Capítulo 3 - Aplicações das Derivadas
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Capítulo 3 - Aplicações das Derivadas. Como classificar os máximos e mínimos. (a) o máximo absoluto de f em D se e somente se f (x) f (c) para qualquer que seja x em D. (b)o mínimo absoluto de f em D se e somente se f (x) f (c) para qualquer que seja x em D.

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Como classificar os máximos e mínimos

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Presentation Transcript


Como classificar os m ximos e m nimos

Capítulo 3 - Aplicações das Derivadas

Como classificar os máximos e mínimos


Como classificar os m ximos e m nimos

(a) o máximo absoluto de f em D se e somente se f (x) f (c) para

qualquer que seja x em D.

(b)o mínimo absoluto de f em D se e somente se f (x) f (c) para

qualquer que seja x em D.

Definição - Extremos Absolutos

Seja f uma função de domínio D. Então f(c) é:


Como classificar os m ximos e m nimos

Função

Domínio D

Extremos Absolutos em D

(a)

Ausência de máximo absoluto.

Mínimo absoluto 0 quando x = 0.

(b)

Máximo absoluto 4 quando x = 2.

Mínimo absoluto 0 quando x = 0.

(c)

Máximo absoluto 4 quando x = 2.

Ausência de mínimo absoluto.

(d)

Ausência de extremos absolutos.

Exemplo 3 - Encontrando Extremos Absolutos


Como classificar os m ximos e m nimos

Se f é contínua para todos os pontos do intervalo fechado I, então f

assume tanto um valor máximo M como um valor mínimo m em I.

Ou seja, há números x1 e x2 em I tais que f (x1) = m e f (x2) = M e

mf(x) M para qualquer outro valor de x em I. (Figura abaixo)

Teorema 1 - O Teorema de Valor Extremo para Funções Contínuas


Como classificar os m ximos e m nimos

(a) um valor máximo local em c se e somente se f (x) f (c) para

qualquer x em um intervalo aberto que contenha c.

(b) um valor mínimo local em c se e somente se f (x) f (c) para

qualquer x em um intervalo aberto que contenha c.

Definição - Extremos Locais

Seja c um ponto interior do domínio da função f. Então f (c) será

Teorema 2 - Extremos Locais

Se uma função f possui valores máximo ou mínimo locais em um

ponto c interior de seu domínio e se f’ existe em c, então

f’ (c) = 0.


Como classificar os m ximos e m nimos

Definição - Ponto Crítico

Um ponto de uma função f onde f’ = 0 ou f’ não existe é um

ponto crítico de f.

Exemplo 5 - Encontrando os Extremos Absolutos em um Intervalo

Fechado

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de

f (x) = 10x(2 - ln x) no intervalo [1, e2].

Solução: A figura 3.6 (próximo slide) sugere que f tem seu valor

máximo absoluto próximo de x = 3 e que, quando x = e2, seu valor

mínimo absoluto é 0.


Como classificar os m ximos e m nimos

Os valores extremos de f (x) = 10x(2 - ln x) ocorrem quando x = e

e x = e2.


Como classificar os m ximos e m nimos

A partir dessa lista podemos ver que o máximo absoluto dessa função

10e 2,72. Que ocorre no ponto crítico interior x = e. O mínimo

absoluto é 0 e ocorre na extremidade direita, quando x = e2.

Calculamos a função nos pontos críticos e nas extremidades e,

dentre os valores obtidos, tomamos o maior e o menor.

A primeira derivada é

O único ponto crítico no domínio [1, e2] é o ponto x = e, onde

ln x = 1. Os valores de f nesse único ponto crítico e nas extremidades

são

Valor no ponto crítico:

Valores nas extremidades:


Como classificar os m ximos e m nimos

Passo 1: Calcule f em todos os pontos críticos e extremidades.

Passo 2: Tome o maior e o menor dentre os valores obtidos.

Como Determinar os Extremos Absolutos de uma Função

Contínua f em um Intervalo Fechado

Exemplo 6 - Determinando Extremos

Determine os valores extremos de

Solução: A função f possui um mínimo absoluto de aproximadamente

0,5 quando x = 0. Também parece haver haver dois máximos locais

quando x = -2 e x = 2. No entanto, nesses pontos a função não está

definida e não parece haver nenhum outro valor máximo.


Como classificar os m ximos e m nimos

A função f está definida apenas para 4 - x2 > 0, portanto seu domínio

é o intervalo aberto (-2, 2). O domínio não tem extremidades, logo

todos os extremos da função deverá ocorrer em pontos críticos.

Rescrevemos a fórmula de f para determinar f’.

Assim,

O único ponto crítico no domínio (-2, 2) é x = 0. Portanto, o valor

É a única possibilidade de valor extremo.


Como classificar os m ximos e m nimos

À medida que x se afasta de 0 para ambos os lados, os valores de f

aumentam e o gráfico sobe. Temos um valor mínimo quando x = 0,

e o mínimo é absoluto.

A função não possui máximos, nem locais nem absolutos. Isso não

vai contra o Teorema 1 (Teorema do Valor Extremo), pois aqui f é

definida em um intervalo aberto. Para que haja pontos extremos, o

Teorema 1 exige um intervalo fechado.

Para determinar se 1/2 é um valor extremo de f, examinamos a fórmula


Como classificar os m ximos e m nimos

Exemplo 7 - Pontos Críticos não Precisam Gerar Valores Extremos

Embora os extremos de uma função possam ocorrer apenas em

pontos críticos e extremidades, nem todo ponto crítico ou extremidade

indica a presença de um valor extremo.

Pontos críticos sem valores extremos:

(a) y’= 3x2 é 0 quando x = 0, mas y = x3 não possui nenhum extremo

nesse ponto.

(b) y’= (1/3)x -2/3 não é definida quando x = 0, mas y = x1/3 não

possui nenhum extremo nesse ponto.


Como classificar os m ximos e m nimos

Teorema 3 - O Teorema de Rolle

Suponha que y = f(x) seja contínua em todos os pontos de [a, b] e

derivável em todos os pontos de (a, b). Se

Então há pelo menos um número c em (a, b) onde f’(c) = 0.

O Teorema de Rolle diz que

uma curva derivável tem ao

menos uma tangente

horizontal entre dois pontos

quaisquer onde a curva cruza

o eixo x. Essa curva tem três.


Como classificar os m ximos e m nimos

Teorema 4 - O Teorema do Valor Médio

Suponha que y = f(x) seja contínua em um intervalo fechado [a, b] e

derivável no intervalo aberto (a, b). Então há pelo menos um ponto c

em (a, b) em que

Geometricamente,

o Teorema do Valor

Médio diz que, em

algum lugar entre A

e B, a curva apresenta

pelo menos uma

tangente paralela à

corda AB.


Como classificar os m ximos e m nimos

Corolário 1 - Funções com Derivadas Nulas são Funções Constantes

Se f ’(x) = 0 em todos os pontos de um intervalo I, então f (x) = C

para qualquer x em I, onde C é uma constante.

Definições - Função Crescente, Função Decrescente

Seja f uma função definida em um intervalo I. Então,

1. f é crescente em I se, para todos os pontos x1 e x2 em I,

2. f é decrescente em I se, para todos os pontos x1 e x2 em I,


Como classificar os m ximos e m nimos

1. Se f ’ é negativa à esquerda de c e positiva à direita de c, então f

possui um mínimo local em c.

2. Se f ’ é positiva à esquerda de c e negativa à direita de c, então f

possui um máximo local em c.

3. Se f ’ possui o mesmo sinal em ambos os lados de c, então c não é

um extremo local de f.

Corolário 3 - Teste da Primeira Derivada para Crescimento e

Decrescimento

Suponha que f seja contínua em [a, b] e derivável em (a, b).

Se f ’> 0 em todos os pontos de (a, b), então f é crescente em [a, b].

Se f ’< 0 em todos os pontos de (a, b), então f é decrescente em [a, b].

O Teste da Primeira Derivada para Extremos Locais


Como classificar os m ximos e m nimos

O gráfico de f (x) = x3 é côncavo para baixo em

e côncavo para cima em


Como classificar os m ximos e m nimos

Definição - Concavidade

O gráfico de uma função derivável y = f (x) é

(a) côncavo para cima em um intervalo aberto I,

se y’ é crescente em I.

(b) côncavo para baixo em um intervalo aberto I,

se y’ é decrescente em I.

Exemplo 3 - Aplicando o Teste de Concavidade

A curva y = x2 é côncava para cima em qualquer intervalo, pois

sua segunda derivada y’’ = 2 é sempre positiva.


Como classificar os m ximos e m nimos

Definição - Ponto de Inflexão

Um ponto onde o gráfico de uma função possui uma reta tangente

e onde há mudança de concavidade é um ponto de inflexão.

Teorema 5 - O Teste da Segunda Derivada para Extremos Locais

1. Se f ’ (c) = 0 e f ’’(c) < 0, então f possui um máximo local

quando x = c.

2. Se f ’(c) = 0 e f ’’(c) > 0, então f possui um mínimo local

quando x = c.


Como classificar os m ximos e m nimos

Testando os pontos críticos (não há extremidades), temos que

possui um máximo local quando x = -2

e

possui um mínimo local quando x = 2.

Exemplo 9 - Usando o Teste da Segunda Derivada

Determine os extremos de f (x) = x3 - 12x - 5.

Solução: Temos que


Como classificar os m ximos e m nimos

Estratégias para Resolver Problemas de Máximo e Mínimo

Passo 1.Compreendendo o Problema

Leia o problema atentamente. Identifique as informações

necessárias para resolvê-lo. O que é desconhecido?

O que é dado? O que é pedido?

Passo 2.Desenvolva um Modelo Matemático para o Problema

Desenhe figuras e indique as partes que são importantes

para o problema. Introduza uma variável para representar

a quantidade a ser maximizada ou minimizada.

Utilizando essa variável, escreva uma função cujo valor

extremo forneça a informação pedida.

Passo 3.Determine o Domínio da Função

Determine quais valores da variável têm sentido no

problema. Se possível, esboce o gráfico da função.


Como classificar os m ximos e m nimos

Passo 4.Identifique os Pontos Críticos e as Extremidades

Determine onde a derivada é zero ou não existe. Utilize

aquilo que você sabe sobre a forma do gráfico de uma

função e sobre a física do problema. Use a primeira e a

segunda derivada para identificar e classificar pontos

críticos (onde f ’ = 0 ou não existe).

Passo 5.Resolva o Modelo Matemático

Se não estiver seguro sobre o resultado, utilize outro

método para embasar ou confirmar sua solução.

Passo 6.Interprete a solução

Traduza seu resultado matemático de volta para a

linguagem original do problema e decida se o resultado

tem sentido ou não.


Como classificar os m ximos e m nimos

Modelo

Sejam as coordenadas do vértice do retângulo obtidas

colocando-se o retângulo e a semicircunferência no plano cartesiano.

O comprimento, a altura e a área do retângulo podem ser expressos

em termos da posição x, no canto inferior direito da figura.

Altura:

Comprimento:

Área:

Exemplo 3 - Inscrevendo Retângulos

Um retângulo deve ser inscrito em uma semicircunferência de raio 2.

Qual é a maior área que o retângulo pode ter e quais são suas

dimensões?

Solução:


Como classificar os m ximos e m nimos

Observe que o valor x deve estar no intervalo , onde está

o vértice escolhido para o retângulo.

Agora nosso objetivo matemático é determinar o valor máximo

absoluto da função contínua

no domínio [0, 2].

Identificando os Pontos Críticos e as Extremidades

A derivada

Não é definida quando x = 2 e é igual a zero quando


Como classificar os m ximos e m nimos

Das duas raízes, e , apenas a primeira está no domínio

de A e faz parte da lista de pontos críticos.

Multiplique ambos os lados

por


Como classificar os m ximos e m nimos

Valor no ponto crítico:

Valores nas extremidades:

A área máxima que o retângulo pode ter é 4 quando este tem

unidades de altura e unidades de

comprimento.

Os valores de A nas extremidades e no único ponto crítico são

Interpretação


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