 3.螺旋上升，分层递进，逐步到位。 • 第一步 对几何体的认识 依赖于直观感受，不作严格推理论证要求。 • 第二步 合情推理 以长方体为主要载体，对图形进行观察、操作、实验，适当地进行说理训练。 • 第三步 严格的推理证明 如线面平行、垂直的性质定理的证明。 • 第四步 用空间向量为工具进行研究 代数方法研究立体几何（选修系列2）

28. 以“直观感知、操作确认”为主要认知方式的课怎样上？数学思维的要求如何体现？以“直观感知、操作确认”为主要认知方式的课怎样上？数学思维的要求如何体现？ • 要点： （1）提供典型例证； （2）给学生以如何描述“几何特征”的指导； （3）让学生自己概括几何特征。

29. 案例四 概率与计数原理的位置 • 概率的核心：了解随机现象和概率的意义 • 过去的概率课，把重点放在用排列组合计算古典概率上，而忽略了对概率本身的理解。学生学完后，并不能很好地认识周围发生的随机现象，如天气预报，彩票中奖等。在现在的标准中，更强调对随机现象的认识。

30. 古典概型中应关注的问题 • 特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。 • 古典概率是一类数学模型，并非是现实生活的确切描述。 例如： 把2个球放入2个盒中，每盒放球数不限。当球、盒都可以分辨时，有四种结果；当球不可分辨而盒可以分辨时，有三种结果；当球、盒都不可分辨时，只有两种结果。如果出现的结果是等可能的，就得到三种不同的古典概率模型。它们没有对错之分。

31. 同一个问题可以用不同的古典概率模型来解决。同一个问题可以用不同的古典概率模型来解决。 • 例 扔一个均匀的骰子，求“出现偶数点”的概率。 • 在古典概率的问题中，关键是要给出正确的模型。一题多解体现的恰是多个模型。

32. 四、新教材实施中应注意的问题 1．认真领会课标、教材的精神 数学教育功能的全面性； 正确认识和处理教学中的师生关系，发挥学生的主体作用、激发学生主动学习； 改进教学方式和学习方式，例如重视教学情景创设，强调学生的自主探究、合作交流； 注重数学与现实的联系，强调数学应用；等。

33. 对于教材改革的指导思想的理解： 亲和力、问题性、思想性、联系性 理解有待进一步加深。例如： 改革思想和内容的理解需要进一步落实；教学中，擅自增加、调整内容，提高教学要求，用题海训练代替数学教学，大量增加课时等现象还比较严重，缺乏提高课堂教学质量和效率的根本办法。

34. 2．教学目标的准确、具体、有用 • 准确：要准确地反映“课标”的要求 • 具体：要用可操作性语言，对“了解”“理解”“掌握”“灵活应用”等做出具体界定 • 实用，要阐述清楚经过教学后学生的变化 • 教学目标的制定反映了教师对数学、教材以及学生的理解的整体水平，是教学水平的集中体现。那种“一步到位”的教学目标显然不符合要求，也是教学水平不高的表现。

35. 案例五 教学目标的陈述 例1 掌握一元二次方程根的判别式。 ——对“掌握”的内涵作具体界定。重要概念要考虑作适当分解： （1）在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，掌握判别式的结构和作用； （2）能用判别式判断一个一元二次方程是否有解； （3）能用判别式讨论一个含字母系数的一元二次方程的解； （4）能灵活应用判别式解决其他情境中的问题。

36. 例2 理解函数单调性概念。 这一陈述中，需要对“理解”的含义作具体界定，以使我们能准确把握学生是否已经达到“理解”。实际上，“理解”的基本含义是学生能用概念作出判断。因此可以改述为： 能给出增函数、减函数的具体例证和图象特征；能用函数单调性定义判断一个函数的单调性。

37. 要防止教学目标“高大全”，有的甚至是“假大空”，目标“远大”、空洞，形同虚设。例如，一堂课的目标中含有：要防止教学目标“高大全”，有的甚至是“假大空”，目标“远大”、空洞，形同虚设。例如，一堂课的目标中含有： • 培养学生的数学思维能力和科学的思维方式； • 培养学生勇于探索、创新的个性品质； • 体验数学的魅力，激发爱国主义热情； 等等。

38. 3．教学方法的多样、适切、灵活 • 多样、灵活：课堂教学中应当根据教学进程的需要，恰当选择和灵活调整教学方法； • 适切：教学方法要为学生的数学认知活动服务，适合内容的特点和学生的思维需要。 • 教学方法改革核心是如何在接受式学习中融入问题解决的成分，使启发式讲授教学与活动式教学有机结合。

39. 当前值得重点考虑问题：如何使活动式教学真正有成效，如何设法在学生学习中融入问题解决的成分。这就要考虑：当前值得重点考虑问题：如何使活动式教学真正有成效，如何设法在学生学习中融入问题解决的成分。这就要考虑： • 什么样的活动是有效的？什么样的交流才是真正的数学交流？什么样的探究才是真正的数学探究？ • 有效的“活动”“探究”“问题解决”等，主要看学生思维的参与度，要让学生真正通过自己实质性的思维活动获取数学知识、方法和数学思想，并逐渐发展数学能力

40. 4．教学过程有效、开放、重点突出 • 有效：通过教学能确保达成教学目标，保证课堂教学的效率和效果。 • 开放：学生有广阔、独立的数学思维空间，有机会经过自己的独立思考获得对数学知识的理解。 • 重点突出：教学要抓住数学核心概念和思想方法。

41. 5．问题要有意义、适度、恰时恰点 • 有意义：问题要反映当前学习内容的本质； • 适度：提问要把握好“度”，使学生处于“跳一跳摘果子”的状态； • 恰时恰点：要在学生处于思维困惑时提出问题，使问题能够启发和引导学生的数学思维活动。 • 构建恰时恰点的问题（系列）是有效教学的基本线索，“问题引导学习”应是教学的一条基本原则

42. 怎样的情境才是教学情境 • 强调“生活情境”，人为制造情境，特别是与当前学习任务没有太大关系的情境较多。 • 例：讲椭圆概念时，要用“神舟五号”的太空飞行图，而且问学生“飞行路线是什么？” • 有效的教学情境是与当前学习任务相关的、能反映当前学习内容本质的。

43. 五、课堂教学的几个关键 1. 三个基本点 • 理解数学——对数学的思想、方法及其精神的理解； • 理解学生——对学生数学学习规律的理解，核心是理解学生的数学思维规律； • 理解教学——对数学教学规律、特点的理解。

44. 2.两个关键 • 提好的问题——在学生思维最近发展区内，有意义； • 设计自然的过程——数学知识发生发展的原过程（再创造），学生对数学知识的认识过程。

45. 案例六 “不等式基本性质”中的提问 • 不等式基本性质的研究可以通过类比等式的基本性质而得到启发。 • 你能回忆一下等式的基本性质吗？ • 考察等式的基本性质的基本思想是什么？（“运算中的不变性”） • 类似的，不等式有哪些基本性质呢？

46. 过程——抽象与具体、特殊与一般的关系 • 抽象是数学的一个公认的、最显著的特点 • 数学的抽象是从具体中得来的，具体中蕴含了本质 • 从具体中可以进行多次抽象 • 可以从不同的角度进行抽象 • 特殊化能使一般的性质得到最明显的表征

47. 案例七 正、余弦定理的推导 • 三角形有各种几何量，如三边长、三个内角的角度、面积、外经、内径等。“解三角形”就是给定三角形的若干几何量，求其余几何量。你认为至少给定几个量就可以求出其余量？（从定性到定量） • 特殊化：解直角三角形（利用勾股定理、两个锐角互余、锐角三角函数等）。

48. 推广：能否将上述结论推广到一般三角形？ • 在已有结果的基础上，探索新的证明方法，如： • 三角形面积与正弦定理 • 垂直投影与余弦定理 • 用余弦定理推导正弦定理 • 借助于外接圆证明正弦定理 • ……

49. 3.一个核心 • 概括——引导学生自己概括出典型实例的共同本质特征 • 强调学生实质的、高水平的思维参与度，使学生在教学过程中保持高水平的数学思维活动

50. 案例八 平行线分线段成比例定理的概括 • 先行组织者：研究平行线的性质，就是探究在一组直线平行的条件下可以得出哪些结论。 • 特例1 一组等距平行线截另一组平行直线，结果如何？ • 特例2 一组等距平行线截另一组任意直线，结果如何？——平行线等分线段定理、三角形和梯形的中位线定理。 • 特例3 已知距离的不等距平行线截另一组直线，结果如何？ • 平行线分线段成比例定理。