Aula de apoio aos feras:
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Aula de apoio aos feras: Sistemas de Numeração. 2008.2. Roteiro. Visão geral de sistemas numéricos e aprender como transformar de decimal em binário, octal e hexadecimal, e vice-versa. Aprender as operações aritméticas básicas utilizando estes sistemas de numeração

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2008 2

Aula de apoio aos feras:

Sistemas de Numeração

2008.2


2008 2

Roteiro

  • Visão geral de sistemas numéricos e aprender como

  • transformar de decimal em binário, octal e hexadecimal,

  • e vice-versa.

  • Aprender as operações aritméticas básicas utilizando estes sistemas de numeração

  • Transmitir uma noção da importância dos sistemas de numeração binário e hexadecimal, principalmente, para a computação


2008 2

Sistemas Numéricos

  • Principais sistemas numéricos:

    • Decimal

      • 0, 1, ..., 9

    • Binário

      • 0, 1

    • Octal

      • 0, 1, ..., 7

    • Hexadecimal

      • 0, 1, ..., 9, A, B, C, D, E, F

      • É importante atentar que no sistema hexadecimal, as letras de A até F equivalem, em decimal, a 10, 11, 12, 13, 14 e 15, respectivamente


2008 2

Conversão Base X – Base 10

  • Processo: soma de multiplicações

  • numd = anxn + an-1xn-1 + ... + a0x0

  • Exemplos, converter para a base 10:

    • 10112

    • 4A3B16

    • 72718


2008 2

Conversão Base X – Base 10

  • numd = anxn + an-1xn-1 + ... + a0x0

  • Binário – Decimal: 10112

    • 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20

    • 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 1110

  • Octal– Decimal: 72718

    • 7 * 83 + 2 * 82 + 7 * 81 + 1 * 80

    • 7 * 512 + 2 * 64 + 7 * 8 + 1 * 1 = 376910

  • Hexadecimal – Decimal: 4A3B16

    • 4 * 163 + A * 162 + 3 * 161 + B * 160

    • 4 * 163 + 10 * 162 + 3 * 161 + 11 * 160

    • 4 * 4096 + 10 * 256 + 3 * 16 + 11 * 1 = 1900310


2008 2

Conversão Base X – Base 10

  • Exercícios, converter para a base 10:

    • 11002

    • 01112

    • ABCD16

    • A8B216


2008 2

Respostas

  • Respostas ao exercício anterior:

    • 11002 = 12 10

    • 01112 = 7 10

    • ABCD16 = 43981 10

    • A8B216 = 43186 10


2008 2

Conversão Base 10 – Base X

  • num1d x

  • r1 num2d x

  • r2 num3d

  • numn-1d x

  • rn-1 rn

  • numix = rnx...r2xr1x


2008 2

Conversão Base 10 – Base X

  • Exemplo, converter 5310 para binário:

  • 53 2

  • 1 26 2

  • 0 13 2

  • 1 6 2

  • 0 3 2

  • 1 1

  • 1101012

Momento de Parar: quando o quociente é menor do que o valor da base

Neste caso, o valor da base é “2”


2008 2

Conversão Base 10 – Base X

  • Exemplo, converter 101610 para hexadecimal:

  • 1016 16

  • 8 63 16

  • 15 3

  • 3F816

  • Exemplo, converter 5310 para hexadecimal:

  • 53 16

  • 5 3

  • 3516


2008 2

Conversão Base 10 – Base X

  • Exercícios, converter da base 10:

    • para binário, 25

    • para hexadecimal, 156

  • Respostas

    • 25 10 = 11001 2

    • 156 10 = 9C 16


Adi o e subtra o em bin rio

Adição e subtração em binário

  • As operações aritméticas com números binários são feitas de forma análoga aos decimais

  • Para a subtração, em especial, é necessário lembrar os “empréstimos” ensinados durante o primário

  • É importante ter em mente que:

    • 1 + 1 = 0 e “vai” 1

    • 1 + 0 = 0 + 1 = 1

    • 0 + 0 = 0

    • 1 + 1 + 1 = 1 e “vai” 1


Exemplos

Exemplos

Ex1: 1 1 1 - vai 1

1 0 1 1 – 1a. parcela

+ 1 1 1 1 - 2a. parcela

1 1 0 1 0 – resultado

0 1

Ex2: 1 0 10 1

- 0 1 1 0

0 0 1 1


Complemento a 2

Complemento a 2

  • Por questões de convenção e eficiência, utiliza-se a notação de complemento a 2 para se trabalhar com números binários no computador

  • Utilizando esta notação, a subtração é uma soma. Por exemplo: 7 – 5 seria 7 + (-5)

  • Embora seja uma alteração sutil, faz uma enorme diferença para o computador

  • Números que tenham o bit mais à esquerda 1 são negativos. Os que tiverem 0 neste bit, serão positivos

  • Para trabalhar com complemento a 2, é necessário saber a quantidade de bits que os números devem ter. Isto varia de acordo com o processador. Caso o resultado exceda esta quantidade de bits, o bit mais à esquerda é desprezado

  • Deve-se proceder da seguinte maneira:

    • Os números negativos devem ter seus bits invertidos

    • Soma-se 1 ao valor obtido


Exemplo

Exemplo

  • Faça 10 – 5 utilizando complemento a 2. Suponha que seu processador trabalhe com números de 5 bits

  • Na verdade, deve-se fazer 10 + (-5)

  • 10, em binário é: 01010

  • 5 em binário é: 00101

  • Aplicando o complemento a 2, obteremos -5:

    • 00101. Invertendo seus bits, temos: 11010

    • Fazendo 11010 + 1, temos 11011

  • Agora, basta somar: 01010 + 11011. Assim, obtemos 100101. Como o processador é de 5 bits, o bit mais à esquerda a mais será desprezado. Assim, o número que obtive como resultado foi 00101. De fato, o resultado é 5.


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Representação no computador

  • O computador trabalha com grupos de bits (palavra). Em geral, essas palavras são de 16 ou 32bits, mas hoje existem computadores manipulando 64bits.

  • Em geral, ele usa uma palavra para representar os números inteiros (INT, LONG, SHORT...) e um bit é utilizado para indicar o sinal do número (0 positivo e 1 negativo).


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Números especiais

  • No standard IEEE, além dos números finitos, são definidos números específicos:

    • -¥ e ¥, para os infinitos.

    • NaN (not-a-number), para representar resultados de operações como 0/0, ¥ - ¥, 0x¥,

    • -0, definido com o inverso de -¥.


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Erros de aproximação

  • O computador representa os números de uma forma finita e aproximativa:

    • Precisa de forma de gerenciar o infinitamente pequeno e o infinitamente grande,

    • Precisa de minimizar e medir os erros de aproximação.


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Overflow e underflow

  • Os números manipulados

    • grande demais para ser representados provocam um overflow.

    • pequeno demais para ser representados provocam um underflow.

  • Os sistemas têm feedback diferentes em caso de over ou underflow. Certos param a execução, certos dão uma mensagem e outros representam o número de uma forma especifica.


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Conclusão

  • A representação dos números depende do suporte material para representar e calcular (binário com o computador).

  • O mesmo número pode ter uma representação finita ou infinita dependendo da base:

em base 10 ou base 12,

em base 10 ou base 2

O computador usa representação finita, ele não pode representar de

forma exata os números reais.


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Obrigado!!!

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