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8. Transformada Discreta de Fourier - DFT

8. Transformada Discreta de Fourier - DFT. 8.1 Representação de seqüências periódicas: Série Discreta de Fourier - DFS. Vamos relembrar o desenvolvimento da TDFT – Transformada de Fourier p/ Sinais Discretos. Seja o sinal x[n] não-periódico. ~.

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8. Transformada Discreta de Fourier - DFT

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Presentation Transcript

  1. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR 8. Transformada Discreta de Fourier - DFT 8.1 Representação de seqüências periódicas: Série Discreta de Fourier - DFS Vamos relembrar o desenvolvimento da TDFT – Transformada de Fourier p/ Sinais Discretos

  2. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Seja o sinal x[n] não-periódico ~ e x[n] seu sinal periódico associado com período N 2.7. A Transformada de Fourier para Sinais Discretos -N1 N1 -N N

  3. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR ~ Podemos representar x[n] através da Série de Fourier: Como: Podemos escrever: ou então:

  4. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR ~ Os coeficientes da Série de Fourier do sinal x[n] podem ser vistos como amostragem da Transformada de Fourier em k.0 do sinal x[n]. Encontrando a envoltória de N.ak : Discreto  Contínuo Obtemos: Transformada de Fourier do Sinal Discreto x[n] Logo:

  5. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Voltando à nossa análise: Chamando os termos: Definimos a Equação de Análise da DFS de N pontos como: e a Equação de Síntese da DFS de N pontos:

  6. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Denotando a quantidade complexa: Podemos reescrever as equações de análise e Síntese como:

  7. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR 8.2. Propriedades da DFS 8.2.1. Linearidade: 8.2.2. Deslocamento: 8.2.3. Dualidade:

  8. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR * 8.2.5. Convolução Periódica *

  9. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR 8.2.6. Resumo das propriedades da DFS

  10. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Considere sequência finita e a periódica associada Se comprimento 8.5. A Transformada Discreta de Fourier - DFT ou Pela propriedade da Dualidade da DFS

  11. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Temos que: ou Podemos definir a DFT de N pontos: Eq. de análise: Eq. de síntese:

  12. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR • Interpretações: • - , DFS de x[n], é uma amostragem do espectro X() • X[k] uma amostragem de 1 período de X() • espectro do sinal não periódico. • -X[k] é um período do espectro do sinal • periódico associado

  13. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR DFT de um sinal contínuo não limitado no tempo:

  14. aliasing TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Exemplo: N=5 N=6 N=8

  15. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR N=10 N=25 N=50

  16. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR 1 40 0.5 20 0 0 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 1 20 0 10 -1 0 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 1 20 0 10 -1 0 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 1 40 0 20 -1 0 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 DFT de sinais sinusoidais

  17. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR 1 0.5 0 -0.5 -1 0 5 10 15 20 25 30 35 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 Porém:

  18. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR DFT Sinal limitado em freq. com truncamento igual ao período.

  19. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR DFT Sinal limitado em freq. com truncamento não igual ao período.

  20. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR 8.6. Propriedades da DFT 8.6.1. Linearidade: 8.6.2. Deslocamento Circular: 8.6.3. Dualidade:

  21. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR * N N 8.6.5. Convolução Circular: Nada mais é do que a convolução periódica considerando sinais de duração finitos x1[n] e x2[n] Linear: Sinais ilimitados Periódica: Sinais periódicos Circular: Sinais limitados

  22. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR 8.6.6. Resumo das Propriedades da DFT

  23. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR 8.7. Convolução Linear usando DFT • -Existem algoritmos muito eficientes p/ cálculo da DFT • algoritmos de FFT (Fast Fourier Transform) • Logo é eficiente implementar a convolução de 2 sinais • através dos seguintes passos: • Calcular as DFTs de x1[n] e x2[n], X1[k] e X2[k] • Calcular X3[k]=X1[k].X2[k] • Calcular IDFT de X3[k], x3[n], obtendo: N Porém muitas vezes desejamos:

  24. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Sendo: O resultado da convolução circular de N amostras será igual à convolução linear se: Porém: se um dos sinais tiver comprimento indeterminado (processamento em tempo real). Dois métodos implementam uma forma eficiente de cálculo da convolução linear através da DFT. Overlap-add e Overlap-save Implementação de Sistemas LTI

  25. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR 8.8 Transformada Discreta do Cosseno (DCT) DFT é o exemplo mais comum da classe de Transformadas Discretas de tamanho finito Onde as sequências base São ortogonais:

  26. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR No caso da DFT: A[k] nesse caso é geralmente uma sequência complexa. São exemplos de Transformadas que fazem : -Haar -Hadamard -Hartley (DHT) -DCT -DST - ...

  27. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR A DCT considera o sinal x[n] periódico e com simetria par: Período: Período: 2N-2 2N 4N 4N Logo: temos 4 tipos de DCT: DCT-1, DCT-2, DCT-3 e DCT-4 E existem outras 4 formas de se criar um sinal periódico e com simetria par.

  28. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR A DST (Discrete Sine Transform) considera sinal periódico E com simetria ímpar. 8 formas de se fazer. Sendo as funções de base baseadas no seno. Logo temos uma família de 16 transformadas ortogonais A DCT-2 é a mais utilizada em aplicações de compressão de sinais (JPEG e MPEG-1,2,4): Onde:

  29. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Exemplo: Compactação de Energia na DCT-2

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  31. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Transformada ótima para compactação de energia : Karhunen-Loève (Hotelling, PCA) Base formada pelos auto-vetores da matriz de covariância do sinal a ser compactado A DCT é assintoticamente ótima.

  32. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR 9. Computação da DFT Complexidade Computacional: Medida através do número de , + , é proporcional ao tempo gasto p/ executar um algoritmo. Porém: outros fatores: quantidade de memória requerida operações transcendentais, raiz, log, etc. Em VLSI: consumo, área de chip são fatores importantes P/ escolha de um algoritmo. Algoritmos de FFT: revolucionaram a área de processamento de sinais

  33. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR 9.1. Computação eficiente da DFT Como as equações diferem apenas do fator de escala N e do sinal do expoente de WN, a teoria vista p/ cálculo da DFT aplica-se também à IDFT • Cálculo direto: • como x[n] pode ser sinal complexo, • Para computar N amostras do sinal X[k] requer • N2 multiplicações complexas e N(N-1) adições complexas • ou • 4N2 multiplicações reais e N(4N-2) somas reais • E mais memórias p/ armazenamento de N amostras complexas • de x[n] e coeficientes WN Proporcional O(N2)

  34. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR A maioria dos algoritmos de FFT exploram as seguintes características: 1) Simetria complexa conjugada: 2) Periodicidade em k e n : Exploram ainda a decomposição de uma DFT de N pontos em DFTs de comprimentos menores Algoritmos: -Goertzel(1958): O(N2) -Cooley-Tukey(1965): Deu origem à decimação no tempo -Sande-Tukey(1966): Deu origem à decimação em frequência

  35. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR 9.3. Algoritmos de Decimação no Tempo -decomposição sucessiva de x[n] em parcelas menores Diversos tipos: mais clássico: p/ N potência de 2 x[n] de N pontos é dividido em 2 sequências de N/2 pontos Compostas dos n ímpares e n pares

  36. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Mudando as variáveis: n=2r para n par n=2r+1 para n ímpar Como:

  37. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Como: Podemos reescrever:

  38. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Aplicando o mesmo princípio para o cálculo de G[k] e H[k] DFT(N/2)

  39. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Temos: E assim sucessivamente até chegar ao cálculo da DFT(2)

  40. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR DFT de 2 pontos:

  41. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Diagrama completo p/ DFT 8-pontos decimação no tempo: Notar que a complexidade computacional é: N.log(N)

  42. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Reduzindo ainda mais a complexidade computacional: Célula básica de computação: butterfly Como:

  43. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Assim: Algoritmo completo • Obs: • Complexidade computacional O(N.log(N)) • Computação In-Place, uso da mesma memória p/ entrada e saída • -Ordem do sinal de entrada x[n]

  44. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Ordenação Bit-Reversa X[0] = x[0] X[1] = x[4] X[2] = x[2] X[3] = x[6] X[4] = x[1] X[5] = x[5] X[6] = x[3] X[7] = x[7] X[000] = x[000] X[001] = x[100] X[010] = x[010] X[011] = x[110] X[100] = x[001] X[101] = x[101] X[110] = x[011] X[111] = x[111]

  45. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR 9.4. Algoritmos de Decimação na Frequência -decomposição sucessiva de X[k] em parcelas menores Diversos tipos: mais clássico: p/ N potência de 2 X[k] de N pontos é dividido em 2 seqüências de N/2 pontos Compostas dos k ímpares e k pares P/ X[pares] Que podemos escrever como:

  46. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR P/ X[pares] Que podemos escrever como: Substituindo variáveis no 2° somatório Notando que: Logo:

  47. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Lembrando que: Temos que: Pode ser escrito como: De modo análogo p/ k ímpares podemos escrever: P/ X[ímpares] Que podemos escrever como:

  48. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR P/ X[ímpares] Que podemos escrever como: Substituindo variáveis no 2° somatório Notando que: Logo:

  49. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Logo: P/ k ímpares: P/ k pares:

  50. TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR Aplicando o mesmo procedimento p/ cálculo da DFT N/2 pontos

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