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第五章 精密機械隨機控制

第五章 精密機械隨機控制. R. J. Chang Department of Mechanical Engineering NCKU. § 5.1 機器隨機動態 § 5.2 線上狀態估測 § 5.3 精準機電控制 § 5.4 精準控制模擬. § 5.1 機器隨機動態 (1). 線性動態方程隨機響應： 隨機響應分析包括時域與頻域法；頻域法僅適用於穩態程序，故輸入程序必須為穩態，例如白噪音。而時域法可用於非穩態之輸入程序，例如擴延白噪音 ( Extended white noise ) 。

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第五章 精密機械隨機控制

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Presentation Transcript

  1. 第五章 精密機械隨機控制 R. J. Chang Department of Mechanical Engineering NCKU § 5.1 機器隨機動態 § 5.2 線上狀態估測 § 5.3 精準機電控制 § 5.4 精準控制模擬

  2. § 5.1 機器隨機動態(1) 線性動態方程隨機響應： 隨機響應分析包括時域與頻域法；頻域法僅適用於穩態程序，故輸入程序必須為穩態，例如白噪音。而時域法可用於非穩態之輸入程序，例如擴延白噪音(Extended white noise)。 擴延白噪音—噪音瞬間強度即為白噪音之強度，然其強度會隨時間而改變，而其頻譜不存在。 • 頻域法 1. SISO動態方程 w(t)為穩態隨機程序，則

  3. § 5.1 機器隨機動態(2) 2. SISO穩態響應 若x(t)為弱穩態程序，則x(t)之自相關函數為

  4. § 5.1 機器隨機動態(3) 則

  5. § 5.1 機器隨機動態(4) 例：已知w(t)為高斯白噪音，求以下輸出之頻譜及自相關 函數。

  6. § 5.1 機器隨機動態(5) 3. MIMO穩態響應 若系統為二階動態方程組如下

  7. § 5.1 機器隨機動態(6) • 時域法 1. MIMO動態方程

  8. § 5.1 機器隨機動態(7) 2. MIMO系統之時域解

  9. § 5.1 機器隨機動態(8) 3.平均值之進展方程

  10. § 5.1 機器隨機動態(9) 4.協方差之進展方程

  11. § 5.1 機器隨機動態(10) 5.隨機響應之進展方程 協方差隨時間之關係式與平均值之進展方程獨立， 故可以分開求解再疊加，此為線性方程之必然結果。

  12. § 5.1 機器隨機動態(11)

  13. § 5.1 機器隨機動態(12) 擴延非白噪音之建模： 若線性系統包含動態方程與量測方程，當系統輸入為擴延非白噪音程序時，如何求解系統輸出。 • 狀態方程具有擴延非白噪音輸入

  14. § 5.1 機器隨機動態(13) 設計整形濾波器 擴充狀態方程 擴充輸出方程

  15. § 5.1 機器隨機動態(14) • 量測方程具有擴延非白噪音輸入 設計整形濾波器 擴充狀態方程 整形濾波器之設計一般以頻譜因子分解法(Spectral factorization)設計得穩定極小相位之線性濾波器。

  16. § 5.1 機器隨機動態(15) 例：設計以下之整形濾波器

  17. § 5.1 機器隨機動態(16) 連續系統之離散表示及狀態進展： • 系統離散化 1. 連續系統

  18. § 5.1 機器隨機動態(17) 2. 離散系統

  19. § 5.1 機器隨機動態(18) • 離散系統參數 1. 非時變系統參數

  20. § 5.1 機器隨機動態(19) 2. 一階近似參數 當系統之暫態變化，或者系統之緩慢時變遠小於 取樣時間Dt 時，離散系統之參數可以下式近似計算。

  21. § 5.1 機器隨機動態(20) • 離散系統狀態之進展 1. 平均值進展方程 2. 協方差進展方程 以上之平均值與協方差進展方程無任何相關；只要 分別給定起始狀態之統計訊息即可個別或同時求解。

  22. § 5.1 機器隨機動態(21) 非線性動態方程隨機響應： 非線性動態之隨機響應問題，本質上為一非封閉性(Non-closure)型之問題，即必須藉助物理或數學近似方能求解。以近似求解之結果，常遭遇的兩個問題為： 1.輸出響應解的精確性。 2.系統強健穩定響應解之參數空間。 常用解法－ 高斯封閉法(Gaussian Closure Method) 非高斯封閉法(Non-Gaussian Closure Method) 統計線性化法(Statistical Linearization Method) 最大熵法(Maximum Entropy Method) 資訊封閉法(Information Closure Method)

  23. § 5.2 線上狀態估測(1) 濾波問題與歷史背景： • 歷史背景 卡曼濾波器之連續動態表示稱為卡曼-比西(Kalman- Bucy)濾波器。

  24. § 5.2 線上狀態估測(2) • 濾波問題 如何設計一濾波器可以使信號與雜訊分離？ • 維納的貢獻 維納將濾波問題視為統計信號估測問題，推導出一 積分方程稱為維納-霍夫(Wiener-Hopf)方程，可解出穩態連續線性非時變濾波器。

  25. § 5.2 線上狀態估測(3) 統計信號處理： • 一般問題敘述 • 問題類型

  26. § 5.2 線上狀態估測(4) 濾波問題之數學描述： • 系統模型 • 起始條件 • 量測模型

  27. § 5.2 線上狀態估測(5) 卡曼濾波器之推導： • 問題敘述 如何結合所有可獲取的量測數據，以及事先已知之 系統與量測元件之數據傳輸程序，以便得到最精準的系 統狀態估測。 • 一般推導法 貝斯(Bayesian)法－最完整、假設條件最少的機率理論推 導法。 直交投影法－構建在希爾伯特(Hilbert)空間之幾何推導 法，需掌握廣義投影幾何之運算。 最小均方誤差法－推導簡單，但須事先假設估測器之模 型結構，簡化問題為參數優化之代數 推導。

  28. § 5.2 線上狀態估測(6) • 數學推導 1. 連續系統之離散表示

  29. § 5.2 線上狀態估測(7) 2. 量測前之狀態偏差變量 3. ti量測後得到的新資訊 4. 結合量測前的狀態與量測之更新資訊以估測新狀態 5. 結合量測後之狀態精度表示

  30. § 5.2 線上狀態估測(8) 6. 參數優化求解K(ti) 7. 量測後之狀態精度計算 8. 估測狀態與誤差進展

  31. § 5.2 線上狀態估測(9) 卡曼濾波器循環：

  32. § 5.2 線上狀態估測(10) 例：估測常數值

  33. § 5.2 線上狀態估測(11) 模擬高斯白噪音

  34. § 5.2 線上狀態估測(12) 誤差估測(初始猜測值 (0) = 4) (a). K = 0.01, (b). K = 0.05, (c). K =Kalman gain ;

  35. § 5.2 線上狀態估測(13) %原始碼(for MATLAB 6.5)% clear;clc; N=2001; T0=500; % Recording time length time=[0:T0/(N-1):T0]'; % Time series v_sd=1; % Standard deviation of v(t) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%系統方程%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x=2.*ones(N,1); % Function x(t) zero_e=0.*ones(N,1); v=normrnd(0,v_sd,N,1); % Gaussian white noise, v(t) z=x+v; % Function z(t) z_co=cov(z);v_ba = mean(v);v_co = cov(v); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%初始條件%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% x_heat1(1,1) = 4;x_heat2(1,1) = 4;x_heat3(1,1) = 4; P(1)=(x_heat1(1,1) - x(1)).^2; K1=0.01;K2=0.05; K3(1)=P(1)./(P(1)+v_sd.^2); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%機率密度函數%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% wield=abs(max(v)-min(v)); deta_w=0.4.*v_co.^0.5; nn=round(wield/deta_w); [p,w]=hist(v,nn); p=p./(N.* deta_w);

  36. § 5.2 線上狀態估測(14) %續上頁% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%狀態估測%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% for i=2:N x_heat1(i,1)=x_heat1(i-1,1)+K1.*(z(i-1)-x_heat1(i-1,1)); x_heat2(i,1)=x_heat2(i-1,1)+K2.*(z(i-1)-x_heat2(i-1,1)); x_heat3(i,1,1)=x_heat3(i-1,1)+K3(i-1).*(z(i-1)-x_heat3(i-1,1)); P(i)=(P(i-1).*v_sd.^2)./(P(i-1)+v_sd.^2); K3(i)=P(i)./(P(i)+v_sd.^2); end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%誤差估測%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% e1=x_heat1-x;e2=x_heat2-x;e3=x_heat3-x; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%圖形輸出%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure(1); subplot(211); plot(time,v);xlabel('Time in sec');ylabel('v(t)');grid; subplot(212); plot(w,p);grid;legend('Probability Density Function of v(t)',2); figure(2); subplot(311); plot(time,e1,time,zero_e,'r');legend('K = 0.01',1); subplot(312); plot(time,e2,time,zero_e,'r');legend('K = 0.05',1); subplot(313); plot(time,e3,time,zero_e,'r');xlabel('Time in sec'); legend('K = Kalman gain',1);

  37. § 5.2 線上狀態估測(15) 例：卡曼濾波器應用於兩組統計數據合併之估測 已知：兩組數據數據分佈 求：合併兩組數據之最佳統計分佈估測

  38. § 5.2 線上狀態估測(16) 非線性系統估測器： • 估測問題 非線性系統方程 線性量測方程 目標函數

  39. § 5.2 線上狀態估測(17) • 最佳估測解 Kolmogorov與Kushner方程

  40. § 5.2 線上狀態估測(18) (續)

  41. § 5.3 精準機電控制(1) 系統範疇：

  42. § 5.3 精準機電控制(2) 例：

  43. § 5.3 精準機電控制(3) 隨機控制理論： • 非適應控制 1.最小預測誤差(Minimum Prediction Error)控制 最小變異量(Minimum Variance)控制 隨模(Model Reference)控制 2.性能與代價優化控制 線性二次高斯(Linear Quadratic Gaussian, LQG)控制 廣義預測控制(Generalized Prediction Control, GPC) 3.其他控制 非LQG控制 協方差設定(Covariance Assignment)控制 最小熵(Minimum Entropy)控制

  44. § 5.3 精準機電控制(4) • 適應控制 最小預測誤差適應控制 最小變異量適應控制－ 例：自調控制(Self -Tuning Control) 隨模適應控制 適應極點設定(Pole Assignment)控制

  45. § 5.3 精準機電控制(5) 控制結構： 外界與控制系統之交互作用將造成控制信號之干擾與控制系統之變異。精密機電控制系統中，干擾信號與變異行為需以隨機理論建模。

  46. § 5.3 精準機電控制(6) • 隨機調節器

  47. § 5.3 精準機電控制(7) • 自調控制 自調控制為Astrom及Wittenmark所提出之控制結構， 目前在工業程序控制廠有廣泛的應用。

  48. § 5.3 精準機電控制(8) • 隨機最佳控制－僅含外在隨機干擾之控制 控制器執行兩項獨立功能： 1.更新 p(x(i)| y(j), u*(j-1), j = 1,2,…,i ). 2.由狀態訊息 x(i) 決定最佳控制 u*(i).

  49. § 5.3 精準機電控制(9) • 隨機適應次最佳控制－含狀態量測隨機外在干擾及系統 內部變異。 由於受控機械之系統參數不確定，若將系統參數視 為新狀態以設計最佳控制器，則本適應控制會成為非線 性控制系統；因此，最佳控制將極難達成！故一般採用 次最佳控制設計。

  50. § 5.3 精準機電控制(10) 控制器穩定性： • 不同收斂性之關係

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