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Controlli LS. Esercitazione 4 Prima Parte. Esempio 11.6 (Khalil). Si consideri il sistema del secondo ordine dove y è l’uscita misurata del sistema Si vuole che y=y R dove y R è un opportuno segnale di riferimento Problema di tracking mediante output feedback.

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Presentation Transcript
Controlli ls

Controlli LS

Esercitazione 4

Prima Parte


Esempio 11 6 khalil
Esempio 11.6 (Khalil)

  • Si consideri il sistema del secondo ordine

    dove y è l’uscita misurata del sistema

  • Si vuole che y=yR dove yR è un opportuno segnale di riferimento

    • Problema di tracking mediante output feedback


Controllore gain scheduling
Controllore gain-scheduling

  • IDEA: utilizzare yR come scheduling variable e implementare una legge di controllo gain-scheduling per il sistema non lineare

  • Utilizzo il procedimento visto a lezione

  • HP1 (da teoria): con  costante

    • 1: cerco le soluzioni del sistema

    • dove:


Controllore gain scheduling1
Controllore gain-scheduling

  • R1:

  • 2: Linearizzazione


Controllore gain scheduling2
Controllore gain-scheduling

  • 2: Linearizzazione

    • Infatti:


Controllore gain scheduling3
Controllore gain-scheduling

  • R2: Sistema linearizzato

  • Verifica controllabilià:

La controllabilità non

dipende da 


Controllore gain scheduling4
Controllore gain-scheduling

L’osservabilità non

dipende da 

  • Verifica osservabilità:

  • Conclusione:

    • Posso scegliere un controllore per il sistema linearizzato parametrizzato da cui poi ottenere la legge di controllo gain-scheduling

  • Caso 1:

    • 1.1: progetto Hurwitz

    • 1.2: progetto Hurwitz


  • Caso 1
    Caso 1

    • 1: progetto analitico di

      • impongo autovalori:

    Equazione caratteristica:


    Caso 11
    Caso 1

    • impongo autovalori:

      • Equazione caratteristica desiderata:

        • Da cui:

      • Risultato: posso assegnare una coppia desiderata di poli complessi coniugati per il controllore


    Caso 12
    Caso 1

    • 1: progetto analitico di

      • impongo autovalori:

    Equazione caratteristica:


    Caso 13
    Caso 1

    • impongo autovalori:

      • Equazione caratteristica desiderata:

        • Da cui:

      • Risultato: posso assegnare una coppia desiderata di poli complessi coniugati per l’osservatore


    Caso 14
    Caso 1

    • Legge di controllo:

    • Legge di controllo complessiva:

    • Controllore gain-scheduling:

    Osservatore


    Caso 15
    Caso 1

    • Per il controllore sintetizzato vale la proposizione generale del gain scheduling

    • Esercizio: valutare le proprietà di robustezza della legge di controllo ottenuta

      • Perturbo i parametri del sistema:


    Caso 1 prove simulink
    Caso 1: prove Simulink

    • Assegno la dinamica del sistema:

      • wnC=1 wnO=6 deltaC=0.8 deltaO=0.7

    • Osservo uscita del sistema: (SIMULINK)

      • wnC=1 wnO=6 deltaC=0.8 deltaO=0.7

        • Il valore a regime differisce da quello desiderato

      • wnC=10 wnO=50 deltaC=0.8 deltaO=0.7

        • Il valore a regime è più vicino a quello desiderato

      • wnC=100 wnO=400 deltaC=0.8 deltaO=0.7

        • Il valore a regime è ancora più vicino a quello desiderato ma il transitorio peggiora

    Il sistema con il controllore 1 sembra poter ottenere un tracking pratico del segnale di riferimento


    Caso 2
    Caso 2

    • Implementazione di una legge di controllo di tipo integrale

      • Sistema lineare (yR =  cost.)

      • Legge di controllo:


    Caso 21
    Caso 2

    • Sistema esteso:

      • Verifica controllabilià:

    Controllabile per ogni >0


    Caso 22
    Caso 2

    • Guadagni suggeriti

    • Autovalori:

      • Controllore:

      • Osservatore:


    Caso 2 simulazioni
    Caso 2 (Simulazioni)

    • Verifica comportamento ottenuto al gradino e alla rampa (vedi SIMULINK)

    • Prova di robustezza:

      • Sistema perturbato:

      • Risultato: la legge di controllo garantisce inseguimento asintotico anche in presenza di incertezze

        • Tracking asintotico di segnali costanti


    Caso 2 simulazioni1
    Caso 2 (Simulazioni)

    • Prova SIMULINK:

      • Gradino di 0.6 e successivo gradino di 0.2 (sovrapposizione)

        • OSSERVAZIONE:

          • la risposta del secondo gradino è oscillatoria!

            • Patologia dovuta agli zeri del sistema

          • Possibile instabilità del sistema a fronte di perturbazioni

        • Confrontare successione di gradini:

          • 0.6, 0.2

          • 1, 0.2


    Caso 23
    Caso 2

    • Studio del sistema lineare (di sintesi) closed loop

    • riscrivo: (r=yR- , costante)


    Caso 24
    Caso 2

    • Sistema esteso:


    Caso 25
    Caso 2

    • Gain-scheduling controller

    • Non-linear system:

    • Da teoria:

      • La linearizzazione attorno all’equilibrio differisce nella sola matrice B


    Caso 26
    Caso 2

    • Linearizzazione sistema non lineare (con ingresso forzante u=r)

    • Idea: implementare un’azione in avanti per assegnare gli zeri del sistema al variare di  (anche soluzioni euristiche essendo il sistema complicato!)

    Termini aggiuntivi


    Caso 27
    Caso 2

    • Gain-scheduling controller with FF

    • ATTENZIONE: a causa della presenza del termine di feed-forward altero l’equilibrio del sistema

    Attraverso u influenzo entrambi i termini


    Caso 28
    Caso 2

    • Analiticamente

      • Imposizione degli zeri del sistema lineare di progetto (vedi teoria):

        • Soluzione di un’equazione di progetto

          • Non sempre l’equazione è risolubile!

      • Imposizione analitica degli zeri

        • Soluzione di una nuova equazione di progetto che tenga conto della nuova scelta di zeri desiderata

      • Scelta euristica dell’azione in feed-forward

        • Mediante considerazioni analitiche e prove sperimentali

          • Utile solo nei casi in cui analiticamente è difficile risolvere il problema

    • Esistono alti schemi per la soluzione del problema in casi “complicati” (vedere Khalil)


    Caso 2 prove simulative
    Caso 2 (prove simulative)

    • Verificare come imponendo un termine aggiuntivo nella legge di controllo funzione di yR il transitorio del sistema si modifica.

    • Cercare (verificando empiricamente) un’azione di feed-forward che migliori il transitorio

      • Esempio:

        • uff = -2yR

        • uff = +7yR-12yR2


    Controlli ls1

    Controlli LS

    Esercitazione 4

    Seconda Parte


    Esercizio 11 5 khalil
    Esercizio 11.5 (Khalil)

    • Obiettivi:

      • Progetto di un regolatore per un levitatore magnetico (sistema non lineare) mediante linearizzazione

      • Verifica delle proprietà di robustezza del sistema ottenuto

        Tipologie di controllo:

      • Azione integrale

      • LQR

      • ...


    Modello del sistema
    Modello del sistema

    • 1 DOF Magnetic Bearing:

    Controllore

    v

    y

    yR


    Modello del sistema1
    Modello del sistema

    • Equazione del moto della palla:

      • m = massa, y distanza dall’induttore (y=0 implica pallina prossima all’induttore), k coefficiente di attrito viscoso, F(y ,i) forza elettromagnetica generata dal magnete con corrente sull’induttore pari a i.


    Modello del sistema2
    Modello del sistema

    • Induttanza del magnete:

      • L1, L0 e a costanti positive

        • Nota: l’induttanza cresce quando la pallina è vicina all’induttore

    • Energia accumulata nell’elettromagnete:


    Modello del sistema3
    Modello del sistema

    • Forza sulla pallina:

    • Legge di Kirchhoff

      • R è la resistenza del circuito e è il flusso del campo magnetico


    Modello del sistema4
    Modello del sistema

    • Variabili di stato:

    • Ingresso del sistema:

      • Modello non lineare:


    Requisito 1
    Requisito 1

    • Sia yR>0 la posizione desiderata per la pallina, trovare i valori Iss e Vss della corrente e del voltaggio necessari per mantenere la posizione y=yR a regime.

    • Steady-state y=yR


    Requisito 11
    Requisito 1

    • 1.1:

    • 1.2:


    Requisito 2
    Requisito 2

    • Analizzare la stabilità del punto di equilibrio ottenuto ponendo u = vss


    Requisito 21
    Requisito 2

    • Sistema lineare ottenuto:

      • dove:


    Requisito 22
    Requisito 2

    • Utilizzo Teorema Indiretto di Lyapunov

      • Studio degli autovalori della matrice A

        • L’espressione di A è complicata.....

    • Introduzione al Symbolic Toolbox di Matlab:

      • Scopo: calcolo di espressioni letterali

        • Defizione di una variabile letterale:

          • Comando syms

            • Es: syms x; solve(x^2+2*x+1)


    Requisito 23
    Requisito 2

    • Non tutte le funzioni Matlab sono compatibili con variabili simboliche!

      • Esempio di funzioni utili compatibili:

        • solve, eig, det

  • Idea1:

    • Applico il comando eig sulla matrice A definita mediante variabili di tipo simbolico

      • L’espressione ottenuta è comunque molto complicata!


  • Requisito 24
    Requisito 2

    • Idea2:

      • Definisco un sistema benchmark:

        • Dalla condizione necessaria del criterio di Routh deduco che l’equazione non ha soluzioni tutte con parte reale negativa. Devo verificare che non siano possibili soluzioni con autovalori sull’asse immaginario.


    Requisito 3 1
    Requisito 3.1

    • Progetto controllore lineare per il sistema:


    Requisito 25
    Requisito 2

    • Tabella di Routh:

    Almeno in questa posizione cambia segno!


    Requisito 26
    Requisito 2

    • Dal criterio di Routh deduco che un autovalore della matrice A ha parte reale positiva:

      • Dal teorema indiretto di Lyapunov deduco che l’equilibrio è instabile


    Requisito 3
    Requisito 3

    • Progettare un controllore per linearizzazione nel punto di equilibrio che corrisponde al valore di yR desiderato.

      • Utilizzare state-feedback

    • Dati del problema:

      • m=0.01 kg, k=0.001 N/m/s, a=0.005 m, L0 = 0.01 H, L1= 0.02 H, R =10 Ohm yR = 0.05 m

        • Posso utilizzare differenti modalità di sintesi del controllore!

          • Controllo lineare per assegnamento degli autovalori

          • Controllo integrale

          • LQR


    Requisito 3 11
    Requisito 3.1

    • Verifica controllabilità

      • rank(ctrb(A,B))=3

        • Sistema completamente controllabile

    • Progetto una retroazione dello stato

      • con K progettato secondo un qualche criterio (pole placement, LQR, etc)

    • Controllore ottenuto:


    Requisito 3 12
    Requisito 3.1

    • Verifica delle proprietà di robustezza della legge di controllo ottenuta

      • Si supponga che la massa m sia differente da quella nominale

      • Verificare in Matlab cosa accade alla variabile di interesse y(t)

        • La legge di controllo non è robusta! A fronte di incertezze il valore a regime differisce da quello desiderato (osservare non robustezza intrinseca della data a regime dal controllo)

        • IDEA: estensione del sistema con un integratore


    Requisito 3 2
    Requisito 3.2

    • Confronto schemi di controllo: (nominal case)

      • 1:

      • 2:

      • 3:

      • 4:

    NOTA: siccome è possibile imporre le condizioni iniziali dell’integratore è possibile rendere equivalenti i 3 schemi di controllo! (VEDI SIMULiNK)


    Requisito 3 21
    Requisito 3.2

    • Sistema esteso:

    • Verifica controllabilità

      • rank(ctrb(Ae,Be))=4

        • Sistema completamente controllabile

    NOTA: il sistema è in equilibrio

    Se x1 coincide con yR


    Requisito 3 22
    Requisito 3.2

    • Progetto una retroazione dello stato

    • Legge di controllo completa:

      • Nota: la legge di controllo per migliorare le prestazioni include sia il termine di feedforward dovuto all’azione integrale che quello nominale


    Requisito 3 23
    Requisito 3.2

    • K=[K1 K2] progettato secondo un qualche criterio (pole placement, LQR, etc.)

    • In particolare consideriamo un regolatore ottimo stazionario con Q=eye(4), R=1

      • Imponiamo inoltre un margine di stabilità di 0.1 per garantire autovalori a parte reale sufficientemente negativa


    Requisito 4
    Requisito 4

    • Verificare in Matlab/Simulink le proprietà ottenute svolgendo considerazioni circa la robustezza delle differenti leggi di controllo

    • Stimare la regione di attrazione del controllore variando lo stato iniziale del sistema


    Controlli ls2

    Controlli LS

    Esercitazione 5

    Linearizzazione del modello dinamico di una aereo a decollo verticale (VTOL)


    Modello vtol
    Modello VTOL

    • VTOL (Vertical Take-Off and Landing)

    x

    TM

    1

    M : massa del velivolo

    J : momento di inerzia rispetto al centro di massa

    l : lunghezza alare

    F

    1

    l

    F

    Mg

    y


    Linearizzazione del modello
    Linearizzazione del modello

    • Riscrivo il sistema non lineare:

    • Equilibrio


    Linearizzazione del modello1
    Linearizzazione del modello

    • Cambio di variabili:

    • Modello linearizzato:


    Linearizzazione modello
    Linearizzazione modello

    • Sistema lineare:


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