Kvantum informatika
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 34

Kvantum informatika PowerPoint PPT Presentation


  • 58 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Kvantum informatika. Kvantum és klasszikus fizika. Klasszikus fizika: A világnak leegyszerűsített ugyanakkor elképesztően pontos leírása.

Download Presentation

Kvantum informatika

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Kvantum informatika

Kvantum informatika


Kvantum s klasszikus fizika

Kvantum és klasszikus fizika

  • Klasszikus fizika:

    • A világnak leegyszerűsített ugyanakkor elképesztően pontos leírása.

    • Pontszerű test leírása: r(x,y,z) + v(vx,vy,vz)r = r(x0,y,0,z0) és v = v(vx0,vy,0vz0) r(x1,y1,z1) és v(vx1,vy,1vz1), szigorúan kauzális

  • Kvantum fizika:

    • Pontszerű részecske a térben kiterjedten mozog, amit a ψ(r,t) hullámfüggvénnyel írunk le. Benne van minden az r-ről, P-ről és még sok mindenről.

    • Időbeli változását a Schrödinger-egyenlet adja meg:H ψ = E ψ, ahol:


Hilbert t r

Hilbert – tér:

  • f,g: CC, ekkor, a két függvény skalárszorzata:

  • Ez a hullámfüggvénnyel jellemezhető kvantumállapotok Hilbert-tere

  • Geometriai fogalmakkal lehet leírni olyan elemek halmazát, amelyek között definiálható az összeadás és a skalárszorzat.

  • Összeadás: Szuperpozíció

  • Skalárszorzat: Kvadratikus Born-szabály biztosítja: P = |ψ(r,t)|2d3r megtalálási valószínűség

  • L2-beli függvények alkotják


Kvantum informatika

  • 1.: Hullámfüggvény Hilbert-térbeli reprezentációja: |ψ(t)>=Σn cn(t)|n>, ahol:|n> (n=1,2,…) jele egy un(r) hullám-függvényekből álló ortonormált bázisnak: <m|n>=δmn

  • |ψ(t)>=Σn |n><n| ψ(t)>, Σn |n><n|= 1

  • 2.: X hely- , P impulzus operátor:<x|X|x’> = xδ(x-x’), <x|P|x’ > = -iħδ(x-x’)

  • 3.: Schrödinger-egyenlet:


M r s unit r oper tor

Mérés, Unitér operátor

  • Bázisváltás: Áttérünk |m>  |α>| ψ >= Σ mcm|m> = Σ αdα| α >  dα= ΣU α m cm

  • U:=< α|m> transzformációs mátrix

  • Fizikai mennyiségnek megfelelő operátorok mátrixának transzformáltja:< α|A|β>=(UAU-1)αβ

  • U unitér mátrix: U+U=1, ui.: (U-1)αβ = (U αβ)*A bázisváltás nem változtatja meg a kvantumállapot normálását.


Izol lt rendszer

Izolált rendszer

  • Egy elszigetelt kvantumrendszer transzformálása: |ψ(t)>=U(t) | ψ(0)>, aholEz mindig unitáris, de nincs valóban elszigetelt rendszer (Esetleg az egész Univerzum?)

  • Hogyan írható fel egy valós rendszer Schrödinger egyenlete?

  • Rendszer: Q, Környezete: T

  • Felírjuk Q változásának Schrödinger – egyenletét. Ez nem unitáris (mivel a projekció nem unitáris)


Informatika s kvantummechanika

Informatika és Kvantummechanika

  • 1. Tekinthetünk a Természetre úgy, mint egy információs processzorra?

  • 2. Tudja-e egy számítógép szimulálni az egész Természetet?

  • A válasz az elsőre igen:|ψ(t)> ↔ Absztrakt egység, mely pontosan tartalmaz mindent Q-ról.Ugyanakkor nem csak |ψ(t)> egy teljes leírása Q-nak.


Church turing t zis

Church - Turing tézis

  • Minden formalizálható probléma, ami megoldható algoritmussal, az megoldható Turing-géppel vagy lambda-kalkulussal is.

  • Church Turing princímium (1985): Minden valóságos és véges fizikai rendszer tetszőleges közelítéssel szimulálható egy univerzális számítógépen véges erőforrással.  Ez nem utal Turing gépre


Kvantum sz m t g p

Kvantum számítógép

  • Klasszikus Bitek  kvantum állapotok alakulása

  • Lehetséges Univerzális Turing gép

  • Klasszikus számítógép nem tudja szimulálni a Természet bizonyos viselkedéseit.

  • Lehetőség van új fajta számoló eljárást kifejleszteni, ami különbözik klasszikus számítógép tudománytól.


Epr paradoxon

EPR Paradoxon


Epr paradoxon le r sa

EPR Paradoxon leírása

  • Az EPR-paradoxon Bohm által adott (EPRB-paradoxonnak is nevezett) megfogalmazásában egy forrás két elektront bocsát ki, amelyek együttes spinje nulla, és mindkettő a pozitív és a negatív spin kvantum szuperpozíciójában van, (azaz a két részecske összefonódott állapotban van). A részecskék eléggé eltávolodnak egymástól ahhoz, hogy fénysebességnél lassabb kölcsönhatás ne jöhessen közöttük számításba. Ha ezek után a két részecske spinjét megmérjük a (tetszőlegesen választott) z tengely mentén, azt kapjuk, hogy ellentétes spinűek. Ha az x tengely mentén mérjük meg, ugyanezt kapjuk. A másodjára mért részecskénél tehát a mérés eredménye determinisztikus (az első részécskénél mért érték ellentéte).

  • A Heisenberg-féle határozatlansági reláció szerint egy részecske spinje két, egymásra merőleges irányban egyszerre nem mérhető meg. Így, ha megmérjük az első részecskén a z, majd a másodikon az x tengely menti spint, a második részecske x irányú spinje nem lehet ellentéte az első részecske mérések előtti spinjének, mert akkor az első részecske mindkét iránybeli spinjét ismernénk. Így tehát az első részecske z irányú mérésének valahogy „el kell rontania” a második részecske x irányú spinjét, éppúgy, ahogy a saját x irányú spinjét elrontja. A két részecske azonban – ha a lokalitást elfogadjuk – túl messze van ahhoz, hogy bármiféle kölcsönhatás felléphessen közöttük.


Epr paradoxon1

EPR Paradoxon

  • Előzmények: - Honnan tudják a detektorok, hogy az egyik megszólalt?

    • Kétfoton állapot nem két foton állapot

    • Einstein – féle nonszeparabilitás

  • 1935: Ha szétrepülő 2 részecskék 2 független rendszert alkotnak, akkor a kvantummechanika nem teljes, ui. ellentmondásra jutunk.

  • 1965: Egy szinglett állapotú részecskepárt kell szétrepíteni, akkor a spinvetületét megmérve (Stern-Gerlach k.) tökéletes antikorrelációt kapunk.


Epr k vetelm nyek

„EPR követelmények”

  • Tökéletes antikorreláció

  • Lokalitás: A 2. rendszer állapotát nem befolyásolhatja, hogy mit mérünk az elsőn.

  • Valóság: 2. spinvetület értékét az első mérés után a rendszer megzavarása nélkül biztosan tudjuk, ezért „egy eleme a fizikai valóságnak”, ami kvantummechanikában nincs benne.

  • Teljesség

  • Ma: A kvantummechanika teljes, de csak a kétrészecske – állapotok a valóságosak, amelyek egy részecske spin vetületét megmérve meghatározhatók, a második mérés ezt csak ellenőrizheti.  Ez nem lokális kapcsolat

  • Jeladásra nem használható.


Bell 1964

Bell, 1964

  • Véletlen = Rejtett paraméterek, hiányos a leírás

  • Lokális rejtett paraméter idézi elő az (anti)korrelációt

  • Bell kérdése: Le lehet-e írni a tökéletes antikorrelációt egy lokális közös okkal, vagy egy véletlen paraméterrel, amelyek egyes értékeihez (↑,↓) , másokhoz (↓ ,↑) tartozik?

  • Ha a két spin vetülete nem párhuzamos a Stern-Gerlach analizátorral mérjük Válasz: NEM.


A k s rlet

A Kísérlet

  • Két SG irány egységvektora:a = (sinθ1cosφ1, sinθ1sinφ1, cosθ2)b = (sinθ2cosφ2, sinθ2sinφ2, cosθ2)

  • Mindkettőhöz tartozzon egy detektorpár Egyikhez +1 a másikhoz -1 tartozik, ħ/2 egységekben mérve

  • Amikor a forrás kibocsájt egy részecske párt, akkor az szinglett állapotban van:

  • A két oldalon egy-egy detektor megszólal, a két oldali eredményeket összeszorozva +1 vagy -1-et kapunk

  • Átlagoljuk a méréseket: Eψ(a,b)= -ab


Kvantum informatika

  • Cél az volt, hogy találjon olyan kísérletsorozatot, amelyben a kvantummechaniai eredményt nem lehet reprodukálni lokális rejtett paraméteres modellel.

  • CHSH: Koincidenciák: ++, +- …. 

  • 1. analizátor iránya: a vagy a’2. analizátor iránya b vagy b’ :|E(a,b) – E(a,b’) + E(a’,b) + E(a’,b’)| ≤ 2

  • Könnyű olyan a,b,a’,b’ vessző irányokat találni, melyek sértik az egyenlőtlenséget. Ezekbe az irányokba állítva az analizátorokat, a kísérletek a CHSH (Bell) egyenlőtlenséget megsértő eredményt adnakCáfolat a lokális rejtett paraméterek feltevésének


Aliz s bob

Aliz és Bob

  • Aliz és Bob mérik a spin komponenseket különböző tengelyeken: x’,z’, amelyek az x-z síkon vannak. Mindkét mérés eredménye + vagy -.

  • Mindkét válasz valószínűsége egyforma:sin2((φA- φB)/2), ahol φA, φB tengelyek x’ z illetve z’ z tengelyek között.

  • Eredmények: φA= φB Ellentétes, 0φA= φB + 180  Egyenlő ,1φA- φB = 120  3/4


Kvantum inform ci k

Kvantum Információk


Qbitek

Qbitek

  • Kvantumbit: bit = 0 vagy 1, addig a qbit két állapot szuperpozíciójában is képes lenni.

  • n db qbit a Hilbert térben 2n dimenziós teret alkot, ami 2n kölcsönösen ortogonális kvantumállapot.

  • Például: 3 regiszteres qbit:|ψ>=a|000>+b|001>+c|010>+d|011>+e|100>+f|101>+g|110>+h|111>, ahol a,..h єC

  • Egy kvantum regiszter leírásához exponenciálisan növekvő számú komplex szám szükséges (a fenti 3-qubites regiszter leírásához 23 = 8 komplex szám szükséges). A valamely kvantumállapot becslésére szükséges klasszikus bitek száma a qubitek számával exponenciálisan nő (n  2n). Egy 300 qubites kvantum regiszterhez 1090 nagyságrendű klasszikus regiszter szükséges, ami több, mint ahány atom van a megfigyelhető világegyetemben


Qbitek hordoz i

Qbitek hordozói

  • Mezoszkópikus kvantumrendszerek, makro- és mikro rendszerek között

  • Repülő qbit: A foton, többféle módon kódolható bele egy qbitnyi koherens információ. Lineáris polarizációCirkuláris polarizációIdőben szétválasztott imp. Pár

  • Foton hullámcsomagok lelassítása gondot okoz

  • Fotonokkal gyorsan lehet számolni, de át kell írni tömeges adathordozókról qbitre

    • Szilárdtest rendszer; Kvantum - pötty

    • Keresztezett lézersugarak

    • Chipek, stb.


Kvantum kapuk 1

Kvantum kapuk 1.

  • Qbitek egyszerű unitáris operátorai.

  • Például: |0>  |0> és |1> exp(iωt)|1>, akkor t idő elteltével a műveletet elvégezzük a qbiten, azaz:

  • P = |0><0|+exp(iθ)|1>


Kvantum kapuk 2

Kvantum kapuk 2.

  • I ≡ |0><0| + |1><1| Identitás

  • X ≡ |0><1| + |1><0| Nem

  • Z ≡ P(π)

  • Y ≡ XZ

  • H ≡ (1/√2)[(|0>+|1>)<0| + (|0> - |1>)<1|]

  • Az unitáris operátorok két qbiten végeznek műveletet, de:|0><0| X I + |1><1| X U, ahol I: szinglett - qbit identitás operátor U: szinglett –qbit

  • Irányított-NEM (Controlled-NOT):|00>  |00> ; |01>  |01>|10>  |11> ; |11>  |10>aa, ba X b X: XOR

  • ÉS (AND): 3 qbit „Irányított-Irányított-NEM” kapu:aa, bb, 0ab


Kl noz s

Klónozás?

  • Az eredeti és a klón közös Hilbert-térben rávetítene egy olyan altérre, ahol a klón és az eredeti megegyezik, azaz projektor, ami nem lehet unitér transzformáció.

  • Ugyanakkor dekoherencia bevezetésével a projektorok is megvalósíthatók.

  • DE: Ha egy kvantumállapotra elkészítjük ezt a projektort, az már egy másik állapotra nem működik.


Nincs kl noz s

Nincs klónozás

  • Egy kvantum állapot nem klónozható / másolható

  • Készítsünk|α> -ról másolatot:U: unitér operátor  U(|α>|0>)=|α>|α> U nem függ α-tól, így U(|β>|0>)= |β>|β>Összefonódott állapotuk |γ>=(|α>+ |β>)/√2, ekkor: U(| γ >|0>)= (|α>|α>+ |β>|β>)/√2≠|γ>|γ>  Hiba történt a másoláskor

  • Kontraszt a klasszikus másolással

  • C-NOT vagy XOR |0>-t vagy |1>-et „másolhat”, de már gond lehet a |+>=(|0>+|1>) √2 és a |->=(|0>-|1>)/ √2 állapotoknál is.


K vetkezm ny

Következmény

  • Nincs klónozás és az EPR paradoxonnal azt mutatja, hogy kvantum mechanika konzisztens.

  • Ha van klónozás EPR korrelációval lehet a fénysebességnél gyorsabban üzenni.


S r k dol s 1

Sűrű kódolás 1.

  • Qbitek alkalmasak információ tárolásra és küldésre.

  • Például: Klasszikus 00101 stringAliz: |00101>Bob: Tudja tömöríteni az információt mindegyese qbit mérésével a {|0>,|1>} alapján.

  • Aliz és Bob: |00> + |11> állapotban vannak

  • Soha nem beszéltek még

  • Aliz küld 2 klasszikus bitet, Bob 1 qbitet (Bennet és Weisner, 1992)

  • Bell bázis: Kölcsönösen ortogonális állapotok:

    |00>+|11>, |00>-|11>,|01>+|10>,|01>-|10>


S r k dol s 2

Sűrű kódolás 2

  • Aliz legenerálja valamelyik Bell bázis állapotot a qbit-jén az {I,X,Y,Z} operátorokkal. 4 lehetősége van, hogy a választása 2 klasszikus bitet reprezentáljon.

  • Elküldi Bobnak, akinek vissza kell fejteni, melyik bázis állapotban van a qbit. XOR kapu: |00> ±|11>-től |01> ±|10>-ig

  • Megtalálja a jelet egy szuperponált állapotban, H operátorral megméri a maradékokat.

  • Nehezen megvalósítható

  • Nem praktikus a klasszikus kommunikációban


Kvantum teleport ci 1

Kvantum Teleportáció 1.

  • Egy rendszer tetszőleges kvantum állapotát átmásolni lehet egy másik rendszerre úgy, hogy az eredeti megváltozik megvalósítható.

  • Alapművelet

  • Másolás: Foton Atomos hordozók vagy vissza megfelel egy kvantumszámítógép memória műveleteire: írás-olvasás

  • Egy összefonódott részecskepárt pl. polarizált szinglett fotonpárt használ átvitelre

  • A fotonpárt szétküldjük az információt leadó ill. felvevő rendszer felé. Ezután:


Kvantum informatika

  • Határozzuk meg kvantumméréssel a teleportálandó állapotú rendszerek és a pár hozzá küldött tagjának közös kvantum állapotát

  • Klasszikus információs csatornán továbbítás

  • A megkapott eredmény és fotonpár vevőoldali tagja együttesen meghatározza, hogy milyen unitér tr. viszi át a vevő rendszert az eredetivel azonos, teleportált állapotba.

  • Prototípus: LOCC

  • Nem anyagot, hanem kvantum állapotot teleportálunk


  • Kvantum teleport ci 2

    Kvantum teleportáció 2.

    • Aliz szeretne Bobbal kommunikálni egy szinglettqbit állapotban |φ>. Ha Aliz ismeri – mondjuk |φ>=0 – akkor tud üzenetet küldeni.Ha nem ismeri nem tud küldeni, és bizonyossággal nem is ismerheti meg  Vagy egy fizikai qbitet küld (elektron, atom) vagy állapotot változtat.

    • Aliz és Bob pozíciója:|00>+|11>

    • Aliz üzenni szeretne Bobnak az ismeretlen |φ> állapotba.

    • Felírhatjuk, hogy |φ> = a|0> + b|1>, ahol a,b ismeretlen együttható

    • 3 qbit inicializált állapota:a|000>+b|100>+a|011>+b|111>

    • Aliz kiszámolja a Bell bázist az első 2 qbiten

    • Aliz alkalamzza XOR és a H kapukat, mielőtt megmérné a qbitjét, majd az állapot bekerül a 4 különböző lehetséges állapot egyikébe (összeomlik) és 2 bitet küld el.


    Kvantum informatika

    • Bob: {I,X,Y,Z} operátorokat alkalmazza az ő qbitjére a|0> + b|1> = |φ>

    • Megkapta azt az üzenetet, amit Aliz akart

    • Amint megérkezik az üzenet Bobnak Aliznál eltünik  Ez nem klónozás.


    Kvantum titkos r s

    Kvantum titkosírás

    • Charles Bennett és GillesBrassand 1984 BB’84

    • Polarizált fotonok sorozatában kódolva, kétféle polarizációs rendszer véletlen váltogatásával kell elküldeni, pl.: 0 = ↕ vagy↗ 1 = ↔ vagy ↖

    • Példa: 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 …Alíz: ↕ ↗ ↖ ↗ ↔ ↗ ↔ ↖ ↕ …

    • Bob: Nem tudja, hogy a 2 közül melyik kódolást használta Aliz. Utólag nyilvános telefonon megbeszélik, hogy polarizátor-analizátor beállításait és amelyik bitnél azonos volt a beállítások, azt elfogadják a kód részének.

    • Aliz és Bob feláldozzák a kód egy részét, hogy megállapítsák történt –e lehallgatás.

    • Megmondják egymásnak, hogy a küldött és fogadott bit értékét és ha a kettő különbözik, akkor zaj vagy lehallgatás történt. Ha a zaj szinthez képest túl sok az eltérés, akkor lehallgatás történt, és a kódot elvetik.


    Lehallgat s legegyszer bb m dja

    Lehallgatás legegyszerűbb módja

    • Éva feltartóztatja a qbiteket és megnézi őket, majd tovább küldi Bobnak

    • Átlagosan fele annyi idő alatt Éva kitalálja Aliz bázisát helyesen és nem zavarja biteket.

    • Habár kitalálja nem esik egybe Bobéval ui. Éva a bitek felét találta el. Aliz és Bob később megzavarják a másik felét.

    • Bob |+> Aliz |0>-t küld  Éva már csak n/4-t ismer

    • Aliz és Bob most már tudják érzékelni a lehallgatást.

    • Ha megegyezik minden bit, meggyőződhetnek arról, hogy nincs lehallgató, akkor annak a valószínűsége, hogy mégis jelen van:n = 1000 (3/4)n/2 ≈ 10-125

    • Sok rendszert dolgoztak már ki.:E91, EPR párok, stb.


    Adatt m r t s

    Adattömörítés

    • Mennyi információ nyerhető ki egy qbitből?:S(ρ) = -Trρ log ρ, ahol Tr.: nyom operátor (trace) , ρ: sűrűség operátor

    • Tfh.: X valószínűsége: p(X)Ha kvantum rendszer a |x> állapotban van, akkor: ρ = Σx p(x)|x><x|  S(ρ)

    • Kapcsolat: Ha n>>1, akkor bontsuk fel kisebb részekre és azokat küldjük el. Encode – Decode

    • q, n  átküldés  q’, n, ρ’ akkor sikeres, ha: ρ’ közel van ρ-hoz (q: kvantum rendszer állapota)

    • Hűség:

    • Ha ρ, ρ’ ua. az állapota |φ>< φ| és |φ’>< φ’|  f = |< φ| φ>|2


  • Login