二、作业题选讲

1. 二、作业题选讲 设方阵A满足A2+A-4E = O,其中E为单位矩阵，则 1. (2001年数一考研题) 分析 答：

2. （对 合并同类项） 2.设 A、B为n阶方阵，且 E+AB可逆，则 E+BA可逆，且 证 可逆， 且

3. 3. 设 A、B为n阶方阵，已知 ，A-E可逆且 即 则 A可逆. 又 证 所以 A可逆.

4. 4. 设 A为n阶方阵，且有自然数 m，使 则 A可逆。 证 故 A可逆.

5. 5. 设 AB=A+2B，求B. 解

6. 6.设 且 求 解

8. (2) 设 ，证明： (1)设 证明: 7.设 m次多项式 记 (与习题二24题类似) f (A) 称为方阵 A的 m次多项式. 证 (1)用数学归纳法. 假设等式对于k -1 成立，即 当 k = 1时，显然等式成立. 对于 k， 证毕

9. (2) 证毕

10. 由 ② ①若 从而 由 (1)假设 则有 于是 可知, 可知, 于是 则 可逆. (1)若 则 ; (2) . 8. 设n阶方阵 A的伴随矩阵为 证 此与假设矛盾, 故假设不成立. 即 (2) 综上,结论得证. 证毕

11. 9. 设矩阵A的伴随矩阵 分析 解 (习题二22 2000年数一考研题)

12. 10 . 解 则 由矩阵相等的定义得

13. 11. 解 方法一 矩阵乘法,可将矩阵B写成

14. 方法二

15. 则 即 12. 已知两个线性变换 求从变量 到变量 的线性变换。 解 将已知的两个线性变换用矩阵表示为

16. 但 一般 13. 设 求 解 即

17. 14. 设A、B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要 条件是AB=BA. 证 充分性： 必要性：

18. 15. 举反例说明下列命题是错误的 显然 但 （2）由 但 或 则 若 （3）取 （1）取 （1）若 则 （2）若 则 或 （3）若 且 则 解 得

19. 16.已知线性变换 求从变量 到变量 的线性变换。 解 即

20. 17. 解

21. 18. 利用逆矩阵解线性方程组： 将线性方程组用矩阵的形式表示为 解 其中 ∴A可逆

22. 19. 设 AB=A+2B，求B。 解 而

23. 20. 设 求 ∴ 解 ∴

24. 由于 可逆 ，可知 用 左乘此式两边得 可逆，且 21.设矩阵 可逆，证明其伴随阵 也可逆，且 证 因 另一方面，由伴随矩阵的性质，有 比较上面两个式子，即知结论成立。

25. 22.设n阶方阵 A的伴随矩阵为 证明: 则 则 可逆, 反证, 若 (1)若 则 ; (2) . 证 （1）若 ∴ 矛盾, （2） （i）若 ∴ 证毕 （ii）若

26. 左乘所给方程两边，得 23.设 ，求 解 =2AB-8E

27. 及 24.设 ,求 解