論文紹介 Query Incentive Networks

論文紹介Query Incentive Networks 2006/6/2 加藤公一

紹介する論文 Jon M. Kleinberg and Prabhakar Raghavan. 2005. Query IncentiveNetworks. In FOCS '05: 46th Annual IEEE Symposium on Foundations ofComputer Science. Pittsburgh, PA, 132--141.

Insentive Networkとは？ • ネットワーク上のノードが隣のノードにご褒美（Incentive）をちらつかせながら、情報を得ようとするモデル • 例としては・・・ • P2Pファイル共有 Winny, Share, etc. • ソーシャルネットワークサービス Mixi, Orkut, etc.

例 $5あげるからBerryz工房の動画をくれ！ $1 Get! 動画？持ってるよ $4 $3 $5 $1 $1 $4あげるから動画さがしてくれない？答に到達できないと一銭も得られない（成功報酬）あまり搾取すると答までたどり着けなくなる確率が高くなるあまり遠慮すると、自分の子孫にたくさん持っていかれるノード間のゲームと考える

問題答を得るためには、どのくらいのutility（効用？）を用意すればよいか？ Utility：ルートノードが答を得るために用意するコスト

ここで考えるネットワークのモデル • Tree Model • 各ノードにが、ツリー構造を知っているとする • Branching Model • ツリー構造ではあるが、各ノードはその構造を知らない（地図がない状態） • ノードにはActiveなものとinactiveなものがある • 例：Mixiでログインしていないユーザ • ノードあたりの子の数の期待値bが与えられる

努力の価値 • ノードが受け取る報酬は整数値しかとらないとする • 答が見つかった後に、その答を送るためには、ノード通過ごとにコスト1かかる。（最初からそのコストを見込んで報酬を取り決める）さもないとZeno（ゼノン）のパラドックス「用意すべきutilityは無限に小さくできる」 Utility rでうまくいって各ノードの戦略が　　ならば、utility 　のときは戦略　　　　にすればよい

例報酬：$2 接続コスト：$1 報酬：$2 接続コスト：$1 報酬：$2 接続コスト：$1 Utility $10 $7 $4 $1

記号 T:木全体、　T’：アクティブなもの全体ノードが答を持っていない確率： p Rarity（珍しさ？）： T’内での平均分岐数： b 与えられたIncentiveに対して、ノード　が隣に渡す量（報酬関数、reward func.）：ノードvが子に報酬xを与えたときの成功確率：失敗確率：（平均でn個に一つは答を持っている）

問題（より詳しく） 十分に高い確率で答を得るために必要なutility r は b と p の関数としてどうあらわされるか？

ゲーム理論としての視点 • ノードがプレーヤ • 　　：がとる戦略（関数！） • ノードを通過すると報酬総額が減るノードに報酬が与えられたとする。そのときのノードの取得利益の期待値はナッシュ均衡：上式を最大にするようなの集合ナッシュ均衡は必ず存在し、唯一に定まることが証明される（Appendix）

結論のときある程度以上の確率で成功するためには、必要なutilityはのときある程度以上の確率で成功するためには、必要なutilityは（両方とも定数は bに依存）分岐が激しいほうが少なくて済む（直感と異なる）

証明記号の定義（以下全員が最適な戦略をとったと仮定して）：誰も答を知らないと仮定したときに、報酬 r で到達する深さ：ルートが答を知らず、しかも深さ j まで誰も答を知らない確率：　　　　　　　　　となる最小の r となることが証明できる 3 2 1 任意のjに対してとなるrが存在するは任意のについて定義されるまずはの値について解析する

　　（breakpoint structure）の計算 帰納的に　　　　　　から　　　を計算するルートが持っているutilityがrのときに、子ノードに　　　を与えたときのペイオフの期待値：帰納法の仮定：　　　　　ならばルートこのとき、ルートにとっての最適戦略は子に与える報酬を　　　にすることこのときの最適戦略以上の深さまでは進まないはこのへんに！深さ　　まで到達可能

計算の続き

　の計算 ただし：アクティブなものの率子ノードの数は d個とするとで計算できる

のときの証明（概要） 失敗確率を上から押さえて、必要なutility rを上から押さえる Claim 4.3 について　　　　　　　　　　　ならば（つまり nが十分大きければ、） t を　　　　　　　　　　回繰り返せばから　　へ到達可能定義は　　　　　　　　　　　　を満たすはある条件（Lemma 4.5で使う）を満たす Lemma 4.4 証明：Claim 4.3より明らか Lemma 4.5 ある定数　　　　が存在して　　　　　ならば証明略

Theorem 4.6 bに依存する定数　が存在して　　　　　　　　ならばアイデア：すでに得られた　　と　　の関係式をうまく使う Breakpoint structure Lemma 4.5

のときの証明（概要） （再掲！） Claim 4.3 について　　　　　　　　　　　ならば（つまり nが十分大きければ、） t を　　　　　　　　　　回繰り返せばから　　へ到達可能定義は　　　　　　　　　　　　を満たすは任意（バウンド用） Lemma 4.7 証明：Claim 4.3より明らか Lemma 4.8 ある定数　　　　が存在して　　　　　ならば証明略 Lemma 4.9 証明略（　　は任意なのでClaim 4.3は使えない）

Theorem 4.10 に依存する定数　が存在して　　　　　　　　ならばのそれぞれについて上から押さえる定義：について：を数学的帰納法で証明のときはOK Lemma 4.7より

Theorem 4.10の続き について：は範囲　　　　　　　　　で最小値　　　を持つ

結論（再掲） のときある程度以上の確率で成功するためには、必要なutilityはのときある程度以上の確率で成功するためには、必要なutilityは（両方とも定数は bに依存）分岐が激しいほうが少なくて済む（直感と異なる）

研究の展開 • 　　　　のときはどうなるか？ • Binary treeのときは • それ以外のときは？ • 　　　　のときはどうなるか？ • TreeではなくてDAGのときは？

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