Matematica per l’economia
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 48

Matematica per l’economia e le scienze sociali PowerPoint PPT Presentation


  • 84 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Matematica per l’economia e le scienze sociali. Gian Italo Bischi Dipartimento di Economia, Società e Politica Università di Urbino “Carlo Bo” [email protected] www.econ.uniurb.it/bischi. Fano, 26 settembre 2011. Galileo, da “ Il Saggiatore”.

Download Presentation

Matematica per l’economia e le scienze sociali

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Matematica per l economia e le scienze sociali

Matematica per l’economia

e le scienze sociali

Gian Italo Bischi

Dipartimento di Economia, Società e Politica

Università di Urbino “Carlo Bo”

[email protected]

www.econ.uniurb.it/bischi

Fano, 26 settembre 2011


Matematica per l economia e le scienze sociali

Galileo, da “ Il Saggiatore”

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l’Universo), ma non si può intendere se prima non si impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto.

Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne manamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.

Galileo Galilei 1564-1642


Matematica per l economia e le scienze sociali

Matematica (pura) e Matematica Applicata

Modelli

gli oggetti astratti (platonici)

della matematica

gli oggetti del mondo reale

Applicazione dei teoremi, dimostrati per le entità matematiche,

agli oggetti reali

Applicazione dei fenomeni osservati nel mondo reale per ottenere

relazioni formali fra i corrispondenti “oggetti matematici”


Matematica per l economia e le scienze sociali

Problema del monopolista: Più produco e più guadagno?

q = quantità prodotta

p = prezzo unitario di vendita

c = costo unitario di produzione

Profitto = Ricavo – Costo = p q – c q = (p – c) q

Teorema.

Sep > callora il profitto cresce ogniqualvolta cresce la produzione

Ma ci sono sempre dei consumatori disposti a comprare ciò che si produce al prezzo imposto dal monopolista ?


Matematica per l economia e le scienze sociali

qdom

q saturazione

fine soldi

p

q (quantità venduta) e p (prezzo di vendita) non sono indipendenti

Il prezzo decresce al crescere della quantità

ovvero

la quantità acquistata è funzione decrescente del prezzo

Esempio: Funzione di domanda lineare

funzione inversa di domanda

p

A=pmax per merce rara

p→0 pur di vendere

Tutta la produzione

q

q = a – b p

p = a/b – (1/b) q = A – B q


Matematica per l economia e le scienze sociali

profitto del monopolista = p q – c q = (A – B q) q – cq

P = f (q) = – B q2 + (A – c) q

è una parabola!

Profitto

quantità prodotta


Matematica per l economia e le scienze sociali

Problema del duopolio

A. Cournot, Récherches sur les principes matématiques de la théorie de la richesse, 1838.

Due produttori, 1 e 2, vendono lo stesso prodotto

Il produttore 1 produce e immette nel mercato q1con costi c1q1

Il produttore 2 produce e immette nel mercato q2con costi c2q2

prezzo: p = A –B QTOT = A –B ( q1 + q2)

Profitto produttore 1: P1 = pq1 – c1q1 =[ A – B ( q1 + q2 )]q1 – c1q1

Profitto produttore 2: P2 = pq2 – c2q2= [ A – B ( q1 + q2 )]q2 – c2q2


Matematica per l economia e le scienze sociali

q2

Equilibrio:

q2 = r2(q1)

Equilibrio di Cournot-Nash

q1 = r1(q2)

q1

P1 = [ A – B ( q1 + q2)]q1–c1q1 = – Bq12 + (A – c1–Bq2 )q1

Max per

P2 = [ A – B ( q1 + q2)]q2 – c2q2 = – Bq22 + (A – c2 Bq1 )q2

Max per


Matematica per l economia e le scienze sociali

Duopolio di Cournot (trascuriamo i costi c1 = c2 = 0

Monopolio

produzione che massimizza il profitto

prezzo di monopolio

profitto di monopolio

libera concorrenza: equilibrio di Nash:

prezzo all’equilibrio di Nash

profitto individuale

Possibili accordi:

1) uno solo produce e poi si divide il profitto a metà ,

2) concordiamo di produrre ciascuno Qm/2 = A/4B, cioè meno del Nash


Matematica per l economia e le scienze sociali

Un precursore: A.A. Cournot (1838) a Parigi, “Récherches sur les principes matématiques de la théorie de la richesse”

La rivoluzione marginalista:

1871 - “The Theory of Political Economy” di

W.S. Jevons a Londra;

1871- “Grundsätze der Volkswirtschaftslehre”

(Principles of Economics)di C.Menger a Vienna;

1874 - “Eléments d’économie politique pure”

di L.Walras a Losanna.

Massimizzare una funzione di utilità (di soddisfazione, “felicità” ecc.)

Walras sostenne l’esistenza di una stretta analogia tra l’Economia le “scienze fisico-matematiche”. Il principio di minimizzazione permeava tutta la Fisica dell’epoca.

Leon Walras (1834-1910)


Matematica per l economia e le scienze sociali

Dalla corrisponenza fra Walras e Poncaré

“Ho pensato che all’inizio di ogni speculazione matematica ci sono delle ipotesi e che, perché questa speculazione sia fruttuosa, occorre, come del resto nelle applicazioni della Fisica, che ci si renda conto di queste ipotesi.

Per esempio, in Meccanica si trascura spesso l’attrito e si guarda ai corpi come infinitamente lisci. Lei guarda agli uomini come infinitamente egoisti ed infinitamente perspicaci. La prima ipotesi può essere accettata come prima approssimazione, ma la seconda necessiterebbe forse di qualche cautela.”

Jules Henri Poincaré (1854–1912)

In Economia, il principio che si assume come forza motrice che agisce sugli individui è

quello della massimizzazione dell’utilità attesa. Ma per calcolare l’utilità attesa, gli agenti economici hanno bisogno di qualche ipotesi sui possibili stati futuri dell’Economia. Il problema nasce proprio dall’ipotesi della perfetta razionalità.


Matematica per l economia e le scienze sociali

Vito Volterra (1860-1940)

Il matematico si trova in possesso di uno strumento

mirabile e prezioso, creato dagli sforzi accumulati

per lungo andare di secoli dagli ingegni più acuti

e dalle menti più sublimi che siano mai vissute.

Egli ha, per così dire, la chiave che può aprire il

varco a molti oscuri misteri dell’universo, ed un

mezzo per riassumere in pochi simboli una sintesi

che abbraccia e collega vasti e disparati risultati di

scienze diverse

[…]

Ma è intorno a quelle scienze nelle quali le matematiche solo da poco tempo hanno tentato d’introdursi, le scienze biologiche e sociali, che è più intensa la curiosità, giacché è forte il desiderio di assicurarsi se i metodi classici, i quali hanno dato così grandi risultati nelle scienze meccanico-fisiche, sono suscettibili di essere trasportati con pari successo nei nuovi ed inesplorati campi che si dischiudono loro dinanzi.

dal discorso inaugurale per l’anno accademico 1901-1902 dell’Università di Roma

Vito Volterra (1860-1940)


Matematica per l economia e le scienze sociali

Preda-predatore (Vito Volterra, 1926)

x2

r x1

 b x1x2

x1

 m x2

+ c x1x2

Densità prede x1

Densità predatori x2


Matematica per l economia e le scienze sociali

  • Studia matematica e si laurea in ingegneria a Torino.

  • Nel 1892 succede a Walras sulla cattedra di Losanna.

  • Vuole “disinquinare” le scienze sociali da politica e filosofia, prendendo come modello la Meccanica Razionale.

  • L’economia non abbia timore di diventare un sistema assiomatico-deduttivo, ipotizzando agenti e processi economici idealizzati, così come la fisica utilizza con grande profitto entità come i corpi rigidi, i fili inestensibili e privi di massa, i gas perfetti, le superfici prive di attrito…

Vilfredo Pareto (1848-1923)

  • Le polemiche.

  • E’ possibile trasformare in quantitativa una scienza umana, ovvero una disciplina i cui procedimenti e le cui conclusioni coinvolgono pesantemente pregiudizi storici, culturali e politici?

  • L’impiego della Matematica fornisce all’Economia una particolare autorevolezza, che rischia di trasformarsi in presunta oggettività e che comunque rende difficile l’individuazione dei suoi condizionamenti ideologici.


Matematica per l economia e le scienze sociali

The Theory of Value (1959)

Nella prefazione Debreu scrive:

“la teoria del valore è trattata qui secondo gli standard di rigore dell’attuale scuola formalista di Matematica

Lo standard di rigore logico della matematica in economia è ormai la regola, non più l’eccezione”.

Gerard Debreu (1921–2004)

Premio Nobel per l’economia nel 1983

Ma lo stesso Debreu scriveva anche:

“la seduzione della forma matematica può diventare quasi irresistibile. Nel perseguimento di tale forma, può darsi che il ricercatore sia tentato di dimenticare il contenuto economico e di evitare quei problemi economici che non siano direttamente assoggettabili a matematizzazione”


Matematica per l economia e le scienze sociali

Non basta semplicemente adattare i metodi e i ragionamenti della fisica alla modellizzazione dell’economia perché

“[…]l’economia è una scienza morale[…]essa ha a che vedere con motivazioni, aspettative, incertezze psicologiche.

Ècome se la caduta della mela al suolo dipendesse dalle aspirazioni della mela, se per lei sia conveniente o meno cadere a terra, se il suolo vuole che essa cada, e se vi sono stati errori di calcolo da parte della mela sulla sua reale distanza dal centro del pianeta”

John Maynard Keynes (1883–1946)

Aggiungiamo: come e quanto la mela si fa condizionare dal comportamento delle altre mele dello stesso albero o di alberi vicini, le aspettative che la mela ha sugli esiti della sua caduta e sulle cadute dalle altre mele, le informazioni che la mela ha sulle decisioni delle altre mele e sulle condizioni del suolo su cui andrà a cadere, ecc.


Matematica per l economia e le scienze sociali

Spesso il tempo in economia è discreto (discontinuo) perché scandito da decisioni che non possono essere continuamente rivedute

Event-driven time, Decision-driven time

.

.

.

Legge del moto xt+1 = T (xt)

x = (x1, x2 ,…,xn) M  R n, T: MM

t = 1, 2, 3, … i.e tN

Modello dinamico a tempo discreto:

x0 è dato, la legge del moto definisce induttivamente una unicatraiettoria: t (x0)= {xt M | T t (x0)}

Con modelli a t discreto è più facile avere oscillazioni, overshooting (over-reaction).

Caos anche in modelli semplici e a bassa dimensionalità


Matematica per l economia e le scienze sociali

Determinismo Laplaciano

Laplace (1776) da Théorie analytique des probabilitiés

«Lo stato attuale del sistema della natura consegue evidentemente da quello che era all’istante precedente e se noi immaginassimo un’intelligenza che a un istante dato comprendesse tutte le relazioni fra le entità di questo universo, essa potrebbe conoscere le rispettive posizioni, i moti e le disposizioni generali di tutte quelle entità in qualunque istante del futuro».

Leibniz:

"Vediamo allora che ogni cosa procede in modo matematico - cioè infallibilmente - nel mondo intero, in modo che se qualcuno avesse una sufficiente capacità di conoscere a fondo le cose, e avesse abbastanza intelligenza e memoria per considerare tutte le circostanze e tenerne conto, questi potrebbe essere un profeta e potrebbe vedere il futuro nel presente come in uno specchio".


Matematica per l economia e le scienze sociali

In economia e nelle scienze sociali lo stato attuale consegue sì da quelli del passato, ma dipende anche dalle decisioni degli individui che lo compongono, decisioni che sono influenzate dalle aspettative che essi hanno sul futuro.

xt+1 = f ( )oppurext = f ( )

Le aspettative degli agenti sul futuro si riflettono sul modo in cui i sistemi evolvono: mappings from beliefs to realizations.

Modelli con aspettative

Una delle 5 frasi riprodotte sul nuovo tappeto nello studio ovale di Obama: «L'unica cosa di cui dobbiamo aver paura è la paura stessa»

(Roosvelt, a proposito della grande depressione del 29)

Come dire: “La paura (del futuro) condiziona le nostre decisioni (nel presente)”

Viceversa, vale il detto:

“Essere ottimisti sul futuro ci fa meglio vivere il presente”


Matematica per l economia e le scienze sociali

Gli agenti economici dei modelli devono essere dotati della capacità fare congetture sulla distribuzione di probabilità dei possibili stati futuri dell’Economia.

Ipotesi delle aspettative razionali (Muth, 1961, Lucas, 1972)

Gli agenti economici sono in grado di prevedere correttamente il futuro dei sistemi che studiano, così come un fisico conosce le leggi della natura.

Così nasce l’agente economico rappresentativo razionale, in grado di effettuare scelte ottimali in quanto è capace di calcolare tutte le grandezze necessarie.

Questo, associato all’ipotesi dei mercati efficienti è diventato il modello teorico dominante (modello neoclassico) che prevede che l’economia raggiungerà un equilibrio in cui tutte le relazioni economiche necessarie (come ad esempio i vincoli di bilancio) saranno rispettate. Questo approccio, è fortemente radicato nei metodi di ottimizzazione che portano alla “teoria dell’equilibrio generale”.

Il tema dell’efficienza dei mercati è sempre stato una specie di atto di fede dell’economia neoclassica, con la convinzione che i mercati sono in grado di auto-correggersi e che il ruolo dei governi è tutt’al più quello di “regolatori dalla mano leggera”.


Matematica per l economia e le scienze sociali

Modelli dinamici non lineari, oscillazioni endogene, caos

A partire dagli anni ’30, un tema ricorrente nella letteratura è stato il confronto fra modelli deterministici e stocastici come possibili strumenti per descrivere le oscillazioni irregolari e persistenti osservate nei sistemi economici, in netto contrasto sia con la convergenza a un equilibrio stazionario prevista dai modelli lineari dell’equilibrio economico, che con la periodicità delle oscillazioni endogene previste dai primi modelli deterministici non lineari del ciclo economico.

Questo ha portato a una crescente popolarità dei modelli macroeconomici lineari stabili arricchiti da termini stocastici, per rappresentare continui shock esogeni la cui presenza è in grado di provocare le oscillazioni persistenti che si osservano nei dati reali.

Nei modelli non lineari la perdita di stabilità locale non conduce necessariamente a evoluzioni divergenti e quindi non accettabili. Ma i cicli limite attrattivi forniscono andamenti troppo regolari rispetto a quelli osservati nella realtà.

La scoperta del caos deterministico ha riaperto la questione. La possibilità di generare fluttuazioni irregolari senza bisogno di termini stocastici suggerisce che nei sistemi economici ci possono essere meccanismi endogeni capaci di creare il disordine osservato nell’economia reale, senza bisogno di continui shocks che scuotano i sistemi dall’esterno.


Matematica per l economia e le scienze sociali

Henry Poincaré (1903)

Se conoscessimo esattamente le leggi della natura

e la situazione dell’universo all’istante iniziale,

potremmo prevedere esattamente la situazione

dello stesso universo in un instante successivo.

Ma se pure accadesse che le leggi naturali non

avessero più alcun segreto per noi, anche in tal

caso potremmo conoscere la situazione iniziale

solo approssimativamente.

Se questo ci permettesse di prevedere la situazione

successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e

dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto.

Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali..

Henry Poincaré, 1854-1912


Matematica per l economia e le scienze sociali

Aspettative razionali e caos deterministico. Una evidente antinomia

Se si parte da un modello con aspettative razionali e si scopre che esso genera caos deterministico, allora le previsioni non possono essere razionali (cioè perfette) per definizione di dinamiche caotiche.

Un corollario che contraddice un’ipotesi del teorema!

Benhabib, Day (1982) “A characterization of erratic dynamics in the overlapping generations model” Journal of Economic Dynamics and Control, 4, 37-55.

Boldrin, Montrucchio. (1986) “On the Indeterminacy of Capital Accumulation Paths.” Journal of Economic Theory 40: 26—39.

Grandmont, J.M. (1985) “Endogenous Competitive Business Cycles” Econometrica 53: 995—1045.


Matematica per l economia e le scienze sociali

Si arriva anche a dimostrare che fluttuazioni caotiche dell’economia

possono essere dotate di efficienza paretiana e quindi non è così scontato il paradigma classico secondo il quale le politiche economiche debbano sempre cercare di eliminarle o smorzarle.

A. Matsumoto. “Let it be: chaotic price instability can be beneficial” Chaos, Solitons and Fractals vol. 18 (2003) pp. 745–758

Ovviamente ci possono essere altre considerazioni da fare, legate alle conseguenze sociali delle fluttuazioni economiche, quando si devono decidere politiche da applicare (es. il dramma della disoccupazione o del disagio sociale legato all’instabilità economica).


Matematica per l economia e le scienze sociali

Modelli con razionalità limitata

Già negli anni 50 Herbert Simon aveva parlato di agenti economici limitatamente razionali:

“Non è empiricamente evidente che gli imprenditori e i consumatori nel prendere decisioni seguano i principi di massimizzazione dell’utilità richiesti dai modelli dei marginalisti. In parte perché non hanno informazioni sufficienti, o le necessarie capacità di calcolo. Quindi nei modelli occorre prevedere che gli agenti siano incerti sul futuro e occorre includere i costi per reperire informazioni. Questi fattori limitano le capacità degli agenti nel fare previsioni,

Herbert Simon (1916–2001)

Nobel per l’Economia 1978

They possess only “bounded rationality”.

They do not choose what is optimal but what will make them happy enough.

Rules of thumb, trial & errors in making decisions

Nonostante queste premesse l’ipotesi dell’agente rappresentativo razionale è diventata dominante dagli anni 60 in poi: questo solleva molti dubbi anche logici, dato che l'agente economico è parte del sistema che studia, un problema che i fisici hanno per la prima incontrato nello studio della meccanica quantistica e che si è portato dietro molte conseguenze, paradossi e interpretazioni che fanno tuttora discutere.


Matematica per l economia e le scienze sociali

Casi di crescita spinta dalle aspettative di crescita

Bulls and Bears, ottimismo e pessimismo degli operatori

Microcomportamenti individuali vs macrocomportamenti emergenti, collettivi, sociali

Self-fulfilling expectations

Le bolle:

I tulipani in olanda nel ‘600

La bolla speculativa dei mercati del 1995-2000

Ruolo dei mezzi di comunicazione


Matematica per l economia e le scienze sociali

Interazione strategica

John (János) von Neumann

(Budapest 1903 – Washington 1957)

Princeton, 1947


Matematica per l economia e le scienze sociali

Verso una “Matematica per le decisioni”.

Occorre un concetto di “scelta razionale”

Azioni

utilità (funzione di preferenza)

x1

u(x1)

x2

u(x2)

u(x4)

.

.

.

.

.

.

xn

u(xn)

u(x1)

u(x3)

x* : max u( xk ) k=1,…,n

x

x5

x4

x3

x2

x1

Se x è una variabile continua (cioè x [a,b] ) allora u:[a,b]→

abbiamo un tipico problema di ricerca di un massimo assoluto

in un compatto, detto spazio delle azioni


Matematica per l economia e le scienze sociali

Dall'oroscopo di Linda Wolf del 3 dicembre 2009

Ariete.

Anche se siete sicuri del fatto vostro

fate molta attenzione alle decisioni degli altri


Matematica per l economia e le scienze sociali

Interazione strategica, uA = uA (xA ,yB) : matrici dei payoffs aij= u(xi,yj)

. . .

b1

b2

B

bm

. . .

b1

b2

bm

B

A

A

. . .

a1

. . .

a1

a11

a1m

a12

b11

b1m

b12

a2

a21

a2m

a2

a22

b21

b2m

b22

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

an

an

. . .

an1

anm

an2

. . .

bn1

bnm

bn2

Payoff giocatore A in presenza di B

Payoff giocatore B in presenza di A

. . .

b1

b2

bm

B

A

. . .

a1

(a12,b12)

(a1m,b1m)

(a11,b11)

a2

(a21,b21)

(a21,b21)

(a2m,b2m)

.

.

.

.

.

.

Bimatrice dei payoffs

an

. . .

(an1,bn1)

(anm,bnm)

(an1,bn1)


Matematica per l economia e le scienze sociali

Principio di razionalità.

Un giocatore non sceglie l’azione x se ha a disposizione una scelta y che gli permetta di ottenere di più qualunque siano le scelte dell’altro (o degli altri) giocatori

b1

b2

b3

B

A

Esempio:

a1

(1,0)

(0,1)

(-1,2)

a2

(2,2)

(3,2)

(0,1)


Matematica per l economia e le scienze sociali

Preferisci che dia 5 euro a te oppure 10 al tuo amico?

Giocatore A: a1: 5 a me a2: 10 a B

Giocatore B: b1: 5 a me b2: 10 ad A

B

b1

b2

A

(5,5)

a1

(15,0)

(10,10)

a2

(0,15)


Matematica per l economia e le scienze sociali

Dilemma del prigioniero

Se denunci il tuo complice ti lasceremo libero (legge sui collaboratori) e il tuo complice starà in prigione per 10 anni. Ma se il tuo complice fa altrettanto allora sarete dichiarati entrambi colpevoli e, pur usufruendo dello sconto per aver collaboratori, rimarrete in carcere 5 anni ciascuno. Se entrambi tacete, 1 anno di prigione ciascuno per guida pericolosa e detenzione di armi.

B

Tace

Accusa

A

(-1,-1)

(-10,0)

Tace

Accusa

(-5,-5)

(0,-10)

Gioco proposto da Merrill Flood e Melvin Dresher, Rand Corporation 1950,

per le possibili applicazioni ad una strategia nucleare globale.

La versione "il dilemma di prigioniero" si deve ad Albert Tucker che volle rendere più accessibili le idee di Flood e Dresher a un pubblico di psicologi di Stanford.


Matematica per l economia e le scienze sociali

Dilemma del Pescatore

Fisherman

C

Moderate

exploitaton

(cooperative)

Intensive

exploitation

(competitive)

Fisherman

R

Moderate

exploitaton

(cooperative)

(3, 3)

(1, 4)

E la mano invisibile di Adam Smith?

Intensive

exploitation

(competitive)

(4, 1)

(2, 2)

Un tipico dilemma sociale

Hardin, G. “The tragedy of the commons”, Science (1968).


Matematica per l economia e le scienze sociali

In generale …

b2

b1

B

A

a1

(a,a)

(b,c)

con c > a > d > b

a2

(d,d)

(c,b)

  • Altre situazioni :

  • Scambio a scatola chiusa

  • Corsa agli armamenti e politiche di disarmo

  • Parlare a voce alta in pizzeria

  • Inquinare o no?

  • Porto il casco per correre in bici?


Matematica per l economia e le scienze sociali

E’ meglio il più o il meno?

u(x)

Singolo decisore

x

B

b1

b2

A

Interazione strategica

a1

(10,10)

(3,15)

a2

(5,5)

(15,3)

B

b1

b2

A

a1

(8,8)

(2,7)

a2

(0,0)

(7,2)


Matematica per l economia e le scienze sociali

E’ meglio avere più possibilità di scelta?

u(x)

Singolo decisore

x3

x2

x1

x

B

b1

b2

A

Interazione strategica

(1,1)

a1

(5,3)

a2

(3,5)

(10,10)

B

b3

b1

b2

A

a1

(1,1)

(0,4)

(5,3)

a2

(10,10)

(3,5)

(0,11)

a3

(1,1)

(11,0)

(4,0)


Matematica per l economia e le scienze sociali

Giochi a somma zero

b1

b2

b3

B

A

minimo guadagno su ogni riga

9

3

0

a1

,-3

,0

,-9

0

6

5

7

a2

,-7

,-5

,-6

5

max fra i min guadagni

(maxmin)

-1

4

9

a3

,-9

,-4

,1

-1

9

5

9

massima perdita su ogni colonna

min fra le max perdite

(minmax)

Equilibrio: maxmin = minmax = sella della matrice


Matematica per l economia e le scienze sociali

Gioco a somma zero, si ragiona sempre nella peggiore delle ipotesi (cioé prevedendo le contromosse dell’avversario), e poi nell’insieme delle peggiori ipotesi si sceglie la migliore realizzazione

b1

B

b2

b3

b4

b5

minimi guadagni

A

0

a1

5

a2

maxmin

1

a3

a4

5

maxmin

a5

0

5

9

5

9

10

massime perdite

minmax

minmax


Matematica per l economia e le scienze sociali

In generale maxnin  minmax.

Se vale = allora esiste almeno un equilibrio in strategie pure

Altrimenti: Strategie miste (idea di von Neumann)

q

(1- q)

p

(1- p)

B

b1

b2

A

-1

a1

-1

0

maxmin= 1 < 0= minmax

non c’è alcuna sella con strategie pure

1

-2

a2

-2

0

1

Soluzione

p=3/4, q=1/2

payoff di equilibrio

v=-1/2

payoff atteso da a1: (-1)q + 0(1- q) = - q

payoff atteso da a2: (1)q + (-2)*(1- q) = 3q - 2

q

-2

payoff atteso da b1: -p + (1-p) = 1-2p

payoff atteso da b2: -2(1-p) = 2p - 2

p


Matematica per l economia e le scienze sociali

Premio Nobel, 1994 "for their pioneering analysis of equilibria in the theory of non-cooperative games"

Harsanyi Nash Selten

Premio Nobel, 2005 "for having enhanced our understanding of conflict and cooperation through game-theory analysis"

Aumann Schelling


Matematica per l economia e le scienze sociali

Premio Nobel, 2007

"for having laid the foundations of mechanism design theory"

Hurwicz

Maskin

Myerson


Matematica per l economia e le scienze sociali

L’economia è una scienza?

Confronto tra previsioni dei modelli e realtà economica

Difficile fare osservazioni “sul campo”

Inoltre, se le leggi dipendono dalle aspettative, le quali dipendono dalle informazioni possedute dagli agenti, allora fare misure aggiunge informazioni e quindi cambia le aspettative e quindi cambia le leggi del moto …

Esperimenti di laboratorio, in ambienti semplificati e controllati

(experimental economics)

Ma c’è differenza fra la vera utilità (es. i profitti) e quella finta, simulata.


Matematica per l economia e le scienze sociali

Polemica riaccesa dall'attuale crisi economica:

come può una scienza (fondata su metodi matematici) non prevedere, non accorgersi di quello che sta succedendo?

Benedetto XVI, all'Angelus di inizio anno 2010:

«Il futuro è nelle mani di Dio,

non di maghi e economisti».


Matematica per l economia e le scienze sociali

Carlo Emilio Gadda (1953) nel racconto "L’egoista"

"Se una libellula vola a Tokio, innesca una catena di reazioni che raggiungono me".

Gadda (1974) Meditazione milanese

"L'ipotiposi della catena delle cause va emendata e guarita, se mai, con quella di una maglia o rete. Ogni anello o grumo o groviglio di relazioni è legato da infiniti filamenti a grumi o grovigli infiniti.

Come gli gnocchi. Unti, agglutinati, filamentosi per formaggio e per salse, e uno cento ne traina, e ognuno dei cento poi mille e ognuno dei mille, milioni. Altro che le ciliegie, delle quali sogliono li esperti affermare che una tiri l’altra!"

Gadda (1957) Quer pasticciaccio brutto de via Merulana

«Il dottor Ingravallo sosteneva, fra l'altro, che le inopinate catastrofi non sono mai la conseguenza o l'effetto che dir si voglia d'un unico motivo, d'una causa al singolare: ma sono come un vortice, un punto di depressione ciclonica nella coscienza del mondo, verso cui hanno cospirato tutta una molteplicità di causali convergenti. Diceva anche nodo o groviglio, o garbuglio, o gnommero, che alla romana vuoi dire gomitolo. […]


Matematica per l economia e le scienze sociali

Carl Chiarella “What’s beyond?” in Lettera Matematica Pristem (2010).

Ogni cambio di paradigma economico porta con sé anche un cambio nel tipo di modellistica adottato.

Le idee keynesiane avevano soppiantato il punto di vista classico dominante negli anni ’30, perché questo era stato indicato come responsabile delle politiche economiche che avevano portato alla grande crisi del ’29.

Il paradigma neoclassico (ipotesi di agente economico razionale e mercati efficienti)

prevale dopo il supposto fallimento del punto di vista keynesiano, dominante negli anni ’60 e ’60, accusato di essere stato inefficace nell’affrontare il periodo di stagnazione economica.

È ancora troppo presto per dire se l’attuale crisi economica avrà lo stesso profondo

impatto sulle ipotesi che stanno alla base dei modelli economici. Sembra comunque che le principali istituzioni saranno costrette ad adottare politiche con un forte sapore keynesiano. Un programma di ricerca molto ambizioso, che sta sviluppando consiste nel considerare gli agenti economici eterogenei e limitatamente razionali, descrivibili coi metodi della Fisica statistica.

Chiarella conclude con la frase: viviamo tempi interessanti


  • Login