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Journée « Christian LAVAULT » 5 juillet 2011. Une phase méconnue des pratiques algorithmiques (IX e -XV e siècles) Ahmed DJEBBAR Université des Sciences et des Technologies de Lille. Les algorithmes de la tradition arabe (IX e -XV e s.). Un ensemble d’instructions pour :
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Journée « Christian LAVAULT »5 juillet 2011 Une phase méconnue des pratiques algorithmiques (IXe-XVe siècles) Ahmed DJEBBAR Université des Sciences et des Technologies de Lille
Les algorithmes de la tradition arabe(IXe-XVe s.) Un ensemble d’instructions pour : - Calculer une solution exacte ou appro-chée d’un problème - Réaliser une construction - Etablir un résultat
Origine du mot algorithme Algorithme Algoritmus Algorismus Alchorismus Al-Khwarizmi الخوارزمي
Les sources de l’algorithmique arabe • Pratiques locales (arabes, persanes, égyptiennes, mésopotamienne) • Tradition indienne • Tradition chinoise (?) • Tradition grecque (?)
SAVOIR-FAIRE SAVOIR SAVANT * Deux traditions : - algorithmique - hypothético-déductive * Deux types de pratiques : - orales et instrumentales (mental & digital) - écrites : # Takht # Papier
OPERATIONS DU CALCUL • Multiplication • Division • Addition • Soustraction • Procédés d’approximation des fractions • Racine carrée exacte et approchée • Racine cubique exacte et approchée • Racine nième
Procédures arithmétiques • Test de primalité • Test pour déterminer les carrés et les cubes parfaits • Détermination des nombres parfaits • Détermination des nombres amiables
Procédures trigonométriques • Calcul de p • Calcul de sin(1°), à partir de sin(3°) • Résolution de « l’équation de Kepler »
Formules du calcul mental 15n = 10n + (10n)/2 14n = 15n – n 16n = 15n + n 25n = (100n)/4 10m/10n = 10m-n
Formules du calcul mental(suite) ab = [(a+b)/2]2 – [(a-b)/2]2
Algorithmes pour le takht • Produit avec translation et effaçage (debout ou couché) • Produit avec semi-translation (n2) • Produit sans translation - Technique du tableau
Algorithmes de résolution de problèmes Algorithmes mentaux • Déterminer un ou plusieurs nombres pensés • Rechercher une ou deux bagues cachées • Déterminer le doigt qui porte la bague • Déterminer le nom du mois pensé ou le signe du zodiaque
Procédé de l’inverse 2(2(2x-1)-1) = 1 1 1/2 1 + 1/2 = 3/2 3/2 + 1 = 7/4 (7/4)/2 = 7/8 = le capital
P(x) = b; P(x1) = b1; P(x2) = b2 [x1(b – b2) – x2(b – b1)]/(b1 –b2) = x
L’algorithme algébrique Un bien et dix racines égalent trente neuf dirhams • Tu divises les racines par deux : ce sera cinq dans ce problème; • Tu le multiplies par lui-même : ce sera vingt cinq; • Tu l’ajoutes à trente neuf : cela donnera vingt cinq; • Tu prends alors sa racine carrée : ce sera huit; • Tu en retrancheras la moitié des racines qui est cinq : il restera trois. 6. C’est la racine du bien que tu cherches; 7. Le bien est neuf.
Solutions exactes ou approchées d’équations trigonométriques ou algébriques du 3e degré Habash al-Hâsib (IXe s.) Al-Khayyâm Sharaf ad-Dîn at-Tûsî (procédé de Ruffini-Hörner)
Algorithmes et optimisation • Produit par translation : Pour un nombre à n chiffres, il y a n2 produits et n(n-1) translations. • Produit par semi-translation : Pour un nombre à n chiffres, il y a n(n+1)/2 produits et n(n-1)/2 translations.
Approximation de p Al-Kashi : ar-Risala al-muhitiyya [L’épître sur le cercle] • Méthode des polygones avec moyenne arithmétique. • Utilisation d’un polygone dont le nombre de côté est 3.228 = 805.306.368 • Valeur approchée de p : 2p = 6, 2.831.853.071.795.865
Optimisation de l’approximation de p • Choix préalable de la marge d’erreur : • = 1/12 de millimètre • « La circonférence d’un cercle doit être exprimée en fonction du diamètre avec une précision telle que l’erreur sur la longueur de la circonférence d’un cercle, dont le diamètre est égal à 600.000 fois le diamètre de la Terre, ne dépasse pas l’épaisseur d’un crin de cheval ».
