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第三章 线性代数 方程组. 第一节 矩阵的秩 第二节 线性代数方程组的解 第三节 向量的线性相关与线性无关 第四节 线性方程组的结构. 第一节 矩阵的秩. 3.1.1 矩阵的秩的概念 3.1.2 秩的计算. 返回. 3.1.1 矩阵的秩的概念. 定义1 对于 m×n 矩阵 A， 称其一切非退化方子矩阵的最高阶数 k 为 A 的 秩 ( rank)， 记作 r(A)， 并规定 r(0)=0. 例1 求下面矩阵的秩 ：. 因为矩阵没有4阶子式，则 r(A)<4;
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第三章 线性代数 方程组 • 第一节 矩阵的秩 • 第二节 线性代数方程组的解 • 第三节 向量的线性相关与线性无关 • 第四节 线性方程组的结构
第一节 矩阵的秩 • 3.1.1 矩阵的秩的概念 • 3.1.2 秩的计算 返回
3.1.1 矩阵的秩的概念 定义1 对于m×n矩阵A，称其一切非退化方子矩阵的最高阶数k为A的秩(rank)，记作r(A)，并规定r(0)=0. • 例1 求下面矩阵的秩：
因为矩阵没有4阶子式，则r(A)<4; • 矩阵A的第1、2行是对应成比例的，而A的任一个3阶只是必然同时含有A的第1和第2行的部分，按行列式的性质知A的任一3阶子式皆等于零，故r(A)<3； 并且有2阶子式 所以r(A)=2.
矩阵的秩的一些相关性质 若发现A有一个非零k阶子式，则必有r(A)≤k.而在r(A)=k时，表明A又非零的k阶子式，但并不说明A的k阶子式均不为零，然而可以断定一切高于k阶(如果存在的话)的子式必为零. 若A是m×n矩阵，则必有 r(A)≤min(m,n) r(A)=r(A') 当且仅当A是零矩阵时，r(A)=0.
若A是n阶矩阵，则r(A)≤n，当且仅当det(A)≠0时， r(A)=n，故也将行列式不为零的矩阵（非退化矩阵）称为满秩阵，并称退化阵为降秩阵. 返回
3.1.2 矩阵秩的计算 • 定义2称满足以下两个条件的m×n矩阵为梯矩阵： 1. 第k+1行的首非零元（如果有的话）前的零元个数大于第k行的这种零元个数(k=1,2,…,m-1). 2. 如果某行没有非零元，则其下所有行的元全为零.
行最简形式 一个矩阵的非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0. • 例2对A进行行初等变换化为行最简形式B： • 解：
定理1 任一m×n矩阵A经有限次行初等变换后秩不变. • 推论1 任一m×n矩阵A经有限次列初等变换后秩不变. • 推论2 设A是任一m×n矩阵，而B是m（或n）阶满秩阵，则必有r(BA)=r(AB)=r(A). • 推论3 若已知任一m×n矩阵A的标准形分解 A=PNQ 其中N= ，则必有r(A)=r（即为单位阵 的阶数）.
定理2任一m×n矩阵A必可通过有限次行初等变换而化成梯矩阵.定理2任一m×n矩阵A必可通过有限次行初等变换而化成梯矩阵. • 例3对矩阵 用行初等变换法将其化成梯矩阵.
根据定理1，从最后的梯矩阵B可以看出矩阵A 的秩，即r(A)=r(B)=3. • 计算矩阵的秩的方法：求一个与A等价的梯矩阵，然后数出该梯矩阵的非零行的行数而观察得到r(A). 返回
第二节 线性代数方程组的解 • 3.2.1 齐次与非齐次线性方程组相容性的判定定理 • 3.2.2 齐次与非齐次线性方程组求解步骤与举例 返回
3.2.1 齐次与非齐次线性方程组 相容性的判定定理 • 定理3n元线性方程组Ax=b （1）无解的充要条件是r(A)＜r(Ã)； （2）有惟一解的充要条件是r(A)=r(Ã)=n； （3）有无限多解的充要条件是r(A)=r(Ã)＜n. 返回
3.2.2 齐次与非齐次线性方程组的 求解步骤与举例 • 1. 对于非齐次线形方程组，把它的增广矩阵Ã化成阶梯形，从Ã的行阶梯形可同时看出r(A)和r(Ã).若r(A)＜r(Ã)，则方程组无解. • 2. 若r(A)=r(Ã)，则进一步把Ã化成行最简形式.而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A化成行最简形式.
3. 设r(A)=r(Ã)=r，把行最简形式中r个非零首元所对应的非零元对应的未知数取作非自由未知量，其中n-r个未知量取作自由未知量，并令自由未知量分别等于 ，由Ã（或A）的行最简形式，即可写出含n-r个参数的通解.
例1 求解非齐次线性方程组 • 解：对增广矩阵Ã实行行初等变换，
亦即通解为 • 定理4 （1）线性方程组Ax=b有解的充要条件是r(A)=r(A|b)； （2）n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是r(A)＜n. 返回
第三节 向量的线性相关 与线性无关 • 3.3.1 概念 • 3.3.2 性质 • 3.3.3 向量组的秩 • 3.3.4 矩阵的行秩与列秩 返回
3.3.1 向量的线性相关与线性无关的概念 • 定义3对给定的一组k个向量 ，若存在不全为零的数 ，使成立 称这k个向量（或该向量组）是线性相关的；相反，当且仅当 时上式才成立，则称它们是线性无关的.
例1已知向量 线性无关，而 试证向量 亦线性无关. • 解：从定义出发，考察 由于
成为 由 线性无关，可推出 对这个齐次方程组，因系数行列式 可推出必有 ，故 亦线性无关. 返回
3.3.2 性质 • 定理5 向量组 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可依其余向量线性表示（k≥2）. • 定理6 若已知向量 线性无关，而加上向量 后，向量 ，成线性相关，则向量 必可由 线性表出，且表出式是惟一确定的.
性质1 对一组给定向量 ，若将其每个向量 都删去若干具有相同序号的分量，形成一组“截短”向量 ，则当 线性无关时，原向量 必线性无关. • 性质2 一组线性无关向量的任一部分组必线性无关. • 性质3 给定一组向量 ，若对其每个向量 ，都添加、插入若干同序号的分量，形成一组“加长”向量 线性相关时，原向量 必线性相关.
性质4 具有线性相关部分向量组的任一组向量必是线性相关的. • 性质5 含有零向量的任一组向量必是线性相关的. • 性质6 当n＞k时，k个n维向量 必线性相关.
线性相关性与线性方程组解的关系： • 确定向量 的线性相关性，相当于确定以 为系数矩阵的齐次线性方程组是否有零解； • 确定向量 能否由 线性表出，相当于讨论非齐次线性方程组 的相容性. 返回
3.3.3 向量组的秩 • 定义4 称给定一组向量 之具有如下两条性质的部分组 ，为最大线性无关(部分)组： （1）线性无关； （2）每个向量 皆可由其线性表示. • 例2 求向量组 的一个最大线性无关组.
解：设 ，对A进行行初等变换化为阶梯形矩阵：
定义5若 是给定向量组 的一个最大线性无关组，则称该最大线形无关组所含向量的个数r为给定向量组的秩. • 等价向量组：对给定的两组向量，若前一组的每个向量皆可由后一组向量线性表出，同时，后一组的每个向量也可由前一组向量线性表出，就称这两组向量等价. 返回
3.3.4 矩阵的行秩与列秩 • 定义6 对m×n矩阵， 分别称列向量组 及行向量组 的秩A的列秩与行秩，分别记作 及 .
定理7 设A是任一m×n矩阵，则其列秩 必等于A的秩r(A)；行秩 必也等于A的秩r(A)，即有 = =r(A)． 返回
第四节 线性方程组解的结构 • 3.4.1 齐次线性方程组 • 3.4.2 非齐次线性方程组 返回
3.4.1 齐次线性方程组 • 齐次线性方程组解的性质： • 1.两个解的和还是方程组的解； • 2.一个解的倍数还是方程组的解； • 3.解的线性组合还是方程组的解.
定义7 齐次线性方程组Ax=0的一组解 称为Ax=0的一个基础解系，如果： 1）Ax=0的任一个解都能表成 的线性组合； 2） 线性无关. • 定理8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于n-r，这里r表示系数矩阵的秩（n-r也就是自由未知量的个数）. 返回
3.4.2 非齐次线性方程组 • 若把一般线性方程组Ax=b的常数项换成0，就得到齐次线性方程组Ax=0．则方程组Ax=0称为方程组Ax=b的导出组． • 非齐次线性方程组解的性质： • １．线性方程组Ax=b的两个解的差是它的导出组Ax=0的解； • ２．线性方程组Ax=b的一个解与它的导出组Ax=0的一个解之和还是这个线性方程组的解．
定理９ 如果 是方程组Ax=b的一个特解，那么方程组的任一解γ都可以表成 γ= +η （其中η是导出组Ax=0的一个解）. • 推论 在方程组Ax=b有解的条件下，解是唯一的充分必要条件是它的导出组Ax=0只有零解. • 例1用基础解系表示下面线性方程组的通解.
解： 对增广矩阵施行行初等变换 （1）求非齐次方程组的一个特解 . 与B对应的非齐次方程组为：
令 得 所以 （2）求对应齐次方程组的一般解. 对应齐次方程组为 令 分别取 可得基础解系
于是，齐次线性方程组的一般解为 所以非齐次方程组的一般解为 γ= +ξ. 返回
