1 / 46

數位影像處理

數位影像處理. The Fourier Transform 第七章 傅利葉轉換. 第七章 傅利葉轉換. 7.1 導論 傅利葉轉換 (Fourier Transform / FT) 是影像處理中重要的基礎 . 傅利葉轉換是執行線性空間濾波的另一種有效方式 . 傅利葉轉換可用於擷取或處理特定影像頻率 . 傅利葉轉換執行低通與高通濾波時能得到更精確的效果. 第七章 傅利葉轉換. 7.2 背景 我們可以把一週期性函數訊號 , 看做是由不同振幅和頻率的正弦與餘弦波的組合 . 有些函數可以分解成有限個函數的總和. 第七章 傅利葉轉換. 7.2 背景

sorena
Download Presentation

數位影像處理

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 數位影像處理 The Fourier Transform 第七章 傅利葉轉換

  2. 第七章 傅利葉轉換 • 7.1導論 • 傅利葉轉換(Fourier Transform / FT)是影像處理中重要的基礎. • 傅利葉轉換是執行線性空間濾波的另一種有效方式. • 傅利葉轉換可用於擷取或處理特定影像頻率. • 傅利葉轉換執行低通與高通濾波時能得到更精確的效果.

  3. 第七章 傅利葉轉換 • 7.2 背景 • 我們可以把一週期性函數訊號,看做是由不同振幅和頻率的正弦與餘弦波的組合. • 有些函數可以分解成有限個函數的總和.

  4. 第七章 傅利葉轉換 • 7.2 背景 • 有些函數可以分解成無限個函數的總和.

  5. 第七章 傅利葉轉換 • 7.2 背景 • 若 f(x) 是一個週期為2T 的函數 f(x)的傅利葉級數展開 (Fourier series expansion)

  6. 第七章 傅利葉轉換 • 7.2 背景 • 以複數形式表示

  7. 第七章 傅利葉轉換 • 7.2 背景 • 若 f(x) 是一個非週期函數， T∞

  8. 第七章 傅利葉轉換 • 7.2 背景 • 以複數形式表示來表示方程式

  9. 第七章 傅利葉轉換 • 7.3 一維離散傅利葉轉換(DFT) • 數位影像與數位訊號皆屬於離散函數 • 數據數量皆為有限值 • 此章僅探討離散傅利葉轉換

  10. ：N × N的矩陣 第七章 傅利葉轉換 • 7.3 一維離散傅利葉轉換(DFT) • 一維DFT的定義： • 長度為N的數列 • DFT數列定義 • 矩陣乘積

  11. 第七章 傅利葉轉換 • 7.4 一維DFT的特性 • 線性：假設f 與 g 是相同長度的向量, p 與 q為純量,令 h = pf + qg ,若F G 與 H分別為f g與 h的DFT,則 H = pF + qG • 平移：將向量的 x的元素乘上(-1)n • >> x=[2 3 4 5 6 7 8 1]; • >> x1=(-1).^[0:7].*x • x1 = [ 2 -3 4 -5 6 -7 8 -1] • >> x=fft(x') • >> x1=fft(x1')

  12. 第七章 傅利葉轉換 • 7.4 一維DFT的特性 • 共軛對稱：若x為實數,長度為N,其DFT X便會滿足下列條件 • 旋積：假設x與y同樣是長度為N的相量,則旋積(環形旋積)為

  13. 第七章 傅利葉轉換 • 7.4 一維DFT的特性 • 旋積：Matlab conv function • >> a=[1 2 3 4]; • >> b=[5 6 7 8]; • >> conv(a,b) • ans = 5 16 34 60 61 52 32 • >> cconv(a,b) • ans = 66 68 66 60

  14. 第七章 傅利葉轉換 • 7.4 一維DFT的特性 • 旋積定理 • >> fft(cconv(a,b)')=fft(a’).*fft(b’); • ans = • 1.0e+002 *2.6000 • 0 - 0.0800i • 0.0400 • 0 + 0.0800i

  15. 第七章 傅利葉轉換 • 7.4 一維DFT的特性 • 旋積定理 • >> fft(a').*fft(b'); • >> ifft(ans)' • ans = 66 68 66 60 • 快速傅利葉轉換(Fast Fourier Transform) • FFT其中的一種方式是以遞迴方式進行運算,將原始向量分為兩半,各自進行FFT運算. • 長度為2n的向量,直接計算需要(2n)2=22n次乘法,但使用FFT僅需n2n次,節省了2n/n倍的計算.

  16. 第七章 傅利葉轉換 • 二維DFT • 假設原始矩陣值為 f(x,y) ,x 與 y 為索引,則輸出矩陣為 F(u,v) • 一維函數可以寫成正弦與餘弦函數的組合 • 影像為二維函數 f(x,y),可以將其看成波紋函數的組合

  17. 第七章 傅利葉轉換 • 二維DFT

  18. 第七章 傅利葉轉換 • 二維DFT • 假設有一影像大小為M×N, x索引範圍是從0~M-1, y索引範圍是從0~N-1

  19. 第七章 傅利葉轉換 • 二維DFT • 相似性：正轉跟反轉相似,指數項的負號. • DFT當成空間濾波器使用： • 分離性

  20. 第七章 傅利葉轉換 • 二維DFT • 分離性

  21. 第七章 傅利葉轉換 • 二維DFT • 線性 • 雜訊影像 d • 旋積定理

  22. 第七章 傅利葉轉換 • 二維DFT • DC係數 • DFT的F(0,0)值稱為DC係數 • 平移 • 共軛對稱

  23. 第七章 傅利葉轉換

  24. 第七章 傅利葉轉換 平移

  25. 第七章 傅利葉轉換 • 7.6 Matlab 中的傅利葉轉換 • fft : 計算向量的DFT • ifft : 計算向量的反DFT • fft2 : 計算矩陣的DFT • ifft2 : 計算矩陣的反DFT • fftshift :平移轉換 • >> a=ones(8); • >> fft2(a) • DC係數為所有矩陣值的總和

  26. +50 0 -50 AC DC 第七章 傅利葉轉換 • 7.6 Matlab 中的傅利葉轉換

  27. 第七章 傅利葉轉換 • 7.6 Matlab 中的傅利葉轉換

  28. 第七章 傅利葉轉換 • 7.7 影像之傅利葉轉換 • >> a=[zeros(256,128) ones(256,128)]; • >> imshow(im2uint8(a/max(a(:)))); • >> af=fftshift(fft2(a)); • >> af1=log(1+abs(af)); • >> imshow(af1/af1(129,129)); • >> imshow(mat2gray(log(1+abs(af))))

  29. 第七章 傅利葉轉換 • 7.7 影像之傅利葉轉換 • >> a(78:178,78:178)=1; • >> imshow(a); • >> af=fftshift(fft2(a)); • >> figure,fftshow(af,'abs') • >> figure,fftshow(af,'log') log abs

  30. 第七章 傅利葉轉換 • 7.7 影像之傅利葉轉換 • >> [x,y]=meshgrid(1:256,1:256); • >> b=(x+y<329)&(x+y>182)&(x-y>-67)&(x-y<73); • >> imshow(b); • >> bf=fftshift(fft2(b)); • >> figure,fftshow(bf)

  31. 第七章 傅利葉轉換 • 7.7 影像之傅利葉轉換 • meshgrid: Generate F and G matrices for three-dimensional plots • >> [F,G] = meshgrid(1:3,1:3)

  32. 第七章 傅利葉轉換 • 7.7 影像之傅利葉轉換 • >> [x,y]=meshgrid(-128:127,-128:127); • >> z=sqrt(x.^2+y.^2); • >> c=(z<15); • >> cf=fftshift(fft2(c)); • >> fftshow(cf,'log') • >> imshow(c);

  33. m 1 n D 第七章 傅利葉轉換 • 7.8頻率域的濾波 • 理想濾波 • 低通濾波: 讓頻域下的影像矩陣資料乘上理想低通矩陣(Ideal Lowpass Matrix),此二元矩陣m定義如下

  34. 第七章 傅利葉轉換 • 7.8頻率域的濾波 • >> cm=imread('cameraman.tif'); • >> cf=fftshift(fft2(double(cm))); • >> figure,fftshow(cf,'log') • >> figure;imshow(cm); >> [x,y]=meshgrid(-128:127,-128:127); >> z=sqrt(x.^2+y.^2); >> c=(z<15); >> imshow(c) D =14

  35. 第七章 傅利葉轉換 • 7.8頻率域的濾波 • >> cf1=cf.*c; • >> figure,fftshow(cf1,'log') • >> cfli=ifft2(cf1); • >> figure,fftshow(cfli,'abs')

  36. D=4 D=9 D=29 第七章 傅利葉轉換 • 7.8頻率域的濾波 • >> [x,y]=meshgrid(-128:127,-128:127); • >> z=sqrt(x.^2+y.^2); • >> c = ( z < D );

  37. D 第七章 傅利葉轉換 • 7.8頻率域的濾波 • 高通濾波: 低通濾波可讓DFT中心值保持不變, 並消除其他值,而高通濾波則相反. • >> [x,y]=meshgrid(-128:127,-128:127); • >> z=sqrt(x.^2+y.^2); • >> c = ( z >D );

  38. D=4 D=29 D=15 第七章 傅利葉轉換 • 7.8頻率域的濾波 • 高通濾波

  39. 第七章 傅利葉轉換 • 7.8頻率域的濾波 • 理想低通濾波的缺點,是會產生不必要的波紋瑕疵. Ideal Low-pass Filter Ideal High-pass Filter

  40. Butterworth Low-pass Filter Butterworth High-pass Filter 第七章 傅利葉轉換 • 7.8頻率域的濾波 • Butterworth 濾波：n 為濾波函數的階數 • >> [x,y]=meshgrid(-128:127,-128:127); • >> b1=1./(1+((x.^2+y.^2)/15).^2); • >> imshow(b1);

  41. n = 1 n = 3 第七章 傅利葉轉換 • 7.8頻率域的濾波 • Butterworth 濾波

  42. 第七章 傅利葉轉換 • 7

  43. 第七章 傅利葉轉換 • 7

  44. 第七章 傅利葉轉換 • 7

  45. 第六章 影像幾何 • 5.1 導論 • 鄰域處理主要是透過像素鄰域部分,執行函數運算來修正影像. • 遮罩與函數的結合稱為濾波器(Filter). • 新灰階值是對遮罩下的灰階值進行函數運算而來,此濾波器稱為 線性濾波器. • 空間濾波的運算： • 將遮罩至於指定像素上 • 濾波器的所有元素與鄰域相對應的像素相乘 • 將上述乘法的所有結果相加

  46. 第五章 鄰域處理 • 5.6 邊緣銳利化

More Related