3-2 偏微分與全微分

1. 3-2 偏微分與全微分 • 若考慮含有 n 個自變數 x1,…, xn的函數 則當 x2,…, xn固定不變時，f 可視為 x1 的函數，因此依照前面的定義，可得導數 此稱為 y 對於 x1的偏導數(partial derivative)以符號　 　　　 、fx1或 f1 表之。 、 1 1

2. 例題3-7 試求 z = 3x2-6xy2+ln(x2+y2+1) 的偏導數函數，及在點 (1,-1)之偏導數。 解： = 6x-6y2+ = -12xy+ = 61-6(-1)2+ = = -12(1)(-1)+ = 12+ = 2x X2+y2+1 2y X2+y2+1 21 12+(-1)2+1 (1,-1) 2(-1) 12+(-1)2+1 (1,-1)

3. 例題3-8 設某汽車工廠生產小客車與卡車的成本函數為 C = 0.12x2+0.04y2+0.04xy+320x+80y+30 其中 C 代表成本(以百萬元為單位)，x、y分別代表卡車與 小客車的生產數量(以千輛元為單位) 。 若目前的生產數量為 x=500，y=1000，試求卡車與小 客車的邊際成本(marginal cost) 、 ，並解釋其意義。 解： = 0.24x+0.04y+320 = 0.24500+0.041000+320 = 480 當生產小客車數量維持不變，每多生產一輛卡車，總成本增加480000元。 = 0.08y+0.04x+80 = 0.081000+0.04500+80 = 180 當生產卡車數量維持不變，每多生產一輛小客車，總成本增加180000元。 X=500 Y=1000 X=500 Y=1000 X=500 Y=1000 X=500 Y=1000

4. 在第3-1節中，導數 所表示的是一個極限值 ，而不是兩個數量 dy、dx 的商。然而，若將符號 看成 dy 被 dx 除時 ，卻能解釋許多的現象。因此 我們先定義 dx 及dy 的意義如下： 由於 f(x) = lim 所以當增量 x 非常小時， y  f(x)x 若以 dy , dx 代替 y , x ，則得下面的定義：

5. 3-1 • 設 y = f (x)為一函數， (1)自變數 x的微分(differential) dx是 x的增量， 即 dx = x (2)因變數 y 的微分 dy為 dy = f(x) dx 由上述定義可知，y 的微分dy為 x 與 dx的函數。又 由於已知 　 = f(x)，所以我們可將 看成兩個微分 dy 、dx的商。再者，dy可當作 y的近似值。也就是說 ，當 x 變動時，dy可視為因變數 y 的改變量。

6. 例題3-9 設 y = x3，當 x = 2 ，x = 0.01時，y的真實變 動值為 y = f(x+x) – f(x) = (2.01)3 – 23 = 8.120601 – 8 = 0.120601 若以微分 dy 來估計 y ，則在 x = 2，dx = 0.01， dy = f '(x) dx = 3x2dx = 3(2)2(0.01) = 0.12 其誤差為 0.120601 – 0.12 = 0.000601 以上微分 dy 的概念可推廣至n個自變數的函數。

7. 3-2 • 設 y = f (x1,……, xn)，則 我們稱 dy 為因變數 y 的全微分(total differential)。

8. 全微分 dy 所表示的是當所有自變數 x1,,xn一 起變動而使得因變數 y 改變的量，因此當我們令 dx1= x1, dx2= x2,  , dxn= xn 且x1, x2,  , xn皆非常小時，y 的增量 y 大約 等於 dy，即 y 

9. 例題3-10 設長方形兩鄰邊的長度分別為 x = 10 及 y = 15，但測 量不甚精確，所測得之 x、y 分別為 10.1及 15.2，試求長 方形面積誤差的近似值。 解： 面積 A = xy dA  = 15(0.1) + 10(0.2) = 1.5 + 2 = 3.5 若直接以 x、y 值代入求 A，則 A = (10.1)(15.2) – (10)(15) = 153.52 – 150 = 3.52 因此 dA 可視為 A 的近似值。

10. 例題3-11 q = x11/2 x21/2 假設某產品的產出量與投入 x1、x2 的關係式 則第一種投入的邊際生產力(marginal productivity)為 若投入量分別為 x1= 120，x2 = 30，則產出量 q = (120)1/2(30)1/2 = (3600)1/2 = (602)1/2 = 60 又 (120)-1/2(30)1/2 = = = = 即當 x2 = 30 維持不變時，每增加投入 x1 一單位，大約可 增加產出量 0.25 單位。 x1-1/2x21/2 1/2 1/2

11. 1/2 1/2 x11/2x2-1/2 若將兩種投入同時增加一單位，則 因 = (120) 1/2(30)-1/2 = = = 1 即兩種投入同時增加一單位，則產出可增加 1.25 單位。 若 x1 投入減少一單位，但希望產出水準維持不變 (q = 60) ，即由 得知 dx2 = 0.25，即 x2 的投入量須增加至 30.25單位。

12. 設含有兩個自變數的函數為 若自變數 x與 y亦為變數 t的函數 則 z亦可視為 t 的函數。此時，可利用 z的全微分 除以 dt，而求得 一般而言，若函數為 且 此即多變數函數微分的連鎖法則。

13. 又若 x1 , x2 ,…, xn 是另外兩個變數 r、s的函數，即 則

14. 例題3-12 2 若 z = x2y3，且 x = ，y = 3t3 則由連鎖法則 = (2xy3)t+(3x2y2)(9t2) = [2( t2)(3t3)3]t + [3( t2)2(3t3)2](9t2) = 27t12 + t12 =t12 又，若將 x = ，y = 3t3 代入 z = x2y3中，則得 z =( t2)2(3t3)3 = t13 2 12 12

15. 例題3-13 若 ，且時 ，

16. 例題3-14 ABC公司生產兩種產品：相機及軟片，其生產 x個相 機及 y 個軟片的成本函數為 z = 30x + 0.15xy + y + 900 假設相機及軟片的需求函數分別為 y = 2000 – r – 400s 其中 r：相機價格，s：軟片價格。試求 r =50 , s=2 時 解： = (30+0.15y) +(0.15x+1)(-1) 當r =50 , s=2 時， 代入得 2

17. 設函數 f 的導函數為 f '，若 f ' 的導數亦存在 ，以 f " 表之，則稱 f " 為 f 的二階導函數(second order derivative) 。若以符節 表示一階導數時， 則第二階導數以 表之。一般而言，若 n 為大於 2 的正整數 (n > 2)，函數 f 第 n 階導數可定義為 f 的第 n-1階導數之導數。通常使用下列符節表示 d2y dx2 n d y ，f (n)(x)或Dnf (x) dxn

18. 例題3-15 -2 -2 若 ，則 2 2 2 d2y -2] dx2 = 6(-2)(-3)(2-3x)-3 = 2322!(2-3x)-3 2 d3y 2 -3] 2 dx3 = 2333!(2-3x)-4  d ny d n-1y = 23nn!(2-3x)-(n+1) dxn dxn-1

19. 若 f 為 n 個自變數的函數 (n2)，我們亦可定 義二階偏導數(second order partial derivative)。例如 一階偏導數 二階偏導數可定義為 和 稱為混合偏導數(mixed or cross partial derivative)，若以上兩種混合偏導數皆為連續，則 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

20. 例題3-16 = 2xy + 2xy2 + 3y 若 z = x2y + x2y2 +3xy 則 = x2 + 2x2y + 3x 2 = 2y + 2y2 2 2 = 2x2 2 2 (x2 + 2x2y + 3x) = 2x +4xy + 3 2 (2xy + 2xy2 + 3y) = 2x + 4xy + 3