多変数の関数と偏微分
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多変数の関数と偏微分. 多変数の関数. R n の実関数 n 個の実数 x 1 ,..., x n が決まると一つの実数が決まる f ( x 1 ,..., x n ). 経済学の例 りんごの需要がりんごの価格 p だけでなく、みかんの価格 q と所得 Y に依存する・・ D ( p,q,Y ) 財がたくさんあって、各価格が p 1 ,..., p n, 所得が Y のとき、各財の需要は D 1 ( p 1 ,..., p n , Y ) ,..., D n ( p 1 ,..., p n, Y ). R n から R m への関数 ( 写像 ).

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多変数の関数と偏微分

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Presentation Transcript


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多変数の関数と偏微分


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多変数の関数

  • Rnの実関数

    n個の実数x1,..., xnが決まると一つの実数が決まる

    f(x1,..., xn)

  • 経済学の例

    • りんごの需要がりんごの価格pだけでなく、みかんの価格qと所得Yに依存する・・ D(p,q,Y)

    • 財がたくさんあって、各価格がp1,..., pn,所得がYのとき、各財の需要はD1(p1,..., pn ,Y) ,..., Dn(p1,..., pn,Y)


R n r m

RnからRmへの関数(写像)

  • Rnの実関数をm個並べる

    nの実数x1,..., xnが決まるとm個の実数が決まる

    f1(x1,..., xn) ,..., fm(x1,..., xn)


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2変数の関数の図示

  • 2変数のときは、等高線や等圧線を描くことができる。

    一般的にはレベル曲線

    経済学では無差別曲線


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レベル集合

無差別曲線の上の部分


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準凹関数

  • レベル集合が凸集合

凸集合

凸集合でない


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多変量の関数の例

  • 線形関数

  • アフィン関数(一次関数)

  • 線形代数で扱う


Cobb douglas

Cobb Douglas関数

対数を取る

対数が線形


Cobb douglas1

Cobb Douglas生産関数

単位の取り方でA=1に標準化できる

資本と労働の投入を二倍にしたとき生産が2倍


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一次同次関数と0次同次関数

一次同次関数

k次同次関数

0次同次関数


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一次同次の生産関数

  • F(ax1,....axn)=aF(x,.... , x)

  • 生産プロセスを何倍にでも、あるいは、何分の1にでもできる

  • 規模に対して、収穫一定(constant return to scale)


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需要関数の0次同次性

  • すべての財の価格と所得が2倍になっても経済状態は変わらない→各財の需要は変化しない


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効用関数の序数性

  • 序数的・・・どちらがいいかのみ意味がある

  • 基数的・・・大きさ自体に意味がある。

序数的なら

の比較と

の比較は同等

より一般的に

の比較は同等


Cobb douglas2

Cobb-Douglas 効用関数と対数線形効用関数の同値性

対数線形のほうが使いやすい


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レベル集合の不変性

レベル曲線・無差別曲線も変化しない


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CES関数

Cobb Douglasの一般化

1次同次


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線形

コッブ・ダグラス

ロピタル・ルールを用いる


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ロピタル・ルール


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補足


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レオンチェフ形


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各型のレベル曲線(等量曲線)

-∞< σ <1

σ=-∞

σ=1

CESは、Constant Elasticity of Substitutionで、代替の弾力性が一定の意味


Partial derivative

偏微分(Partial derivative)

  • 多変数の関数で、他の変数を定数として、一つの変数のみについて、微分する

  • dのかわりに∂を 使う


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  • 極限は上から取っても下から取っても一致

  • そうでないときは、偏微分できない(偏微分不可能である )

関数としては偏導関数


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一次近似

  • 一方向


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一次近似

  • すべての方向

  • 略して全微分表現


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一次近似が成立しない例


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全微分(可能)

  • すべての方向でいい近似


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比較静学

  • 未知数が、未知数と同じだけの方程式で決まっているとき、その未知数以外の方程式の変数がちょっとだけ変化したとき、未知数がどんなふうにちょっと変化するかを考える問題

  • 全微分(一次近似)して、連立方程式を解く


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例 生産関数

生産関数

資本の投入

労働の投入


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限界生産物

資本の限界生産物

労働の限界生産物

一単位投入を増やしたとき産出がどれだけ増えるか

独立変数を省略


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生産関数の全微分

資本の限界生産物

ß両辺を全微分


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変化率と弾力性による表現

ß両辺をY=Fで割る

変化率

時間についての変化率と似ているが違う


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変化率と弾力性による表現(2)

変化率を変化率で割ったもの

弾力性・・

生産の資本に対する弾力性


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変化率と弾力性による表現(3)

Rochester ハット

慣れれば本能的に瞬時に出る


Cobb douglous

Cobb-Douglousのケース


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偏微分の積の公式

  • 以下では、微分可能性などは仮定

2変数

多変数


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合成関数微分の公式(チェイン・ルール)

  • パスを全部通す

  • dと∂のどちらを使うかは、文脈による


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チェイン・ルールの例1


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チェイン・ルールの例2


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パスを全部通す例


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上の例の導出


2cobb douglas

例2Cobb Douglas 生産関数の時間微分

Cobb Douglas生産関数

KとLで微分

KとLともに時間の関数だとする

tで微分


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両辺の対数を取る

数IIIを少しやっていると見た瞬間にわかる


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一般の生産関数

とパラレルに


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例3 オイラーの法則


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オイラー法則


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一次同次

0次同次


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例 一次同次生産関数

これらが生産物の価値で計った、資本賃率と賃金率だと生産物の価値は、資本賃率の総額と総賃金で払いつくされ、超過利潤はない


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