8 transformada discreta de fourier dft
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8. Transformada Discreta de Fourier - DFT. 8.1 Representação de seqüências periódicas: Série Discreta de Fourier - DFS. Vamos relembrar o desenvolvimento da TDFT – Transformada de Fourier p/ Sinais Discretos. Seja o sinal x[n] não-periódico. ~.

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8. Transformada Discreta de Fourier - DFT

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


8 transformada discreta de fourier dft

TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR

8. Transformada Discreta de Fourier - DFT

8.1 Representação de seqüências periódicas:

Série Discreta de Fourier - DFS

Vamos relembrar o desenvolvimento da

TDFT – Transformada de Fourier p/ Sinais Discretos


2 7 a transformada de fourier para sinais discretos

TE-810 Processamento Digital de Sinais - UFPR

Seja o sinal x[n] não-periódico

~

e x[n] seu sinal periódico associado com período N

2.7. A Transformada de Fourier para Sinais Discretos

-N1

N1

-N

N


8 transformada discreta de fourier dft

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~

Podemos representar x[n] através da Série de Fourier:

Como:

Podemos escrever:

ou então:


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~

Os coeficientes da Série de Fourier do sinal x[n]

podem ser vistos como amostragem da Transformada

de Fourier em k.0 do sinal x[n].

Encontrando a envoltória de N.ak :

Discreto  Contínuo

Obtemos:

Transformada de Fourier do Sinal Discreto x[n]

Logo:


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Voltando à nossa análise:

Chamando os termos:

Definimos a Equação de Análise da DFS de N pontos como:

e a Equação de Síntese da DFS de N pontos:


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Denotando a quantidade complexa:

Podemos reescrever as equações de análise e

Síntese como:


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8.2. Propriedades da DFS

8.2.1. Linearidade:

8.2.2. Deslocamento:

8.2.3. Dualidade:


8 transformada discreta de fourier dft

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*

8.2.5. Convolução Periódica

*


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8.2.6. Resumo das propriedades da DFS


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Considere sequência finita e a periódica associada

Se comprimento

8.5. A Transformada Discreta de Fourier - DFT

ou

Pela propriedade da Dualidade da DFS


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Temos que:

ou

Podemos definir a DFT de N pontos:

Eq. de análise:

Eq. de síntese:


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  • Interpretações:

  • - , DFS de x[n], é uma amostragem do espectro X()

  • X[k] uma amostragem de 1 período de X()

  • espectro do sinal não periódico.

  • -X[k] é um período do espectro do sinal

  • periódico associado


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DFT de um sinal contínuo

não limitado no tempo:


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aliasing

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Exemplo:

N=5

N=6

N=8


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N=10

N=25

N=50


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1

40

0.5

20

0

0

0

10

20

30

40

0

10

20

30

40

1

20

0

10

-1

0

0

10

20

30

40

0

10

20

30

40

1

20

0

10

-1

0

0

10

20

30

40

0

10

20

30

40

1

40

0

20

-1

0

0

10

20

30

40

0

10

20

30

40

DFT de sinais sinusoidais


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1

0.5

0

-0.5

-1

0

5

10

15

20

25

30

35

15

10

5

0

0

5

10

15

20

25

30

35

Porém:


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DFT Sinal limitado em freq.

com truncamento igual ao

período.


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DFT Sinal limitado em freq.

com truncamento não igual ao

período.


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8.6. Propriedades da DFT

8.6.1. Linearidade:

8.6.2. Deslocamento Circular:

8.6.3. Dualidade:


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*

N

N

8.6.5. Convolução Circular:

Nada mais é do que a convolução periódica considerando

sinais de duração finitos x1[n] e x2[n]

Linear:

Sinais ilimitados

Periódica:

Sinais periódicos

Circular:

Sinais limitados


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8.6.6. Resumo das Propriedades da DFT


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8.7. Convolução Linear usando DFT

  • -Existem algoritmos muito eficientes p/ cálculo da DFT

  • algoritmos de FFT (Fast Fourier Transform)

  • Logo é eficiente implementar a convolução de 2 sinais

  • através dos seguintes passos:

  • Calcular as DFTs de x1[n] e x2[n], X1[k] e X2[k]

  • Calcular X3[k]=X1[k].X2[k]

  • Calcular IDFT de X3[k], x3[n], obtendo:

N

Porém muitas vezes desejamos:


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Sendo:

O resultado da convolução circular de N amostras será

igual à convolução linear se:

Porém: se um dos sinais tiver comprimento indeterminado

(processamento em tempo real).

Dois métodos implementam uma forma eficiente

de cálculo da convolução linear através da DFT.

Overlap-add e Overlap-save

Implementação de Sistemas LTI


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8.8 Transformada Discreta do Cosseno (DCT)

DFT é o exemplo mais comum da classe de

Transformadas Discretas de tamanho finito

Onde as sequências base

São ortogonais:


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No caso da DFT:

A[k] nesse caso é geralmente uma sequência complexa.

São exemplos de Transformadas que fazem :

-Haar

-Hadamard

-Hartley (DHT)

-DCT

-DST

- ...


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A DCT considera o sinal x[n] periódico e com simetria par:

Período:

Período:

2N-2

2N

4N

4N

Logo: temos 4 tipos de DCT: DCT-1, DCT-2, DCT-3 e DCT-4

E existem outras 4 formas de se criar um sinal periódico e com simetria par.


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A DST (Discrete Sine Transform) considera sinal periódico

E com simetria ímpar. 8 formas de se fazer.

Sendo as funções de base baseadas no seno.

Logo temos uma família de 16 transformadas ortogonais

A DCT-2 é a mais utilizada em aplicações de compressão

de sinais (JPEG e MPEG-1,2,4):

Onde:


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Exemplo: Compactação de Energia na DCT-2


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Transformada ótima para compactação

de energia : Karhunen-Loève (Hotelling, PCA)

Base formada pelos auto-vetores da matriz de covariância do sinal a ser compactado

A DCT é assintoticamente ótima.


9 computa o da dft

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9. Computação da DFT

Complexidade Computacional:

Medida através do número de , + , é proporcional ao

tempo gasto p/ executar um algoritmo.

Porém: outros fatores: quantidade de memória requerida

operações transcendentais, raiz, log, etc.

Em VLSI: consumo, área de chip são fatores importantes

P/ escolha de um algoritmo.

Algoritmos de FFT: revolucionaram a área de

processamento de sinais


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9.1. Computação eficiente da DFT

Como as equações diferem apenas do fator de escala N

e do sinal do expoente de WN, a teoria vista p/ cálculo

da DFT aplica-se também à IDFT

  • Cálculo direto:

  • como x[n] pode ser sinal complexo,

  • Para computar N amostras do sinal X[k] requer

  • N2 multiplicações complexas e N(N-1) adições complexas

  • ou

  • 4N2 multiplicações reais e N(4N-2) somas reais

  • E mais memórias p/ armazenamento de N amostras complexas

  • de x[n] e coeficientes WN

Proporcional O(N2)


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A maioria dos algoritmos de FFT exploram as

seguintes características:

1) Simetria complexa conjugada:

2) Periodicidade em k e n :

Exploram ainda a decomposição de uma DFT

de N pontos em DFTs de comprimentos menores

Algoritmos:

-Goertzel(1958): O(N2)

-Cooley-Tukey(1965): Deu origem à decimação no tempo

-Sande-Tukey(1966): Deu origem à decimação em frequência


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9.3. Algoritmos de Decimação no Tempo

-decomposição sucessiva de x[n] em parcelas menores

Diversos tipos: mais clássico: p/ N potência de 2

x[n] de N pontos é dividido em 2 sequências de N/2 pontos

Compostas dos n ímpares e n pares


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Mudando as variáveis: n=2r para n par

n=2r+1 para n ímpar

Como:


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Como:

Podemos reescrever:


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Aplicando o mesmo princípio para o cálculo de G[k] e H[k]

DFT(N/2)


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Temos:

E assim sucessivamente até chegar ao cálculo da DFT(2)


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DFT de 2 pontos:


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Diagrama completo p/ DFT 8-pontos decimação no tempo:

Notar que a complexidade computacional é: N.log(N)


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Reduzindo ainda mais a complexidade computacional:

Célula básica de computação: butterfly

Como:


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Assim: Algoritmo completo

  • Obs:

  • Complexidade computacional O(N.log(N))

  • Computação In-Place, uso da mesma memória p/ entrada e saída

  • -Ordem do sinal de entrada x[n]


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Ordenação Bit-Reversa

X[0] = x[0]

X[1] = x[4]

X[2] = x[2]

X[3] = x[6]

X[4] = x[1]

X[5] = x[5]

X[6] = x[3]

X[7] = x[7]

X[000] = x[000]

X[001] = x[100]

X[010] = x[010]

X[011] = x[110]

X[100] = x[001]

X[101] = x[101]

X[110] = x[011]

X[111] = x[111]


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9.4. Algoritmos de Decimação na Frequência

-decomposição sucessiva de X[k] em parcelas menores

Diversos tipos: mais clássico: p/ N potência de 2

X[k] de N pontos é dividido em 2 seqüências de N/2 pontos

Compostas dos k ímpares e k pares

P/ X[pares]

Que podemos escrever como:


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P/ X[pares]

Que podemos escrever como:

Substituindo variáveis no 2° somatório

Notando que:

Logo:


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Lembrando que:

Temos que:

Pode ser escrito como:

De modo análogo p/ k ímpares podemos escrever:

P/ X[ímpares]

Que podemos escrever como:


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P/ X[ímpares]

Que podemos escrever como:

Substituindo variáveis no 2° somatório

Notando que:

Logo:


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Logo:

P/ k ímpares:

P/ k pares:


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Aplicando o mesmo procedimento p/ cálculo

da DFT N/2 pontos


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E assim sucessivamente até a DFT de 2 pontos,

Calculada por:

Algoritmo completo p/ DFT(8) decimação em Frequência:

  • Obs:

  • O(N.log(N))

  • Computação In-Place

  • -Saída bit-reverso


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Algoritmos vistos são Radix-2

Outros algoritmos:

-Radix-4, Radix-8, etc...

-Split-Radix

-Produto de inteiros

-...


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Convolução:

Método Direto:

Complexidade: O(2N2)

Por FFT:

Complexidade: O(3.2N.log(2N)+2N)


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