Nume:Lazar Iulia
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 14

Nume:Lazar Iulia Vlad Alexandra Todea Mirela Ghitun Patricia PowerPoint PPT Presentation


  • 50 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Nume:Lazar Iulia Vlad Alexandra Todea Mirela Ghitun Patricia Mic Diana Igescu Ilinca. CÂTEVA DEMONSTRAŢII ALE TEOREMEI LUI PITAGORA

Download Presentation

Nume:Lazar Iulia Vlad Alexandra Todea Mirela Ghitun Patricia

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Nume lazar iulia vlad alexandra todea mirela ghitun patricia

Nume:Lazar Iulia

Vlad Alexandra

Todea Mirela

Ghitun Patricia

Mic Diana

Igescu Ilinca


Nume lazar iulia vlad alexandra todea mirela ghitun patricia

CÂTEVA

DEMONSTRAŢII

ALE TEOREMEI

LUI PITAGORA

ENUNŢ: ,,În orice triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor’’

V.P.


Nume lazar iulia vlad alexandra todea mirela ghitun patricia

  • Pitagora ( 580 î.Hr. - 500 î.Hr.) a fost un filozof şi matematiciangrec, originar din insula Samos, întemeietorul pitagorismului, care punea la baza întregii realităţi teoria numerelor şi a armoniei. A fost şi conducătorul partidului aristocratic din Crotone (sudul Italiei). Scrierile sale nu s-au păstrat. Tradiţia îi atribuie descoperirea teoremei geometrice şi a tablei de înmulţire, care îi poartă numele. Ideile şi descoperirile lui nu pot fi deosebite cu certitudine de cele ale discipolilor apropiaţi.

  • Pitagora era ionian, originar din insula Samos, dar a emigrat la Crotone, în Italia de sud, unde a întemeiat şcoala ce-i poartă numele, cea dintîi şcoală italică a Greciei antice

  • Pitagora a fost un mare educator şi învăţător al spiritului grecesc şi se spune că a fost şi un atlet puternic, aşa cum stătea bine atunci poeţilor, filosofilor (de exemplu, Platon însuşi) şi comandanţilor militari etc.

  • Pitagora pare să nu fi scris nimic. Doctrina filosofică a pitagorismului ne este totuşi destul de bine cunoscută din lucrările lui Aristotel şi Sextus Empiricus, precum şi din lucrări ale pitagoricienilor de mai tîrziu. Totuşi, nu se poate stabili cu precizie ce aparţine lui Pitagora şi ce au adăugat pitagoricienii ulteriori. Celebrele texte "pitagoriciene" Versurile de aur ale lui Pitagora şi Legile morale şi politice ale lui Pitagora, existente şi în traduceri româneşti, aparţin unei epoci ulterioare.


1 demonstra ie folosind teorema catetei

1. Demonstraţie folosind teorema catetei

A

Δ ABC, m(<A)=90º, AD ┴ BC conf. T.C

=>

AB² = BC • BD

C

B

D

AC² = BC • CD , adunand membru cu

membru obtinem:

AB² + AC² = BC • ( BD + DC)

= BC • BC = BC²

Deci, BC² = AB² + AC² c.c.t.d.

V.P.


2 demonstra ie pe baza triunghiurilor asemenea

2. Demonstraţie pe baza triunghiurilor asemenea

A

ΔABC ~ ΔDBA (conf. caz UU) =>

1

b

c

x / c = c / a => c² = ax (1)

a-x

x

1

C

B

a

D

ΔABC ~ΔDAC (conf. caz UU) =>

TFP

(a-x) / b = b / a => b²= a(a-x)=a²- ax (2)

Adunand membru cu mebru (1) + (2) obtinem:

b²+c² = a²+ax – ax

Deci, a² = b² + c² c.c.t.d

V.P.


3 demonstra ie pe baza de arii ale patratelor

3. Demonstraţie pe baza de arii ale patratelor

K

J

Aria patratului ABFJ = c² = 3²u.a.

= 9 u.a.

c

L

A

F

Aria patratului ACLK = b² = 4²u.a.

= 16 u.a.

c

b

b

B

a

C

Aria patratului BCDE = a² = 5² u.a. = 25 u.a.

a

Observam ca: 5²= 4² + 3², deci

Aria BCDE = Aria ACLK + Aria ABFJ

E

D

In concluzie: a² = b² + c² c.c.t.d.

V.P.


4 demonstra ie dat de euclid in elemente

4. Demonstraţie dată de Euclid in ELEMENTE

G

ariaABE=1/2•BE•BN=1/2ariaBEMN

ariaBCI=1/2•BI•AB=1/2aria AHIB

Dar,ΔABE≡ΔBCI(LUL) =>

aria BEMN = aria AHIB(1)

F

H

ariaACD=1/2CD•CN=1/2ariaCDMN

A

ariaBCF=1/2CF•CA=1/2ariaCFGA

Dar, ΔACD≡ΔBCF (LUL)=>

aria CDMN = aria CFGA (2)

I

C

Adumand relelatiile 1 si 2 obtinem:

Aria(BEMN+CDMN)=aria(AHIB+CFGA)

Deci aria BCDE=aria (AHIB+CFGA)

adica BC² = AB² + AC² c.c.t.d.

N

B

E

D

V.P.

M


5 demonstra ie lui leonardo da vinci

5. Demonstraţie lui Leonardo da Vinci

a

E

În triunghiul dreptunghic ABC, m<(BAC)=90º

AB=c, BC=a, AC=b, pe ipotenuza BC construim patratul BCDE si ducem DB’┴AC, EC’┴DB’, AA’┴EC’.

Patratul BCDE se descompune in 4

triunghiuri dreptunghice egale cu triunghiul dreptunghic ABC de catete b si c si patratul AA”C”B”

de latura AB’=AC-B’C’= b-c, deci

Aria AB’C’A’ = AB”² - (b-c)²

Aria ABC=aria CDB’=aria DC’E=aria EA’B=bc/2

Avem aria BCDE = aria AB’C’A’ + 4 aria ABC sau

a² = (b-c)² +4 bc/2 = b² -2bc + c² +2bc

D

bc/2

A’

bc/2

C’

a

(b-c)²

a

A

bc/2

bc/2

B’

a

B

C

Adica, a² = b ²+ c² c.c.t.d.

V.P.


6 demonstra ie folosind rota ia a 2 triunghiuri

6. Demonstraţie folosind rotaţia a 2 triunghiuri

C

B

1’

BCDI patrat in care CE ┴ AB si DE ┴ CE apoi ducem DE ┴ CG; DF║CG si KF║ AB

Din constructii Δ1 ≡Δ1’ [(IU),<ABC≡<KBI, BI≡BC] si Δ2 ≡Δ2’ [(IU), <CDE≡<FDI, DI≡DC]

A

2’

E

1

K

H

D

I

2

G

F

Δ1 se va suprapune peste Δ1’ dupa o rotatie de 90º in jurul punctului B,iar Δ2 se va suprapune peste Δ2’ dupa o rotatie de 90º in jurul punctului D

In acest mod, patratul BCDI construit pe ipotenuza BC, a fost acoperit de patratele ABKG construit pe cateta AB si DFEG construit pe latura DE egala cu cateta AC

Deci, BC² = AC² + AB² c.c.t.d.

V.P.


7 demonstra ie cu 3 rotatii si 3 translatii

7. Demonstraţie cu 3 rotatii si 3 translatii

A

Construim patratul BJLC pe ipotenuza Δ ABC dreptunghic in A, patratul ADIC pe cateta AC peste ace4st triunghi, patratul GCEF de laturaCG=AB, unim BF, ducem KM ┴ DI, rezultand urmatoarele congruente de triunghiuri Δ1≡Δ1’; Δ2≡Δ2’;

(IU) (IU)

ΔABC≡ΔLKM≡ΔCLI

G

N

1

B

C

2

F

2’

D

E

H

M

Pentru acoperirea patratului BCLK: Δ1se transleaza NH apoi o rotatie de 90º in jurul lui H in Δ1’; Δ2’ dupa o rotatie de 90º in jurul lui Bcoincide cu Δ2; ΔABC va acoperi ΔKLM dupa o translatie BK; ΔCBE di patratul ACID ajunge in ΔCIL dupa o translatie CL si o rotatie de 90º in jurul lui L;Trapezul BEIH este comun patratelor BCLK si ACID

1’

I

K

L

Deci patratul BCLK de latura BC a fost acoperit de patratele ACID de latura AC si CGFE de latura AB=CG

Deci BC² = AC² + AB² c.c.t.d.

.

.

V.P.


8 demonstra ie folosind descompunerea unui trapez dreptunghic

8. Demonstraţie folosind descompunerea unui trapez dreptunghic

E

b

D

In trapezul dreptunghic ABDE avem m(<A)=m(<E)=90º, AB=CE=c, DE=AC=b, AC+CE=b+c (m(<BCD) =90º)

Aria ABDE = ½ (AB+DE)•AE=½ (b+c)(b+c)= ½ (b+c)²

Aria ABDE = aria ABC +aria CDE+ariaBCD=

= bc/2 + bc/2 + ½ • a²/2 = ½ (2bc + a²)

Deci (b+c)²= 2bc + a² sau

b²+2bc+c² = 2bc + a²

bc/2

c

a

a²/2

C

a

b

bc/2

B

A

c

Intradevăr, a² = b² + c² c.c.t.d.


9 demonstra ie cu triunghiuri asemenea

9. Demonstraţie cu triunghiuri asemenea

A

F

E

Pe ipotenuza si catetele triunghiului dreptunghic ABC, m(<BAC) = 90º, construim triunghiurile ΔFAB ≡ ΔECA ≡ ΔDCB ≡ ΔABC (conf.caz UU) apoi AA’┴ BC, A”B” ┴ AC, A”C” ┴ AB =>

AA = A’B’ = A’C’

BC AC AB inmultind cu ½ obtinem

AA = A’B’ = A’C’ = k

2BC 2AC 2AB

Sc

B’

Sb

C’

B

C

A’

Sa

D

Sa = BC• AA’ = BC²•AA’ = BC²•k Sb = AC • A’B’ = AC²• A’B’ = AC²• k

2 2 BC 2 2AC

Sc = AB • A’C’ = AB² • A’C’ = AB² • k cum Sa = Sb + Sc

2 2AB

k •BC² = k • AC² + k • AB² impartind prin k obtinem:

BC² = AC² + AB² c.c.t.d.

V.P.


10 demonstra ie lui bhaskara aciarya 1114 1178

10. Demonstraţie lui Bhaskara Aciarya (1114- 1178)

b

c

Primul patrat ABCD se descompune in 2 dreptunghiuri egale de arie bc si 2 patrate de arii b² si c².

Al doilea patratA’B’C’D’ egal cu patratul ABCD se descompune in 4 triunghiuri dreptunghice de arie bc/2, si un patrat de arie a² construit pe ipotenuza triunghiului dreptunghic de catete b si c.

Cum patratul A’B’C’D’ egal cu patratul ABCD, fiind de latura b + c, au ariile egale.

Aria ABCD = Aria A’B’C’D’, dezvoltand:

b² + c² + 2bc = a² + 4 bc

2

Deci, b² + c² = a² c.c.t.d.

D

C

bc

b

bc

c

A

B

c

b

bc/2

bc

2

b

bc

2

c

a

c

a

bc

2

bc/2

b

c

b

V.P.


Nv nd matematic nve i s g nde ti citat din grigore moisil

,,Învăţând matematică, înveţi să gândeşti’’.citat din Grigore Moisil

,,Geometria este cea mai bună şi mai simplă

dintre toate logicile, cea mai potrivită să dea inflexibilitate judecăţii şi raţiunii.’’definiţie de Denis Diderot


  • Login