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第 16 章 集合与函数 PowerPoint PPT Presentation


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第 16 章 集合与函数. 知识点 关系概念与运算 关系表示法与性质 关系矩阵与闭包 相容关系与覆盖 等价关系与划分 序关系 函数的定义与性质 复合函数与逆函数. 难点 相容关系、等价关系和序关系等有关性质 关系闭包概念及求法 要求 熟练掌握 集合运算的证明 序偶与笛卡尔乘积 关系的性质及复合关系、逆关系 相容关系与覆盖 等价关系与划分. 偏序关系 与特殊元 函数的定义与图示 复合函数与逆函数 定义与运算 16.1 集合的基本概念 集合的表示方法一般有列举法和特法。 列举法就是将集合中的元素一一列举出来,

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第 16 章 集合与函数

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Presentation Transcript


16

第16章集合与函数

知识点

  • 关系概念与运算

  • 关系表示法与性质

  • 关系矩阵与闭包

  • 相容关系与覆盖

  • 等价关系与划分

  • 序关系

  • 函数的定义与性质

  • 复合函数与逆函数


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难点

  • 相容关系、等价关系和序关系等有关性质

  • 关系闭包概念及求法

    要求

  • 熟练掌握

    集合运算的证明

    序偶与笛卡尔乘积

    关系的性质及复合关系、逆关系

    相容关系与覆盖

    等价关系与划分


16

偏序关系 与特殊元

函数的定义与图示

复合函数与逆函数定义与运算

16.1 集合的基本概念

集合的表示方法一般有列举法和特法。

列举法就是将集合中的元素一一列举出来,

用逗号分开,然后用花括号括起来。

例如,

特征法就是用一个小写字母统一表示该集

合的元素并指出这类元素的公共特征。


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例如,

当两个集合A和B有相同元素时,称这两个集

合相等。记作A=B。

有些数集经常用特定字母表示:

N:自然数集;

I:整数集;

Q:有理数集;

R:实数集;

C:复数集;


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如果集合A中的每一个元素又都是集合B的元

素,则称A是B的子集。记作

定理1集合A和集合B相等的充分必要条件是

,即 。

如果集合A是集合B的子集,A和B不等,B中至

少有一元素不属于A,则称A为B的真子集,记作

,例如 。

不含任何元素的集合称为空集。记作

或 。

空集是任何集合的子集。


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在一个具体问题中,如果所涉及到的集合都是

某个集合的子集则称这个集合为全集。用 表示。

A是一个集合由属于全集U但不属于A的所有元

素组成的集合称为A的补集。记作 。

定理2 A是有限集, 则A的幂集P(A)的

基为 。即

例 计算以下幂集

1)

2)

3)


16

4)

1)

2)

3)

4)


16

16.2 集合的运算

1.集合的交

定义1两个集合A和B,由A和B的所有共同元素组

成的集合称A和B的交,记作 即

交运算有如下性质:


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2.集合的并

定义2两个集合A和B,所有属于A或属于B的元素

组成的集合成为A和B的并。记作 即

并运算有如下性质:

定理3 设A,B,C为三个集合则下列成立:


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上式称分配律

定理4设A,B为集合,则下列关系式成立:

上式称吸收律

定理4设A,B为集合,则下列关系式成立:

上式称摩根律

3.集合的减运算

定义3 由属于集合A但不属于集合B的那些元素组成的集合称为A减B的差。记作A-B。


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减运算有如下性质:

4.集合的对称差

定义4设A,B为两个集合,A和B的对称差记作,

其元素或属于A,或属于B,但不能既属于A

又属于B。即

对称差的关系见书中图16.2所示。


16

对称差有如下性质:

16.3 包含排斥原理

当有限集A,B不相交时,显然有

当A,B相交时,根据文氏图有

此结论称包含排斥原理。

定理6 设 为有限集合,则


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例对100个大学生进行调查的结果是:34人爱好音

乐,24人爱好美术,48人爱好舞蹈;13人既爱好音

乐又爱好舞蹈,14人既爱好音乐又爱好美术,15人

既爱好美术又爱好舞蹈;有25人这三种爱好都没有,

问这三种爱好都有的大学生人数是多少?

解设A是爱好音乐的大学生集合,B是爱好美术的

大学生集合,C是爱好舞蹈的大学生的集合,则


16

因为

所以

16.4 笛卡尔积与关系

定义5由两客体 和b,按一定顺序组成一个二元

组,称此二元组为有序对或序偶。记作( ,b)

其中 为序偶的第一元素,b为序偶为第二元素。

序偶元素顺序一经确定就不能变更。


16

定义6设A,B为集合,用A中元素为第一元素,B

中元素为第二元素构成序偶,所有这样的序偶组

成的集合,称 的笛卡尔乘积。记作

例如,

定义7设A,B为集合,R是笛卡尔积 的子

集,则R为A到B的一个二元关系。当A=B时,称

R为A上的二元关系。

例如, ,如果

, 那么R就是一个A到B


16

的二元关系, 即称 与 有关系R,记作

; 则称 没有关系R, 记作

例如 ,

那么R是A上的一个二元关系。

定义8设R为二元关系,由 的所有x组成集

合domR,称为R的前域; 由 的所有y组成集

合ranR,称为R的值域;R的前域和值域一起称作R

的域,记作FLDR即 。


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例 如, 在 上关系R

定义为: 则

若 称为空关系;若 称为R全

关系,当A=B时,全关系

; A上恒等关系

。例如 则

例 ,下面各式定义的R为A上关系,

分别列出下列R的元素。


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1)

2)

3)

4)

1)

2)

3)

4) ,其中

(R的元素请读者自己写出)


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16.5 关系的表达式与基本类型

设集合 到 上

的二元关系为R。在平面上作出m个点,分别记作,

然后画出n个点分别记作

如果 ,则可自点 到 点 作一有向弧,

其箭头指向 ,如果 ,则不连接,这样联

结起来的图,称为R的关系图。 例如,

则关系图如书中图16.3所示。


16

除用关系图描述关系外,还有经常用的一种

方法-----布尔矩阵,即设

R为X到Y的一个二元关系,则

对于R有一个关系矩阵其中

上例可表示为


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定义9设R为集合X上的二元关系,则

1)如果 对任意,必有xRx则称关系R在X上

是自反的。

2)如果 对任意,必有xRx则称关系R在X上

是反自反的。

3)如果 对任意,若xRy,必有yRx,则称

关系R在X上是对称的。

4)如果 对任意,若xRy且yRx,必有x=y,

则称R是反对称的。此定义也可叙述为:若xRy,

且 必有yRx。


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5)如果对任意 ,xRy且yRz必有xRz,

则称关系R在X上是传递的。

关系类型可以从关系矩阵的关系图上予以验证:

1)若关系R是自反的,当且仅当在关系矩阵中,对角线

上所有元素都为1,在关系图中,每个点都有自回路。

2)若关系R是对称的,当且仅当在关系矩阵中是对称的

且在关系图上,任两点间若有定向弧线,必是成对出现。

3)若关系R是反自反的,当且仅当关系矩阵对角线的元

素皆为零,关系图上每个点都没有自回路。

4)若关系R是反对称的,当且仅当关系矩阵以主对角线

为对称的元素不能同时为1,在关系图上两点间的定向

弧线不可能成对出现。


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16.6 等价关系与划分

定义10 R是A上的二元关系,如果R是自反的,称

的,可传递的,则称R为A上的等价关系。

例 设集合 ,如果A中的元素 ,b被4

除后余数相同(即模4同余关系)则认为 ,b是相

关的。并用关系矩阵描述该等价关系。

解设A上的模4同余关系为R,由于相同数被4除后

余数相等所以R是自反的。R是对称的是显然的。

对于 可表示为 -b=4k(k是整数),所以

当 和 时,即


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那么

可是 ,R满足传递性,综上R是等价关系。

将集合A中元素写成 ,关系矩阵为


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定义11 R是A上的等价关系, 由A中所有与

相关的元素组成的集合称为 关于R的等类价,

记作 。

例如, R是A上的模3同余关系。

显然R是A上的等价关系,A中各元素关于R的等价

类分别是

可以看到相同元素其等价类是相同的,不同等价类

仅有3个, 即 、 、 。


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定义12 R是A上的等价关系,以R的不交的等价类

为元素的集合,称为A在R下的商集。记作

上例的商集

定义13设A是集合 是A的子集,

如果 且

由以

作为元素构成的集合

称为A的一个划分,每一个子集 称为块。


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例如, 而

则 都是A的划分,在 中集合

都是块。容易看到,如果R是A上的等价关系

则商集 就是A上的一个划分,等价类就是块。

定理7 集合A的一个划分能确定一个A上的等价关

系;反之,确定了A上的一个等价关系也确定A上

的一个划分。


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16.7 相容关系与覆盖

定义13 R是A上二元关系,如果R是自反的,对称

的,则称R是A上的相容关系。

,求R。

解 设


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定义15设R是A上的相容关系,B是A的子集,而且

在B中任意两个元素都是相关的,则称B为由相容

关系R产生的相容类。

假如,设 R是A上的二

元关系,其定义为: 且 和b至少有一个

数相同,则 。显然R是相容关系。A的

子集: 等都

是相容类。

下面讨论相容和覆盖之间的关系。


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定义16 设A是集合, 是它的非空子集,

令 如果

则S为A的覆盖。

例如

S是A的覆盖。

定义17 如 是集合A的覆盖,且对

于S中任意元素 ,不存在S中其他元素 使得

是 的子集,则称S为A的完全覆盖。

例如


16

其中 是A的覆盖又是完全覆盖,而 是A的覆

盖但不是完全覆盖,因为 是 的子集。

16.8 序关系

定义18 R是A上的二元关系,如果R是自反的,反

对称的,可传递的则称R为A上的偏序关系,简称

偏序,记作“ ” 。

任何集合A上的恒等关系,集合的幂集P(A)

上的包含关系,实数集上的小于等于关系,正整数

集上的整除关系都是偏序关系。


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例如 集合 ,R是A上大于等于关系,则

定义19 R是A上偏序关系,若 且A

中没有其它元素C满足 , 则称元素

b盖住元素 。

定义20设 是偏序集,B是A的子集,如果

B中任意两个元素都是有关系的,则称子集B为链。

定义21在偏序集 中,如果A是链,则称

是全序集,二元关系 称全序关系。

例如 在正整数数集合 上的小于等于关系就是

全序关系。


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定义22是偏序集, 是A中的一个元素,

如果A中没有其他元素x,使得 ,则 称为

A中的极大元。同理,b是A中的一个元素,如果A

中没有其他元素x,使得 则称b为A中的极小

元。例如 , 是A上整除关系,

那么元素2和3是A中极小元;元素6和8是A中极大元。

定义23 是偏序集,如果A中存在着元素 ,

使得A中任意元素x都有 则称 是A中的最

大元。同理,如果A中存在着元素b,使得A中任

意元素x都有 则称b是A中最小元。


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例如, 是A上的整除关系,则元素

1是A的最小元,元素12是A的最大元。

定义24 是偏序集, 和b是A中的两个元素,

如果A中存在元素c,使得 且 则称c为

和b的上界。同理,如果A中存在元素d使得

且 则称d为 和b的下界。

例如, , 是A上的整除关系,

对元素2和3,元素6和12都是上界,元素1是下界;

对于元素3和6,元素6和12是上界,元素1和3是下

界;对于元素6和8元素1和2是下界,但没有上界。


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定义25 是偏序集, 和b是A上两个元素,c

是他们的上界,且对 和b的其它上界x,都有

则称c为 和b最小上界。同理,d是 和b的

下界,且对于 和b的其它下界x都有 ,则

称d为 和b的最大下界。

例如, , 是整除关系,对元素2和

3,其最小上界为b,最大下界是1;对元素4和8,

其最小上界是8,最大下界是4;对于元素6和8,其

最大下界是2,但没有最小上界。


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16.9 关系运算与闭包

定义26 R是A到B的二元关系,若将R中每一个有序

对内的元素顺序互换,所得到的集合称为R的逆关

系,记作 ,即 。

由逆关系定义还可得下列定理:

定理8 设 都是从A到B的二元关系,则

下列各式成立:

1)

2)

3)


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4) ,这里

5)

6)

7)若 ,则

定义27 R是A到B的二元关系,S是B到C的二元关系;

R和S的复合记作 ,它是一个A到C的二元关系

当 且 时,

定理9 R是A到B的二元关系,S是B到C的二元关系,

复合关系RoS是A到C的二元关系,它们的关系矩阵

分别为 则


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定义28 R是A上二元关系,R的自反(或对称,或

传递)闭包 也是A上的二元关系,且满足,

1) 是自反的(或对称的或传递的)。

2) 。

3)对任何自反的(或对称的,或传递的)二元关

系 ,如果 则必有 。

R的自反闭包,对称闭包,传递闭包分别用

r(R),S(R),t(R)表示。


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下面介绍一种求传递闭包的有效算法。

第一步置新矩阵

第二步置j=1

第三步对所有的i如果,

则对K=1,2,……,n置

第四步j=j+1

第五步如果 则转到第三步,否则停止。


16 10

16.10 函数的概念

定义29 A和B是集合,f是A到B的二元关系,如果f满

足:对于A中的每一个元素 存在着B中的一个

元素且仅一个元素b使,则 称f为A到B的

函数。常把 记作 ,称 为

自变元或原象,b为对应 的函数值或映象。集

合A称函数f的定义域,由所有映象组成的集合称函

数f的值域。


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理解函数时要注意以下两点:

1)函数定义域是集合A,而不是A的某一个真子

集。

2)对于 ,在B中只有一个元素b与之相关,

不能即有 ,又有 即只能

多对一,而不能一对多。

例 集合 f是A到B的二元关系,

f的关系图见书中图16.13所示,试指出哪个二元关

系可构成函数。


16

图(a)不能构成函数,因为A中元素 即 有

还有 , 有两个映象,所以

不能构成函数。

图(b)能构成函数。

图(c)不能构成函数,因为元素c在集合B中无映

象。

定义30 设集合A和B,把所有从A到B的函数构成的

集合记作 ,即 。


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例 设从A到B可定义多少种

不同函数?

解 从A到B的函数可构成8个,即


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定义31设A,B是集合,f是A到B的函数,则

1)对于A中任两元素 当 时,都有

,则称f为单射函数。

2)如果函数的值域恰好是B则称f为满射函数。

3)如果f既是单射函数,又是满射函数,则称f是双

射函数。

例 设 函数 都是A到

B的映射,且

问: 是满射?单射?双射函数?


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解 不是满射,也不是单射

是满射,又是单射,所以 是双射。

16.11 复合函数和逆函数

定义32 设f是A到B的函数,g是B到C的函数,f和g

合成后的函数称为复合函数。记作gof。它是A到C

的函数。当 且

时,则 ,即为 。

定理10 设A,B,C是集合,f是A到B的函数,g是B

到C的函数:

1)如果f和g都是单射函数,则gof也是单射函数。


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2)如果f和g都是满射函数,则gof也是满射函数。

3)如果f和g都是双射函数,则gof也是双射函数。

定义33设f是A到B的双射函数,其逆关系称

为f的逆函数。记作 。

例如 f是A到B的双射函数,

且 即

其逆函数 即

只有双射函数有逆函数,单射和满射函数没有

逆函数。


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最后一个部分介绍著名的“鸽洞原理”

某人修了n个鸽洞,养了多于n只的鸽子这样必

然有一个鸽洞住2只或2只以上的鸽子。用数学语言

来描述即:A,B是有限集合,于是A到B的函数,

如果 则在A中至少有m+1个元素,

其函数值相等。

例 任意n+1个正整数,其中必有两个数之差被n整除。

解 由于任意正整数被n除后,其余数只能是0,1,2,…,

n-1共n种,所以在n+1个正整数中,必有两个数被n除后

余数相同,那么这两个数之差必能被n整除。


16

小 结

本章论述了集合,关系和函数,学习本章要

能熟练集合的运算,特别是对称差,要能掌握有

关幂集的求法。会运用鸽洞原理处理一些实际问

题。

对于关系要会用图和矩阵方式表示,给定A

上关系R,能判别R的性质,会求等价类和与R相

对应的划分,要会确立偏序集的特殊点,会画出

哈斯图,会判定函数是单射,满射,还是双射,

熟练掌握求复合函数和逆函数。


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