Gestion_des_risques_et_risque_de_credit

1. 1 Gestion des risques et risque de cr´ edit Vivien BRUNEL This version: January 28, 2009

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3. Chapter 1 Les risques dans la banque 1.1 Activit´ es d’une banque On distingue essentiellement deux types de banques : les banques commerciales et les banques d’investissement. Les banques commerciales travaillent avec leurs clients, particuliers, professionnels, PME et grandes en- treprises dont elles collectent les d´ epˆ ots et ` a qui elles accordent des prˆ ets. Les banques commerciales sont s´ epar´ ees en g´ en´ eral en deux cat´ egories, selon le type de client` ele : la banque de d´ etail est en charge des particuliers et PME, la banque d’affaires est en charge des grandes entreprises. D’autre part, les banques d’investissement travaillent sur les march´ es financiers qu’elles interm´ edient et sont en charge des ´ emissions en primaire de titres sur les march´ es pour le compte de leur clients, les fusions-acquisitions, le trading de produits d´ eriv´ es... Il existe une sp´ ecificit´ e aux´Etats-Unis depuis la crise de 1929. Adopt´ e ` a l’apog´ ee de la crise en 1933, le Glass-Steagall Act visait ` a interdire la r´ ep´ etition de ce qui, ` a l’´ epoque, ´ etait per¸ cu dans l’opinion comme l’une des causes de la bulle boursi` ere : la sp´ eculation sur les actions par les banques de d´ etail. Cette loi a donc s´ epar´ e les banques commerciales des banques d’investissement, mais est peu ` a peu tomb´ ee en d´ esu´ etude pour disparaˆ ıtre en 1999 suite ` a la cr´ eation de Citigroup. Citigroup est un exemple de banque dite universelle, comme il en existe beaucoup en Europe. Les banques universelles rassemblent au sein d’un mˆ eme groupe des activit´ es de banque commerciale, de banque de r´ eseau, mais aussi de gestion d’actifs, de services financiers aux investisseurs, de services financiers sp´ ecialis´ es (cr´ edits ` a la consommation, assurance...). Pour bien comprendre la nature des risques de la banque, et la fa¸ con dont elle va les g´ erer, il faut connaˆ ıtre ses interlocuteurs. Ceux-ci sont de trois types : • Cr´ eanciers : l’activit´ e de base de la banque est de prˆ eter de l’argent ` a ses clients afin qu’ils puissent financer leur activit´ e ou leurs projets. Les cr´ eanciers de la banque sont donc des particuliers, des entreprises, ou des ´ etats. • March´ es financiers : l’acc` es privil´ egi´ e de la banque aux march´ es est d’autant plus important que 3

4. 4 CHAPTER 1. LES RISQUES DANS LA BANQUE cela permet ` a la banque de g´ erer une partie des risques engendr´ es par son activit´ e de financement. • R´ egulateur, autorit´ e de tutelle : l’activit´ e bancaire est tr` es r´ eglement´ ee, d’une part en France par l’AMF (Autorit´ e des March´ es Financiers), d’autre part par la commission bancaire qui impose aux banques de mettre des fonds propres en couverture du risque qu’elle prennent. Il existe donc un paradoxe au niveau des banques : si une r´ eglementation intervient sur le niveau de risque des banques, les d´ eposants sont plus confiants et la banque y trouve son int´ erˆ et. 1.2 D´ efinition des risques, typologie des risques Le risque est li´ e ` a la notion d’incertitude (variabilit´ e des gains ou pertes) mais ´ egalement au fait qu’il a des cons´ equences n´ egatives : on parle rarement du risque de gagner ! Ces deux aspects de la notion de risque sont contenus dans les mesures de risque habituellement utilis´ ees. La variabilit´ e des gains est mesur´ ee par la volatilit´ e, alors que les cons´ equences n´ egatives d’un risque sont mesur´ ees par la VaR (Value at Risk). De fa¸ con g´ en´ erale, un risque est un ´ ev´ enement qui peut affecter la chronique des flux ` a recevoir par un ´ etablissement financier (son compte de r´ esultat, sa valeur actuelle nette, ses ´ etats financiers). On distingue toutefois les risques portant sur un d´ ebiteur sp´ ecifique des risques du syst` eme tout entier, portant sur l’ensemble des banques. On parle respectivement de risque sp´ ecifique et de risque syst´ emique, ce dernier ´ etant une perturbation qui affecte gravement le fonctionnement du syst` eme, c’est-` a-dire ses acteurs (banques, institutions financi` eres), ses m´ ecanismes de fonctionnement (syst` emes de compensation, de r` eglement,...) et ses m´ ecanismes r´ eglementaires. Ce risque syst´ emique est susceptible d’engendrer des faillites en chaˆ ıne au sein du syst` eme bancaire. Les risques portant sur les banques sont de deux types : il y a les risques financiers et les risques non financiers. Les risques financiers sont les risques li´ es aux variations de prix des actifs financiers (actions, obligations, taux de change). On distingue : • Risque de liquidit´ e : Il s’agit du risque le plus important pour un ´ etablissement bancaire qui se mat´ erialise en g´ en´ eral par une course au guichet des ´ epargnants pour retirer leur ´ epargne suite ` a une rumeur de non solvabilit´ e par exemple. • Risque de cr´ edit : c’est le risque ”historique” de la banque dont les m´ etiers de base sont le prˆ et et le financement. Une banque qui prˆ ete ` a un ´ etat risqu´ e ou ` a une entreprise risqu´ ee prend le risque de ne pas r´ ecup´ erer l’int´ egralit´ e du principal de son prˆ et. Ce risque est li´ e ` a la qualit´ e de signature de l’emprunteur. Le risque de cr´ edit se subdivise en 4 cat´ egories : le risque de d´ efaut du client, le risque de d´ egradation de la qualit´ e de sa signature (risque de transition de rating), le risque de march´ e sur la qualit´ e de sa signature (ou risque de spread) et le risque de contrepartie sur les contrats d´ eriv´ es avec une contrepartie risqu´ ee. • Risque de taux d’int´ erˆ et : la hausse de la volatilit´ e des taux d’int´ erˆ ets survenue ` a partir des ann´ ees 70 a permis l’essor de la gestion actif-passif. Les d´ epˆ ots collect´ es (qui sont des engagements ` a court

5. 1.3. MESURE ET CONTRˆOLE DU RISQUE 5 terme de la banque vis-` a-vis des d´ eposants) sont plac´ es ` a moyen et long termes, faisant courir ` a la banque un risque de taux d’int´ erˆ et important compte tenu des sommes mises en jeu. • Risque de change : un ´ etablissement international a des activit´ es dans diff´ erents pays et publie un bilan dans une seule devise. Son r´ esultat est donc sujet aux fluctuations des taux de change. • Risque de march´ e : outre que les banques sont des investisseurs pour compte propre, leurs activit´ es d’interm´ ediation sur les march´ es financiers engendrent des risques li´ es aux fluctuations des march´ es (taux d’int´ erˆ ets, taux de change, cr´ edit, actions mati` eres premi` eres). • Options cach´ ees : ce risque est surtout important en banque commerciale. Un des exemples les plus courants est celui li´ e ` a l’option de remboursement anticip´ e d´ etenue par de nombreux particuliers qui s’endettent aupr` es des banques pour acqu´ erir leur r´ esidence principale. En effet, lorsqu’un client rembourse de fa¸ con anticip´ ee son cr´ edit, la banque doit renoncer ` a toucher les flux d’int´ erˆ ets qui ´ etaient pr´ evus dans le futur, ce qui constitue un manque ` a gagner. Par ailleurs, des produits d’´ epargne tr` es courants tels que le PEL par exemple contiennent de nombreuses options de taux d’int´ erˆ et, qui ne seront en g´ en´ eral pas exerc´ ees de fa¸ con optimale, ce qui rend leur couverture d’autant plus difficile ` a calibrer. Les risques non financiers comprennent entre autres : • Risque de marges (ou de volume) : de nombreuses activit´ es bancaires ont des revenus proportionnels au volume d’activit´ e. C’est par exemple le cas des asset managers (r´ emun´ eration proportionnelle aux encours g´ er´ es). Dans ce cas, si les lev´ ees d’encours sont faibles, les r´ emun´ erations futures seront faibles. • Risques r´ eglementaires et l´ egaux. • Risque op´ erationnel : fraude, bug informatique, incendie des locaux... Les grands sinistres bancaires sont souvent dus au risque op´ erationnel (Barings, SG). Selon le document consultatif du comit´ e de Bˆ ale, les risques op´ erationnels se d´ efinissent comme les risques de pertes directes ou indirectes r´ esultant de l’inadaptation ou de la d´ efaillance de proc´ edures, de personnes ou de syst‘emes ou r´ esultant d’´ ev´ enements ext´ erieurs (”the risk of direct or indirect loss resulting from inadequate or failed internal processes, people and systems or from external events”). Cette d´ efinition a ´ et´ e critiqu´ ee, car il est relativement difficile de calculer certaines pertes indirectes. 1.3 Mesure et contrˆ ole du risque La mesure et le contrˆ ole des risques sont r´ ealis´ es ` a plusieurs niveaux dans la banque et sont en g´ en´ eral organis´ es par le d´ epartement des risques et la direction financi` ere (pour ce qui concerne le risque de taux et de change). Pour le risque de cr´ edit, les d´ ecisions d’octroi de cr´ edit sont prises selon une intervention des diff´ erents niveaux hi´ erarchiques au sein de la direction des risques, et selon l’importance du dossier.

6. 6 CHAPTER 1. LES RISQUES DANS LA BANQUE Pour les risques de march´ e, des ´ equipes sont d´ etach´ ees sur place dans les salles de march´ e, dans les soci´ et´ es de gestion, au contact des ´ equipes commerciales, de structuration et de trading. Au niveau global de la banque, la gestion des risques est pilot´ ee via une allocation optimale des fonds propres. Cette allocation prend en compte le couple rentabilit´ e / risque de chaque transaction origin´ ee par la banque. Une r´ eglementation bancaire, n´ egoci´ ee ` a un niveau supranational et adapt´ ee dans chaque pays par les autorit´ es de tutelle, impose un niveau minimal de fonds propres (fonds propres r´ eglementaires) pour les banques.

7. Chapter 2 La gestion du risque de cr´ edit 2.1 Mod´ elisation d’un prˆ et bancaire La banque, en tant qu’interm´ ediaire financier, est au cœur du syst` eme de financement de l’´ economie ; tout le monde fait appel ` a sa banque pour acc´ eder au march´ e de la dette : particuliers, professionnels, entreprises, collectivit´ es, ´ etats, tous demandent ` a leur banque de financer leur effet de levier afin d’obtenir aujourd’hui des fonds pour acqu´ erir un bien ou un actif qu’il n’ont pas les moyens de financer par leurs seuls fonds propres. Ce qui rend un portefeuille bancaire particuli` erement risqu´ e est que le portage des prˆ ets sur le bilan de la banque est associ´ e ` a une grande incertitude sur les remboursements futurs. Cette incertitude vient avant tout du risque intrins` eque de chaque client et de chaque prˆ et qui ont une maturit´ e g´ en´ eralement tr` es longue. Les banques ont d´ evelopp´ e des m´ ethodes d’analyse du risque de leurs clients (d´ etermination de la probabilit´ e de d´ efaut), des prˆ ets individuels (determination du recouvrement et de l’exposition au moment du d´ efaut) et de leur portefeuille de cr´ edit (mod´ elisation des d´ ependances des d´ efauts). La mod´ elisation du rendement d’un prˆ et est beaucoup plus complexe que celui d’autres types de classes d’actifs ` a cause de l’asym´ etrie de sa loi de distribution. La valeur d’un prˆ et est limit´ ee ` a la hausse contrairement ` a celle des actions. En effet, si la situation d’une soci´ et´ e s’am´ eliore, la banque n’en profite pas car la soci´ et´ e peut se refinancer ` a un taux plus attractif. A l’inverse, si la situation de l’entreprise se d´ egrade, la banque en subit pleinement les cons´ equences car la marge que lui r´ emun` ere le prˆ et octroy´ e ne change pas. Cette asym´ etrie est caract´ eristique du risque de cr´ edit et on la retrouve au niveau de la loi des pertes du portefeuille de la banque. Dans le sc´ enario extrˆ eme o` u la soci´ et´ e n’est plus en mesure de rembourser sa dette, la banque ne r´ ecup´ erera qu’une fraction du montant prˆ et´ e. Il est donc essentiel pour la banque de connaˆ ıtre, sur chaque prˆ et, le montant d’Exposition Au D´ efaut (Exposure at Default en anglais ou EAD), qu’on peut d´ efinir comme la perte maximale que peut faire la banque sur ce prˆ et en cas de d´ efaut imm´ ediat. Suite au d´ efaut la perte support´ ee finalement est inf´ erieure ` a l’EAD car la banque obtient un recouvrement R non nul sur le prˆ et. La mod´ elisation de la perte sur un prˆ et passe donc par l’estimation de la perte en cas de d´ efaut (Loss Given Default LGD = 1−R). Ces informations sur l’amplitude des pertes en cas de d´ efaut concernant le prˆ et doivent ˆ etre compl´ et´ ees par une information sur la fr´ equence des d´ efauts d’ici 7

8. CHAPTER 2. LA GESTION DU RISQUE DE CR´EDIT 8 la maturit´ e du prˆ et. Cette information est contenue dans la probabilit´ e de d´ efaut (Probability of Default ou PD) ou, da fa¸ con plus pr´ ecise, de la structure par terme des probabilit´ es de d´ efaut de l’emprunteur. Le produit entre la perte en cas de d´ efaut et l’exposition au d´ efaut s’appelle la s´ ev´ erit´ e de la perte, qui est ´ egalement une variable al´ eatoire. Vue d’aujourd’hui, la perte L ` a venir est donc une variable al´ eatoire ´ egale au produit de la s´ ev´ erit´ e de la perte et de la variable indicatrice du d´ efaut : L = EAD.LGD.ID= SEV.ID o` u IDest la variable indicatrice du d´ efaut et SEV la variable al´ eatoire de s´ ev´ erit´ e de la perte. Les trois param` etres de risque caract´ eristiques d’un prˆ et (EAD, LGD et PD) servent ` a estimer le risque attendu (perte moyenne ou Expected Loss (EL)) et le risque non attendu (Unexpected Loss (UL)) qui correspond ` a l’´ ecart-type (ou la variance) de la perte. Nous calculons la perte moyenne sur le prˆ et : EL = E(L) = PD.LGD.EAD, et la variance de la perte est : var(L) = var(SEV ).PD + E(SEV )2.PD.(1 − PD) Il existe plusieurs types de prˆ ets que l’on classe suivant leurs caract´ eristiques contractuelles. On distingue principalement les prˆ ets ` a terme (term loans) des prˆ ets revolving. Les prˆ ets ` a terme sont des prˆ ets o` u le montant prˆ et´ e est octroy´ e ` a la date initale, et les ´ ech´ eances de remboursement sont d´ efinies contractuellement. On parle de prˆ ets amortissables. Un prˆ et in fine ou bullet a une seule ´ ech´ eance, ` a maturit´ e du prˆ et. Il existe d’autres profils d’amortissement classiques tels que le profil lin´ eaire ou le profil d’amortissement ` a annuit´ es constantes, Principal + Int´ erˆ ets constant (P+I constant). Prenons l’exemple d’un prˆ et P+I constant et appelons x la mensualit´ e pay´ ee par l’emprunteur, T la maturit´ e du cr´ edit, rM le taux d’int´ erˆ et pay´ e par l’emprunteur sur son capital restant dˆ u, Ktle capital restant dˆ u ` a la date t. Supposons que l’emprunteur paie ses int´ erˆ ets ` a fr´ equence r´ eguli` ere θ (tous les mois par exemple). A la date de paiement de la mensualit´ e t+θ, l’emprunteur paie un montant d’int´ erˆ ets ´ egal ` a rMKtθ et rembourse un montant de principal ´ egal ` a x − rMKtθ. Donc la variation du capital restant dˆ u entre les dates t et t + θ est : Kt+θ− Kt= rMKtθ − x Sachant que le capital restant dˆ u initial est ´ egal au montant emprunt´ e initialement M (K0 = M), le capital restant dˆ u est solution d’une suite arithm´ etico-g´ eom´ etrique dont la solution est obtenue par r´ ecurrence : Kt= x1 − (1 + rMθ)t/θ rMθ La mensualit´ e x est fix´ ee par la condition KT= 0, ce qui donne : + (1 + rMθ)t/θM (1 + rMθ)t/θ (1 + rMθ)t/θ− 1rMθ x = M

9. 2.1. MOD´ELISATION D’UN PRˆET BANCAIRE 9 1200 1000 800 Intérêts Principal 600 400 200 0 0 20 40 60 80 100 120 Figure 2.1: Evolution des flux d’int´ erˆ et et de principal sur un prˆ et amortissable P+I constant. Le graphique ci-dessous donne l´ evolution des flux d’int´ erˆ ets et de principal ` a chaque mensualit´ e. Le prˆ et a un montant nominal de 100 000 EUR, un taux d’int´ erˆ et rM = 5%, une maturit´ e T = 10 ans. Les mensualit´ es fixes s’´ el` event ` a 1060 EUR. Certains prˆ ets class´ es dans la cat´ egorie des term loans ne sont pas tir´ es ` a la date initiale mais font l’objet de tirages ´ ech´ eanc´ es pendant la dur´ ee de vie du prˆ et. Ces prˆ ets sont sp´ ecifiques de certains types de financement de projet ou de financements exports car les besoins de financement sont ´ etal´ es dans le temps. Nous reviendrons sur ces types de prˆ ets dans le chapitre 4. Les prˆ ets revolving offrent une possibilit´ e suppl´ ementaire ` a l’emprunteur qui peut ` a loisir tirer sur sa ligne de cr´ edit dans la limite d’une enveloppe d´ efinie contractuellement. On distingue donc la partie tir´ ee (outstanding) du cr´ edit de la partie non tir´ ee. L’enveloppe de cr´ edit disponible est appel´ ee engagement (commitment en anglais) de la banque. Le montant tir´ e est le montant que la banque est susceptible de perdre si l’emprunteur fait faillite imm´ ediatement. Prenons l’exemple d’un emprunteur qui tire un montant de 10 MEUR sur une capacit´ e de cr´ edit totale de 100 MEUR. Pour autant, le risque de la banque ne se limite pas au montant tir´ e de 10 MEUR, car le client peut tirer les 90 MEUR suppl´ ementaires autoris´ es et faire d´ efaut ensuite. La partie non tir´ ee d’un prˆ et (ou le montant d’engagement total) est donc un ´ el´ ement de risque important ` a prendre en compte dans le calcul de l’EAD. Si on peut raisonnablement mod´ eliser la partie tir´ ee comme un prˆ et ` a terme, le tirage de la partie non tir´ e de la part de l’emprunteur est optionnel et n´ ecessite donc une mod´ elisation sp´ ecifique. Il faut noter qu’il existe une corr´ elation entre le niveau de tirage d’un prˆ et de type revolving et la situation financi` ere de l’emprunteur, car un emprunteur en d´ etresse va utiliser son enveloppe de cr´ edit pour tenter d’am´ eliorer sa situation. La mod´ elisation du risque de cr´ edit sur les prˆ ets bancaires passe ´ egalement par l’analyse des options attach´ ees au prˆ et, appel´ ees covenants. Ces options sont soit au b´ en´ efice de la banque soit ` a celui de l’emprunteur. Parmis les exemples de covenants classiques, on peut mentionner la possibilit´ e de modifi- cation du niveau de tirage maximum sur un prˆ et revolving, une am´ elioration de la seniorit´ e de l’emprunt, une augmentation du niveau de collat´ eral, un repricing du prˆ et. La prise en compte du caract` ere option-

10. CHAPTER 2. LA GESTION DU RISQUE DE CR´EDIT 10 nel de ces covenants et de l’option de tirage sur le prˆ et conduit ` a estimer l’EAD. La modification des covenants peut entrainer dans certaines structurations le d´ eclenchement d’un ´ ev´ enement de d´ efaut, dont nous reparlerons au chapitre 2 qui concerne les swaps de d´ efaut (CDS). Le niveau de LGD est quant-` a lui conditionn´ e au niveau de priorit´ e de remboursement du prˆ et en cas de liquidation de l’emprunteur et du montant de collat´ eral dont b´ en´ eficie le prˆ et. Ainsi, un prˆ et est soit senior soit subordonn´ e selon le niveau o` u il se situe dans la structure de capital, et il sera soit secured soit unsecured selon qu’il est ou n’est pas collat´ eralis´ e (c’est-` a-dire qu’il existe un actif nanti au b´ en´ efice du prˆ eteur pour le cas o` u un d´ efaut surviendrait). Apr` es le d´ efaut, et au moment de la liquidation et du remboursement des cr´ eanciers, le prˆ et unsecured est rembours´ e en fonction de son niveau de seniorit´ e, c’est-` a-dire une fois que les prˆ ets qui lui sont plus senior ont ´ et´ e compl` etement rembours´ es. Le remboursement s’effectue ` a partir des fonds d´ egag´ es lors de la liquidation de l’actif de la soci´ et´ e. Pour chaque niveau de seniorit´ e il existe des statistiques de LGD unsecured fournies par les agences de rating. Le tableau ci-dessous donne les statistiques de Moody’s sur diff´ erents instruments de dette pour diff´ erents niveaux de s´ eniorit´ e et de protection : Instrument Prˆ ets bancaires Senior secured Senior unsecured Obligations Senior secured Senior unsecured Senior subordinated Junior subordinated Action pr´ ef´ erentielles Recouvrement 76% 80% 39.7% 76% 76% 29.2% 12.0% 1.1% Les prˆ ets secured b´ en´ eficient d’un rehaussement de leur qualit´ e de cr´ edit grˆ ace ` a la pr´ esence d’un collat´ eral. Certains prˆ ets ont un collat´ eral cash, dont l’avantage est d’ˆ etre tr` es liquide et connu ` a l’avance, mais plus g´ en´ eralement, le collat´ eral est un actif qui a une valeur de cession (al´ eatoire) ` a la date de d´ efaut, par exemple la valeur d’une avion dans le cas d’un financement a´ eronautique. Au moment du d´ efaut, la cession du collat´ eral pour une valeur C permet de rembourser tout ou partie du prˆ et. Si le prˆ et n’est pas totalement rembours´ e le montant r´ esiduel du prˆ et b´ en´ eficie du recouvrement unsecured (nous noterons la LGD unsecured LGDu). On en d´ eduit donc la formule g´ en´ erale de la s´ ev´ erit´ e pour un prˆ et secured : SEV = LGDu(EAD − C)+ Si le prˆ et est ´ egalement garanti, la s´ ev´ erit´ e de la perte r´ eelle sera inf´ erieure ` a la s´ ev´ erit´ e unsecured car le recouvrement obtenu sera sup´ erieur. Le garanties sont apport´ ees par des ´ etablissements tiers, diff´ erents du prˆ eteur et de l’emprunteur. Lorsque l’emprunteur fait d´ efaut, le collat´ eral est vendu puis le garant d´ edommage le prˆ eteur, au maximum ` a hauteur du montant maximum d’appel en garantie. Dans l’exemple d’un prˆ et en d´ efaut de 100 MEUR, si on a un collat´ eral qui vaut 40 MEUR et que le garant peut ˆ etre appel´ e ` a hauteur de 30 MEUR, l’exposition r´ esiduelle unsecured de la banque sur l’emprunteur

11. 2.1. MOD´ELISATION D’UN PRˆET BANCAIRE 11 s’´ el` eve ` a 100-40-30 = 30 MEUR. La formule g´ en´ erale en tenant compte de l’appel en garantie G s’´ ecrit : SEV = LGDu(EAD − C − G)+ La diff´ erence entre une garantie et un collat´ eral est que la garantie ne peut ˆ etre appel´ ee que si le garant est encore en vie lorsque le d´ efaut de l’emprunteur survient. La formule de la perte moyenne d’un prˆ et in fine (bullet) sur une p´ eriode de temps est donc : = E£LGDu(EAD − C − G.1{Garant en vie})+1{Emprunteur en d´ efaut} = LGDu(EAD − C)+.PD(E,G) + LGDu(EAD − C − G)+.(PD − PD(E,G)) o` u PD(E,G) est la probabilit´ e de d´ efaut jointe de l’emprunteur et du garant et PD est la probabilit´ e de d´ efaut de l’emprunteur. La perte moyenne dans ce cas ne d´ epend plus seulement de la probabilit´ e de d´ efaut de l’emprunteur, mais ´ egalement de la probabilit´ e de d´ efaut jointe de l’emprunteur et du garant. Il faut ´ egalement garder ` a l’esprit que le collat´ eral peut avoir une valeur corr´ el´ ee ` a la situation macro´ economique, et donc au d´ efaut. Il faut donc prendre en compte dans le mod` ele la possibilit´ e de d´ efaut jointe entre emprunteur et garant, et nous voyons que si nous voulons calculer une perte moyenne sur un prˆ et amortissable un peu complexe faisant intervenir un ou plusieurs garants, hors cas simples, les calculs analytiques deviennent tout de suite impraticables et n´ ecessitent l’utilisation de m´ ethodes num´ eriques de type Monte-Carlo. De plus, le calcul de la perte moyenne sur un prˆ et complexe fait intervenir les probabilit´ es de d´ efaut ` a diff´ erents horizons. On peut calculer la structure par terme des probabilit´ es de d´ efaut ` a partir des matrices de transition donn´ ees par les agences de rating. Si on consid` ere un prˆ et amortissable simple, l’EAD est une fonction d´ eterministe du temps que nous notons EADt. En appelant τ la date al´ eatoire de d´ efaut et en supposant une LGD fixe et connue, la variable al´ eatoire de perte est : X ⁄ EL L = LGD.EADti.1{ti<τ≤t+1} i 100 80 60 40 20 0 it it 0 + 1 Figure 2.2: Exemple de profil d’amortissement pour le calcul de l’EAD.

12. CHAPTER 2. LA GESTION DU RISQUE DE CR´EDIT 12 On en d´ eduit la perte moyenne et la variance de la perte : EL =P var(L) = LGD2P 2.2 Loi des pertes sur un portefeuille tLGD.EADt.P[t < τ ≤ t + 1] t.P[t < τ ≤ t + 1] − EL2 tEAD2 La mod´ elisation des pertes sur un portefeuille de cr´ edit repose sur la connaissance des param` etres de risque sur chaque ligne du portefeuille et sur les d´ ependances des pertes. Dans certains cas, toutefois, il est possible de donner des propri´ et´ es sur la loi des pertes de cr´ edit d’un portefeuille. Une premi` ere propri´ et´ e de cette loi des pertes de cr´ edit vient du fait que la loi des pertes d’un portefeuille est ` a support compact (en l’occurrence l’intervalle [0,1]). Cela contraint de mani` ere consid´ erable la loi des pertes. Par exemple, si on suppose que la loi des pertes a une esp´ erance µ, il est clair que l’´ ecart type de ces pertes est major´ e (il est au moins major´ e par 1). En effet : Z1 Par cons´ equent, la variance des pertes d’une portefeuille de cr´ edit est major´ ee par µ(1 − µ), qui est la variance correspondant ` a un portefeuille de cr´ edit des pertes qui suivent une loi de Bernoulli. De mˆ eme, tous les moments de la loi des pertes sont contraints, et on comprend qu’il y a deux types de lois qui vont jouer un rˆ ole important : d’une part la loi de Dirac centr´ ee sur µ, et d’autre part la loi de Bernoulli avec une masse de Dirac de poids 1 − µ en 0 (pas de perte sur le portefeuille) et une masse de Dirac de poids µ en 1 (perte de 100% sur le portefeuille). Entre ces deux cas extrˆ emes, la mod´ elisation du portefeuille de cr´ edit permet de calibrer des mesures quantitatives du risque de cr´ edit. Z1 E£L2⁄= dxx2f(x) ≤ dxxf(x) = µ 0 0 Il existe un cas dans lequel la loi statistique des pertes sur le portefeuille se calcule exactement. Con- sid´ erons un portefeuille de cr´ edit de n lignes ´ equipond´ er´ ees. Sur un horizon de temps d’une p´ eriode (un an par exemple), nous mod´ elisons le d´ efaut de la ligne i ` a l’aide d’une variable cach´ ee Rinormale centr´ ee r´ eduite ; l’´ ev´ enement de d´ efaut est mod´ elis´ e par une variable de Bernoulli : Li= 1{Ri<si} La valeur de siest le seuil de d´ eclanchement du d´ efaut. La probabilit´ e de d´ efaut associ´ ee ` a la ligne i est donc par d´ efinition N(si). Dans un cas r´ ealiste, les d´ efauts sont corr´ el´ es, et une mani` ere de mod´ eliser cela consiste ` a introduire la d´ ependance sur les variables d’´ etat Ri. Nous consid´ erons un portefeuille homog` ene, dans lequel toutes les lignes on la mˆ eme probabilit´ e de d´ efaut (si= s pour tout i), et toutes les corr´ elations de d´ efaut deux ` a deux sont ´ egales ` a corr(Ri,Rj) = ρ. Si nous introduisons une variable normale centr´ ee r´ eduite F et n autres variables normales centr´ ees r´ eduites †itoutes ind´ ependantes, nous pouvons poser : Ri=√ρF + p1 − ρ†i Alors, toutes les variables d’´ etat Risont des variables normales centr´ ees r´ eduites et ont des corr´ elations deux ` a deux toutes ´ egales ` a ρ.

13. 13 2.2. LOI DES PERTES SUR UN PORTEFEUILLE L’interpr´ etation ´ economique du facteur F est qu’il s’agit d’un facteur de risque syst´ emique, commun ` a toutes les lignes du portefeuille. Les facteurs †isont les facteurs sp´ ecifiques ` a chaque ligne. Le param` etre de corr´ elation apparait comme un fecteur de sensibilit´ e ` a la conjoncture ´ economique. La perte totale en pourcentage sur le portefeuille s’´ ecrit (taux de recouvrement choisi nul) : n n X X Ln=1 1{Ri<si}= 1{†i<s−√ρF √1−ρ} n i=1 i=1 En conditionnant sur le facteur syst´ emique F, la perte sur le portefeuille s’´ ecrit comme une somme de variables al´ eatoires iid. On peut donc appliquer la loi des grands nombres : • On connaˆ ıt donc la loi statistique des pertes dans ce cas particulier : •√1 − ρN−1(x) La densit´ e des pertes s’´ ecrit : r1 − ρ On en d´ eduit l’esp´ erance et la variance des pertes : E(L) =R∞ var(L) = N2(s,s,ρ) − N(s)2 flflflflF ‚ ?s −√ρF ¶ †i<s −√ρF √1 − ρ n→∞Ln= L = P lim = N √1 − ρ ‚ P(L ≤ x) = N √ρ • ¡N−1(x)¢2‚ ‡p1 − ρN−1(x) − s ·2 −1 +1 f(x,s,ρ) = exp 2ρ 2 ρ ‡s−√ρF · −∞dF n(F)N = N(s) √1−ρ D´ emontrons le premier r´ esultat. Ce type d’int´ egrale se calcule en ´ ecrivant la fonction de r´ epartition de la loi normale comme une int´ egrale de la densit´ e de la loi normale : ‡s−√ρF · s−√ρF √1−ρ −∞ R∞ =R∞ =R∞ −∞dF n(F)R −∞dF n(F)Rs −∞dF n(F)N n(y)dy √1−ρ ‡z−√ρF · dz −∞n √1−ρ √1−ρ z−√ρF On a obtenu la derni` ere ´ egalit´ e en faisant le changement de variable y = deux int´ egrales et on calcule l’int´ egrale gaussienne sur la variable F : √1−ρ; on intervertit alors les ‡F−√ρz · =Rs =Rs = N(s) R∞ E(L) −∞df n(z)n dz √1−ρ √1−ρ −∞ −∞dz n(z) Le calcul de E(L2) s’effectue de mˆ eme, en utilisant toujours le mˆ eme changement de variable. Le graphe ci- dessous repr´ esente la volatilit´ e des pertes sur le portefeuille de cr´ edit en fonction du niveau de corr´ elation. Pour tout ρ < 50%, la loi des pertes du portefeuille est unimodale et le mode vaut : ?√1 − ρ ¶ Lm= N 1 − 2ρs

14. CHAPTER 2. LA GESTION DU RISQUE DE CR´EDIT 14 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Figure 2.3: Impact de la volatilit´ e des pertes de cr´ edit en fonction du niveau de corr´ elation Lien entre corr´ elation d’actifs et volatilit´ e des pertes Dans le mod` ele ` a une p´ eriode que nous venons de d´ ecrire, lorsque la corr´ elation d’actifs est nulle, tous les d´ efauts sont ind´ ependants, et la loi des pertes est un pic de Dirac centr´ e sur la perte moyenne du portefeuille car le portefeuille contient une infinit´ e de lignes. Dans l’autre cas extrˆ eme, ρ = 1, et tous les actifs ont le mˆ eme comportement : soit aucun ne fait d´ efaut, soit ils font tous d´ efaut. La loi des pertes du portefeuille dans ce cas est compos´ ee de deux masses de Dirac centr´ ees sur 0 et 1. Entre ces deux situations il y a toutes les valeurs de la corr´ elation entre 0 et 1, qui engendrent une loi tout d’abord fortement piqu´ ee sur 0 puis qui s’´ elargit au fur et ` a mesure que la corr´ elation augmente. Lorsque la corr´ elation d´ epasse le niveau de 50%, la densit´ e des pertes passe d’une fonction unimodale ` a une distribution bimodale, les deux modes ´ etant localiss en 0 et 1. On en d´ eduit la fonction de densit´ e de probabilit´ e de la perte sur le portefeuille (cf exercice). Celle ci comporte plusieurs modes qui correspondent ` a une corr´ elation faible entre les actifs (et correspondra dans la majeure partie des cas ` a la r´ ealit´ e), une corr´ elation ´ elev´ ee et enfin une corr´ elation interm´ ediaire : Densité des pertes sur un portefeuille granulaire 3 rho=20% rho=50% rho=75% 2.5 Densité de proba 14 2 12 10 1.5 rho =15% rho =20% rho =25% rho =30% 8 1 6 0.5 4 0 2 0% 20% 40% 60% 80% 100% 0 Perte 0% 5% 10% 15% 20% Densité / Répartition des pertes Loi de Vasicek (LGD=100%) Probabilité d'enforcement en fonction de la corrélation pour différentes valeurs du seuil 16% 18 1,2 Perte > 1% 16 Perte > 1.5% 1 14% Perte > 2% Proabilité Cumulée 14 Perte > 2.5% 12 0,8 12% Perte > 3% Probabilité d'enforcement Densité 10 Perte > 3.5% 0,6 10% Perte > 4% 8 Perte > 4.5% 6 0,4 8% Perte > 5% 4 0,2 6% 2 0 0 Densité (LGD=100%) Répartition (LGD=100%) Perte Moyenne 4% 1,76% 2,64% 4,40% 6,16% 7,04% 8,80% 0,88% 3,52% 5,28% 7,92% 9,68% 0% 11,44% 10,56% 2% 0% Niveau de Perte 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Corrélation (%) Diversification en rating Il est instructif de regarder ` a la lumi` ere du mod` ele de Vasicek le cas d’un portefeuille granulaire que

15. 15 2.2. LOI DES PERTES SUR UN PORTEFEUILLE ne serait pas homog` ene en rating. En particulier, on peut mod´ eliser l’inhomog´ en´ eit´ e du portefeuille en consid´ erant que le seuil de d´ efaut si pour chaque ligne du portefeuille est lui-mˆ eme une variable al´ eatoire centr´ ee sur s0et de variance σ2. Nous posons alors si= s0+ σ˜ †i, o` u les variables ˜ †isont des variables normales centr´ ees r´ eduites ind´ ependantes entre elles, ind´ ependantes du facteur syst´ emique F et des variables sp´ ecifiques †i. La condition du d´ efaut pour chaque ligne du portefeuille s’´ ecrit alors : p1 − ρ†i< s0+ σ˜ †i √ρF + Il vient alors pour la variable de perte sur l’ensemble du portefeuille : ˆ ! s0−√ρF p1 − ρ + σ2 L = N Calcul du s0et ρ0 Figure 2.4: Impact de la volatilit´ e du seuil de d´ efaut sur la distribution des pertes du portefeuille Pour un taux de d´ efaut moyen de 10% sur le portefeuille, on constate que la variance des pertes diminue avec le param` etre d’inhomog´ en´ eit´ e σ du portefeuille. En effet, l’ajout d’un al´ ea suppl´ ementaire dans le probl` eme vient diversifier un peu plus le portefeuille. Pour le dire autrement, un portefeuille h´ et´ erog` ene en rating contient moins d’incertitude quant-au nombre de ´ efauts sur un horizon donn´ e qu’un portefeuille homog` ene en rating. En effet, un portefeuille h´ et´ erog` ene, en grossissant le trait, est compos´ e de ligne de bons ratings qui ont peu de chance de faire d´ efaut et de lignes mal not´ ees qui ont une bonne chance de faire d´ efaut. Cet effet serait att´ enu´ e si les seuils, tout en restant al´ eatoires, ´ etaient corr´ el´ es au facteur syst´ emique F. Corr´ elations d’actifs, corr´ elations de d´ efauts En mati` ere de risque de cr´ edit, on distingue les corr´ elations d’actifs, les corr´ elations de d´ efaut et les corr´ elations de pertes et les corr´ elations de temps de d´ efaut. Chaque type de grandeur fait r´ ef´ erence un type de mod´ elisation du risque de d´ efaut. Les corr´ elations d’actifs font r´ ef´ erence aux mod` eles structurels, alors que les corr´ elations de temps de d´ efaut font r´ ef´ erence au param` etre de corr´ elation de la copules

16. CHAPTER 2. LA GESTION DU RISQUE DE CR´EDIT 16 gaussienne dans les mod` eles intensit´ e. Il est toutefois possible dans une mod´ elisation donn´ ee du risque de d´ efaut de faire le lien entre les diff´ erents types de corr´ elations. Par exemple, dans le mod` ele structurel, on ´ ecrit la corr´ elation des d´ efauts de la fa¸ con suivante : ρD=E£1{R1≤s1}.1{R2≤s2} ⁄− E£1{R1≤s1} ⁄.E£1{R2≤s2} ⁄ pPD1(1 − PD1)pPD2(1 − PD2) On en d´ eduit le lien entre la corr´ elation d’actifs et la corr´ elation des d´ efauts dans le mod` ele de Merton : N2(s1,s2,ρ) − N(s1).N(s2) pN(s1)(1 − N(s1))pN(s2)(1 − N(s2)) ρD= La fonction N2(s1,s2,ρ) est une fonction croissnte de la corr´ elation, donc la corr´ elation de d´ efaut est ´ egalement croissante en fonction de la corr´ elation d’actifs. Or limρ→1N2(s1,s2,ρ) = min(N(s1),N(s2)). La corr´ elation de d´ efaut est maximale lorsque les probabilit´ es de d´ efaut sont ´ egales, et dans ce cas, on peut avoir une corr´ elation de d´ efaut ´ egale 1. Si les probabilit´ es marginales de d´ efaut sont diff´ erentes, toutes les valeurs des corr´ elations de d´ efaut ne sont pas atteignables.

17. Chapter 3 La mod´ elisation du d´ efaut 3.1 Le rating 3.1.1 Pr´ esentation Le rating refl` ete la qualit´ e de cr´ edit (credit worthiness en anglais) d’un ´ emetteur d’instrument de dette. Les agences de notation utlisent l’information tant quantitative que qualitative sur les ´ emmetteurs. La proc´ edure de notation est en g´ en´ eral plus fond´ ee sur des crit` eres qualitatifs, le jugement et l’exp´ erience de l’analyste en charge du dossier, plus que sur une mod´ elisation math´ ematique du risque de d´ efaut. L’approche quantitative est plutˆ ot r´ eserv´ ee ` a la notation des produits structur´ es de cr´ edit. Les crit` eres qualitatifs et quantitatifs de notation des agences sont disponibles sur leur site internet. Le march´ e de la dette est tr` es important aux Etats-Unis et au Canada, ce qui explique la tr` es large couverture des agences de notation sur les entreprises et les collectivit´ es nord-am´ ericaines. En Europe les agences de notation notent beaucoup moins d’´ emetteurs car le march´ e obligataire est beaucoup plus restreint et se limite aux grandes entreprises. C’est la raison pour laquelle les banques ont investi, plus qu’ailleurs, dans l’´ elaboration de mod` eles internes. Les principaux crit` eres quantitatifs pour noter un ´ emetteur sont (liste non exhaustive) : • Cash-flows et revenus futurs • Passif ` a court, moyen et long terme • La structure de capital et notamment le levier financier • La situation de la soci´ et´ e et du pays de r´ esidence • Activit´ e de l’entreprise et son positionnement dans le march´ e • Qualit´ e du management En g´ en´ eral les banques ´ evaluent la qualit´ e de cr´ edit de leurs clients grˆ ace ` a des mod` eles statistiques et des analystes affinent ensuite, ` a fr´ equence r´ eguli` ere, la notation sur la base de la relation que la banque 17

18. CHAPTER 3. LA MOD´ELISATION DU D´EFAUT 18 a avec son client. Les quatre organismes de notation externes les plus connus sont Standard and Poors, KMV Moody’s, FitchRatings et DBRS (agence canadienne qui couvre le march´ e nord-am´ ericain) qui ont d´ efini chacun une m´ ethodologie et une ´ echelle de notation propres, mais ´ equivalentes entre elles. Les agences de rating utilisent une ´ echelle de notation ` a 7 graduations (qu’on appelle les grades pleins) eux mˆ emes subdivis´ es en sous grades. Les ´ echelles de rating (en grades pleins) sont les suivantes : S&P Moody's Fitch AAA Aaa AAA Investment Grade AA Aa AA A A A BBB Baa BBB BB Ba BB Speculative Grade B B B CCC Caa CCC Default D D D Figure 3.1: Echelles de ratings pour les trois agences de notation S&P, Moody’s et Fitch. La cat´ egorie dite Investment Grade regroupe les entreprises ` a forte capacit´ e de remboursement et dont la sensibilit´ e aux al´ eas ´ economiques est r´ eduite. cat´ egorie Speculative Grade offrent des garanties bien moindres et sont beaucoup plus sensibles aux chocs ´ economiques. Le risque de cr´ edit li´ e ` a cette cat´ egorie ´ etant plus ´ elev´ e, celui-ci est nettement plus r´ emun´ er´ e au travers d’un spread plus ´ elev´ e. Chaque rating correspond ` a une qualit´ e de cr´ edit. On peut qualifier la qualit´ e de cr´ edit pour chaque rating : Au contraire, les entreprises, situ´ ees dans la AAA AA A BBB BB B CCC D Meilleure qualit´ e de cr´ edit, excellente solidit´ e Tr` es bonne qualit´ e de cr´ edit, tr` es solide Bonne qualit´ e de cr´ edit, plus sensible aux conditions ´ economiques La plus basse qualit´ e de cr´ edit en Investment Grade Prudence requise, la meilleure qualit´ e de cr´ edit en Speculative Grade Vuln´ erable, peut encore honorer ses engagements Hautement vuln´ erable Un d´ efaut de paiement est d´ ej` a survenu Chaque rating, except´ e le AAA, est sub-divis´ e en trois sous-grades, ce qui monte ` a 19 au total le nombre de niveaux de rating en sous-grades (hormis le d´ efaut). Ces sous-grades sont subdivis´ es ainsi (exemple illustrant les sous grades du niveau AA) :

19. 19 3.1. LE RATING Standard's Standard's and Poors and Poors AA+ AA+ Aa1 Aa1 Moody's Moody's AA AA Aa2 Aa2 AA- AA- Aa3 Aa3 Figure 3.2: Deux ´ echelles de notations ´ equivalentes chez S&P et Moody’s Concernant l’analyse de risque d’un unique emprunteur, la calibration de la probabilit´ e de d´ efaut ` a partir du rating est une ´ etape importante qui va conditionner le param´ etrage des mod` eles de cr´ edit et donc les r´ esultats futurs de perte moyenne et de variance des pertes. On peut par exemple utiliser les statistiques de d´ efauts fournies par les agences de notation qu’elles utilisent d’ailleurs comme inputs de leur mod` ele de notation des produits structur´ es. Par exemple, l’outil de notation de CDO de S&P s’appelle CDO Evaluator qui utilise en input les probabilit´ es de d´ efaut par maturit´ e et par rating. Nous reproduisons dans le graphique ci-dessous la probabilit´ e de d´ efaut (en ´ echelle logarithmique) en fonction du rating. CCC+ BBB+ CCC- BBB- CCC AAA BBB AA+ BB+ AA- BB- BB AA B+ A+ A- B- A B 100.0000% 10.0000% 1.0000% 0.1000% y = 6E-06e0.6351x R2 = 0.968 0.0100% 0.0010% 0.0001% Figure 3.3: Lien entre la probabilit´ e de d´ efaut 1 an de S&P et le rating nous constatons que le logarithme de la probabilit´ e de d´ efaut est une fonction lin´ eaire du rating avec un coefficient 0.63. Cela signifie que si l’´ emetteur est d´ egrad´ e d’un notch sa probabilit´ e de d´ efaut est multipli´ ee par un facteur exp(0.63) ∼ 1.9. Ce coefficient multiplicateur d´ epend de l’agence consid´ er´ ee et de la maturit´ e retenue. Par exemple, pour une maturit´ e de 5 ans, les probabilit´ es de d´ efaut de S&P sont multipli´ ee par un facteur 1.5 entre un rating et le suivant. L’ordre de grandeur ` a retenir, c’est que la probabilit´ e de d´ efaut est multipli´ ee par un facteur compris entre 1.5 et 2 lorsqu’un ´ emetteur de dette est d´ egrad´ e d’un notch (un sous-grade).

20. CHAPTER 3. LA MOD´ELISATION DU D´EFAUT 20 3.1.2 Matrices de transition Les ratings refl` etent ` a une date donn´ ee la qualit´ e de cr´ edit d’un emprunteur. Celle-ci peut varier dans le temps, aussi les agences de rating calculent-elles ´ egalement des matrices de transition dont la lecture renseigne sur l’´ evolution ` a horizon d’une ou plusieurs ann´ ees de la qualit´ e de cr´ edit d’un emprunteur, c’est ` a dire sa probabilit´ e de migration vers un autre rating, ainsi que la probabilit´ e de d´ efaut. En lisant la matrice de transition suivante, on remarquera par exemple que les firmes not´ ees AAA restent dans leur grande majorit´ e (plus de 93% d’entre elles) not´ ees AAA apr` es un an. Leur taux de d´ efaut est nul, comme indiqu´ e par la derni` ere colonne. Notons que bien que le taux de d´ efaut d’une contrepartie AAA ` a un an est nul, il est non nul sur un horizon de deux ans. En effet, en supposant que la matrice de transition ne varie pas d’une ann´ ee sur l’autre, on aura : Pd(AAA) = Pd(AAA,D) × 1 + Pd(AAA,AA) × Pd(AA,D) + ... + Pd(AAA,CCC) × Pd(CCC,D) De mani` ere g´ en´ erale, on peut ´ ecrire l’´ equation maˆ ıtresse des transitions de rating : la probabilit´ e de transition du rating i vers le rating j entre les dates 0 et 2 est ´ egale ` a la somme des probabilit´ es des chemins suivis par le rating ` a toutes les dates entre 0 et 2. En l’occurrence, la probabilit´ e de transition entre les dates 0 et 2 s’´ ecrit : D X Si on suppose que les matrices de transition P0,1 et P1,2 sont ´ egales (hypoth` ese de stationnarit´ e des matrices de transition), la relation ci-dessus s’´ ecrit simplement P0,2= P2 P0,2= P0,1(i,k).P1,2(k,j) k=1 0,1 probability of migrating to rating by year end (%) original rating AAA AA A BBB BB B CCC Default AAA 93.66 5.83 0.40 0.08 0.03 0.00 0.00 0.00 AA 0.66 91.72 6.94 0.49 0.06 0.09 0.02 0.01 A 0.07 2.25 91.76 5.19 0.49 0.20 0.01 0.04 BBB 0.03 0.25 4.83 89.26 4.44 0.81 0.16 0.22 BB 0.03 0.07 0.44 6.67 83.31 7.47 1.05 0.98 B 0.00 0.10 0.33 0.46 5.77 84.19 3.87 5.30 CCC 0.16 0.00 0.31 0.93 2.00 10.74 63.96 21.94 Default 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 100.00 Figure 3.4: Exemple de matrice de transitions de rating en grades pleins Cette derni` ere remarque nous permet d’introduire le principe de matrice g´ en´ eratrice. On recherche une matrice de transition qui sera stable dans le temps, c’est ` a dire telle que : P0,N= PN 0,1 Plus g´ en´ eralement, les probabilit´ es de transitions de ratings ` a un horizon T sont donn´ ees par la matrice : P0,T= exp(T × Λ) o` u Λ est la matrice g´ en´ eratrice. La logique ´ economique sous-jacente est que les matrices de transitions observ´ ees ne sont que les r´ ealisations d’une processus de Markov stable (de la mˆ eme fa¸ con que la croissance

21. 21 3.1. LE RATING ´ economique varie autour de sa moyenne au rythme des p´ eriodes de r´ ecession et de forte croissance). Suivant cette propri´ et´ e, on doit avoir : Matrice G´ en´ eratrice ` a 1 an = ln(Matrice G´ en´ eratrice ` a N ann´ ees) On construira le logarithme de la matrice par s´ erie enti` ere : X (−1)n−1Xn ln(1 + X) = n n≥1 En pratique, toutes les ´ etudes empiriques prouvent que les matrices de transition ne sont pas markovi- ennes. 3.1.3 La d´ egradation des ratings On observe pour les bons ratings une tendance ` a la d´ egradation au cours du temps. Celle-ci se traduit par une structure par terme de probabilit´ e de d´ efaut (croissante) convexe, ce qui indique que la probabilit´ e de d´ efaut marginale croissante en fonction de l’horizon du temps. Inversement, une probabilit´ e de d´ efaut cumul´ ee au cours du temps pour un mauvais rating est une courbe (croissante) concave. En effet, un ´ emetteur CCC a une probabilit´ e de d´ efaut tr` es ´ elev´ ee ` a court terme, mais en cas de survie sur un horizon d’un an par exemple, il y a de r´ elles chances pour que son rating se soit am´ elior´ e. Sa probabilit´ e de d´ efaut forward sur un an dans un an est donc plus faible que la probabilit´ e de d´ efaut spot sur un an. Le niveau de rating pour lequel on se situe entre ces deux cas correspond au rating BBB. Probabilit és de déf aut ( en %) Pr obabi l ités de déf aut (en %) 80 5 BB AAA 4,5 70 B AA 4 60 CCC A 3,5 50 3 BBB 40 2,5 2 30 1,5 20 1 10 0,5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 hor i zon de temps hor i z on de t e mps Figure 3.5: Probabilit´ es de d´ efaut cumul´ ees pour des ratings Investment Grade Probabilit´ es de d´ efaut cumul´ ees pour des ratings Speculative Grade En termes ´ economiques, cette tendance ` a la d´ egradation vient non seulement de l’accroissement de la probabilit´ e de d´ efaut lorsque le rating se d´ egrade, mais ´ egalement ` a l’auto-corr´ elation qu’on observe dans les d´ egradations de rating. Les statistiques des agences de rating montrent clairement qu’une entreprise r´ ecemment d´ egrad´ ee a une probabilit´ e de d´ egradations futures beaucoup plus ´ elev´ ee qu’une entreprise qui se trouve au mˆ eme niveau de rating depuis longtemps. Une d´ egradation de rating est une mauvaise nouvelle qui peut mettre une entreprise en difficult´ e : une d´ egradation sanctionne et entretient, voire accentue, une situation difficile pour une entreprise.

22. CHAPTER 3. LA MOD´ELISATION DU D´EFAUT 22 Quels sont alors les facteurs d´ eclenchant le d´ efaut ? Peut-on relier le risque de d´ efaut ou de transition de rating ` a la sant´ e de l’entreprise, ` a sa capcit´ e ` a payer les int´ erˆ ets de sa dette et ` a en rembourser le capital ? Quelle est la loi du temps de d´ efaut ? Les paragraphes qui viennent ont pour ambition de r´ epondre ` a ces questions. 3.2 La mod´ elisation du d´ efaut d’une entreprise 3.2.1 Description bilantielle de l’entreprise Pour un investisseur dans la dette de l’entreprise, le d´ efaut est en g´ en´ eral un ´ ev´ enement soudain. Il intervient lorsque l’entreprise ne peut plus faire face ` a ses engagements, ce qui a inspir´ e l’approche structurelle dans la mod´ elisation du d´ efaut d’une entreprise. L’approche structurelle est une mod´ elisation de l’actif et du passif de l’entrerpise. Le d´ efaut est un ´ ev´ enement qui survient lorsque la structure du bilan ne permet plus ` a l’entreprise de tenir ses engagements. Regardons le bilan d’une entreprise : Equity Equity Actifs Actifs Dette Dette L’entreprise poss` ede des actifs : ce sont des machines, des locaux ou, dans le cas d’une banque, des prˆ ets accord´ es ` a ses clients. Ces actifs sont financ´ es par les actionnaires et les cr´ eanciers qui ont achet´ e les actions et les obligations ´ emises par l’entreprise. La diff´ erence entre actions et obligations est la suivante : • Flux de paiement : pour les obligations, les paiements sont fix´ es contractuellement, et pour les actions il n’y a pas de paiement fixes. Les actionnaires re¸ coivent le solde des avoirs, apr` es paiements de cr´ eanciers. Il faut mentionner le cas sp´ ecifique des actions pr´ ef´ erentielles qui paient des dividendes fixes pr´ evus ` a l’avance qui ressemblent donc ` a des coupons. Toutefois la fiscalit´ e est celle des dividendes et un dividende non pay´ e est diff´ er´ e et ne constitue pas un ´ ev´ enement de cr´ edit. • S´ eniorit´ e : ` a liquidation de l’entreprise, on rembourse prioritairement les cr´ eanciers ayant investi dans la dette senior, puis ceux de la dette subordonn´ ee. Les actionnaires sont pay´ es en dernier et touchent ce qui reste du solde de liquidation de l’entreprise apr` es avoir rembours´ e tous les cr´ eanciers. Prenons un exemple chiffr´ e. A la date t = 0, une entreprise est en besoin de financement pour lancer son activit´ e. Les besoins en capitaux sont ´ evalu´ es ` a 1 000 000 EUR, qui vont ˆ etre financ´ es par des actionnaires et des cr´ eanciers. Imaginons que les entrepreneurs apportent 200 000 EUR de fonds propres ; il reste 800 000 EUR ` a financer sous forme de dette. Les entrepreneurs pensent que leur entreprise

23. 3.2. LA MOD´ELISATION DU D´EFAUT D’UNE ENTREPRISE 23 produira ses premiers r´ esultats dans un an. Ils empruntent donc aujourd’hui une somme B0= 800 000 EUR et devront rembourser le nominal de la dette D ` a la date T = 1 an. Dans un an, les actifs de l’entreprise auront ´ evolu´ e (d´ epˆ ot ou achat de brevets, vente de produits, acquisition et amortissement de machines, etc ). Soit l’entreprise peut rembourser, auquel cas elle verse D aux cr´ eanciers (´ eventuellement apr` es avoir vendu certaines activit´ es, cf Vivendi Universal apr` es l’´ eclatement de la bulle internet), et on retranche D de la valeur des actifs, les actionnaires (soit les entrepreneurs) pouvant vendre le reste de l’entreprise pour un montant d’actifs ´ egal ` a AT− D, soit l’entreprise ne peut rembourser la somme D ` a ses cr´ eanciers, les actifs sont vendus, et le produit de la vente est vers´ e aux cr´ eanciers ` a concurrence de D. On peut donc r´ esumer les flux financiers ` a la date T dans le tableau suivant : Valeur des actifs AT≥ D AT< D Flux re¸ cus par les actionnaires AT− D 0 Flux re¸ cus par les cr´ eanciers D AT 3.2.2 Le mod` ele de Merton : le mod` ele de la firme (1974) Le mod` ele de Merton est une adaptation au risque de cr´ edit de mod` ele de Black-Scholes-Merton sur l´ evaluation des produits d´ eriv´ es. Ce qui ressort de l’analyse ci-dessus du payoff des actionnaires et des cr´ eanciers est que l’actionnaire poss` ede un call sur la valeur des actifs de strike le nominal de la dette, et les cr´ eanciers poss` edent un z´ ero-coupon sans risque et une position short d’un put sur les actifs et de strike le nominal de la dette. Merton reprend les hypoth` eses requises du mod` ele de Black-Scholes-Merton, savoir : • liquidit´ e des march´ es financiers, • existence d’un actif sans risque, • fractionnement des actions, • possibilit´ e d’acheter ou vendre ` a d´ ecouvert, • Absence d’opportunit´ e d’arbitrage (AOA). Dette et Equity ´ etant ´ echang´ es sur les march´ es financiers, les actifs de la firme sont ´ evalu´ es sous une probabilit´ e risque neutre sous laquelle leur rendements sont en moyenne ´ egaux au taux sans risque. Plus pr´ ecis´ ement, Merton fait l’hypoth` ese que sous probabilit´ e risque-neutre, les actifs de la firme suivent la loi d’un mouvement brownien g´ eom´ etrique dont la diffusion est r´ egie sous probabilit´ e risque neutre par l’´ equation de diffusion suivante : dAt At En reprenant le tableau des flux de paiements ` a maturit´ e de la dette introduit dans le paragraphe pr´ ec´ edent, on peut donc ´ ecrire sous forme probabiliste les valeurs de la dette et des actions de la firme = rdt + σ dWt

24. CHAPTER 3. LA MOD´ELISATION DU D´EFAUT 24 ` a toute date t ant´ erieure ` a la maturit´ e de la dette T. Ainsi, ` a la date t = 0, la valeur de march´ e de la dette est : D0= E£e−rTmin(D,AT)⁄ et la valeur de march´ e des actions de la soci´ et´ e est : E0= E£e−rTmax(AT− D, 0)⁄ soit le prix d’un call sur les actifs de maturit´ e T et strike D. La valeur de march´ e de la dette est bien-sˆ ur inf´ erieure ` a la valeur faciale de la dette ajust´ ee du taux sans risque e−rTD, prix qui serait justement le sien si elle ´ etait sans risque. Une quantit´ e (appel´ ee spread) permet de mesurer le risque associ´ e ` a la dette. Le spread est la r´ emun´ eration que r´ eclame le cr´ eancier au dessus du taux sans risque pour accepter de financer la dette de l’entreprise. Le spread, que nous notons s, se calcule de la fa¸ con suivante : B0= De−(r+s)T soit : ?D ¶ s =1 Tln − r B0 La valeur de march´ e de l’equity est simplement donn´ ee par la formule de Black-Scholes. E0= A0N(d1) − De−rTN(d2) avec £ln(A0/D) + (r + σ2/2)T⁄ = d1− σ√T = 1 d1 σ√T d2 Rappelons que l’action ´ etant un call sur les actifs de la firme de strike D, les sensibilit´ es de la valeur de l’action par rapport aux diff´ erents param` etres sont connues grˆ ace aux grecques calcul´ ees par la formule de Black-Scholes. En particulier, et c’est le r´ esultat le plus marquant, une volatilit´ e ´ elev´ ee profite aux actionnaires dont le bien se trouve valoris´ e (le v´ ega d’un call est positif). Dans le cas limite d’une volatilit´ e infinie, les actionnaires perdent tout (avec probabilit´ e 1/2) ou deviennent infiniment riches avec probabilit´ e 1/2. Les cons´ equences sont oppos´ ees pour les cr´ eanciers mais avant d’en reparler, valorisons d’abord la dette. Puisque B0= E£e−rTmin(D,AT)⁄, on peut ´ ecrire : B0= E£e−rTST On note que la parit´ e call-put, bien connue dans le milieu des produits d´ eriv´ es a une interpr´ etation simple en finance d’entreprise puisqu’elle s’´ ecrit simplement : ⁄− E£e−rT(D − AT)+⁄ Actifs = Dette + Action En notant que les pertes correspondent au payoff de la vente d’un put sur les actifs, de strike D, on obtient : B0= A0N(−d1) + De−rTN(−d2)

25. 3.2. LA MOD´ELISATION DU D´EFAUT D’UNE ENTREPRISE 25 On peut ´ egalement calculer la probabilit´ e d’un ´ ev´ enement de d´ efaut. Celui-ci survient lorsque la valeur des actifs ` a maturit´ e est en dessous de la valeur faciale de la dette (quand les pertes sont positives). On appelle cette probabilit´ e la Probabilit´ e de D´ efaut (PD) et on peut ´ egalement calculer la perte en cas de d´ efaut (LGD, Loss Given Default) qui repr´ esente la perte moyenne d’un cr´ eancier en cas de d´ efaut. On a : PD = P[AT≤ D] = N(−d2) E(L) N(−d2)= LGD = E[D − AT|AT≤ D] = Put N(−d2) Il faut noter que N(−d2) correspond ` a la probabilit´ e d’exercer le put. Par rapport ` a ce calcul th´ eorique, la LGD doit incorporer des coˆ uts de d´ etresse car la valeur des actifs n’est pas la mˆ eme selon que ces actifs sont en vente ou non. La formule ci-dessus sous-estime donc de fa¸ con importante la LGD par rapport aux valeurs observ´ ees en pratique. Revenons rapidement sur l’influence de la volatilit´ e sur la valeur de la dette. Puisque Dette= Z´ ero-Coupon - Put, connaissant le signe du v´ ega d’un put, on en d´ eduit le signe de ∂Bt/∂σ. Augmenter la volatilit´ e des actifs augmente le risque de ne pas ˆ etre rembours´ e ` a maturit´ e de la dette, ce qui est tr` es intuitif. Cela diminue la valeur de la dette et en augmente le spread de march´ e. De mani` ere plus compl` ete, des ´ etudes de sensibilit´ e classiques peuvent etre men´ ees en reprenant les r´ esultats de sensibilit´ es sur les options put et call en math´ ematiques financi` eres. Int´ eressons nous plus particuli` erement ` a la sensibilit´ e ` a la maturit´ e des obligations. Dans le mod` ele de Merton, la dette est non risqu´ ee ` a tr` es court terme puisque la probabilit´ e que la valeur des actifs tombe en dessous de la valeur faciale de la dette est quasi-nulle si A0> D. Ceci est en contradiction avec les spreads observ´ es sur les march´ es. Le spread pour des maturit´ es courtes est en cons´ equence faible pour des maturit´ es courtes et a tendance ` a augmenter lorsque l’on allonge la maturit´ e de la dette (effet d´ egradation des actifs). Par contre, pour des probabilit´ es de d´ efaut tr` es ´ elev´ ees, le spread d´ ecroˆ ıt rapidement avec la maturit´ e de la dette. Spread annualisé en f onct ion de la mat urit é 0,900% 0,800% 0,700% 0,600% 0,500% Pr. Def . = 0,75 % 0,400% Pr. Def . = 5,71 % 0,300% 0,200% 0,100% 0,000% Matur ité Figure 3.6: Spread et Maturit´ e. Les spreads tendant ` a diminuer pour les longues maturit´ es.

26. CHAPTER 3. LA MOD´ELISATION DU D´EFAUT 26 Le prix de l’action ´ etant un call sur la valeur des actifs de la firme, le mod` ele de Black-Scholes permet de faire le lien entre les caract´ eristiques de l’actif et celles de l’action. En effet, nous avons Et= C(t,At,σ). Le lemme d’Itˆ o nous donne imm´ ediatement la volatilit´ e de l’action : σE=A S∆σ Ainsi ces deux relations relient de mani` ere univoque la volatilit´ e et la valeur de l’actif ` a la volatilit´ e et ` a la valeur des actions. Comme ce sont les param` etres sp´ ecifiques de l’action qui sont facilement observables sur les march´ es financiers, en r´ esolvant ces deux ´ equations ` a deux inconnues, on peut remonter aux param` etres sp´ ecifiques des actifs (valeur et volatilit´ e). Une impl´ ementation du mod` ele de Merton a ´ et´ e r´ ealis´ ee sur le march´ e fran¸ cais par Lardic et Rouzeau, et ils ont pu v´ erifier un accord raisonnablement correct entre les spreads du mod` ele de Merton et les spreads de march´ e. Toutefois, d’autres auteurs ont montr´ e que ce mod` ele ´ etait en accord assez faible avec la r´ ealit´ e et qu’il ´ etait un peu grossier dans sa conception. Le mod` ele de Merton ne semble donc pas tr` es adapt´ e ` a l’´ evaluation des d´ eriv´ es de cr´ edit car le calibrage sur les donn´ es de march´ e n’est pas assez direct. En revanche, il a deux applications int´ eressantes. La premi` ere application est de fournir un cadre conceptuel quantitatif ` a certains probl` emes de gouvernance d’entreprise. Le mod` ele de Merton d´ ecrit le conflit d’int´ erˆ et entre les cr´ eanciers et les actionnaires d’une entreprise en fonction des param` etres cl´ es de la soci´ et´ e comme le niveau de risque de ses actifs. Ce mod` ele exprime simplement de mani` ere quantitative que toute prise de risque par les managers de l’entreprise est favorable ` a l’actionnaire, au d´ etriment des cr´ eanciers. De mˆ eme, on comprend dans ce mod` ele le conflit d’int´ erˆ et entre les managers et les actionnaires. En effet, un manager qui d´ etient des stock-options (c’est-` a-dire qui a une position leverag´ ee sur l’action) a une incitation ` a augmenter le niveau de risque des actifs, ce qui valorisera ses options (le manager a un profil de risque vega-positif) ; ceci se fera au d´ etriment du cr´ eancier bien-sˆ ur, mais ´ egalement au d´ etriment de l’actionnaire dont la richesse est moins sensible au niveau de risque des actifs que l’option sur l’action (qui est une option compos´ ee sur les actifs). La deuxi` eme application concerne la gestion des risques. Nous avons vu qu’il ´ etait assez facile de faire le lien entre l’action et la valeur des actifs. Les march´ es actions fournissent des quantit´ es consid´ erables de donn´ ees qui peuvent ensuite servir ` a calibrer les d´ ependances entre les actifs des entreprises et par cons´ equent ` a bˆ atir un mod` ele de d´ efauts corr´ el´ es. Nous avons mentionn´ e que l’information des march´ es actions apportait une faible connaissance du risque de cr´ edit, et il est pr´ ef´ erable de calibrer les probabilit´ es de d´ efaut directement ` a partir des march´ es de cr´ edit ou ` a partir des ratings attibu´ es aux ´ emetteurs de dette par les agences. De plus, ce mod` ele est suffisamment souple pour permettre de calibrer non seulement le risque de ´ efaut, mais ausssi le risque de transition de rating. RiskMetrics est une soci´ et´ e qui vend des logiciels pour la gestion du risque financier. Leur mod` ele de credit appel´ e CreditMetrics ´ etend le mod` ele de Merton en y incluant les transitions de rating. Cette extension du mod` ele consiste ` a d´ ecouper la distribution des rendements d’actifs de sorte que si on r´ ealise des tirages al´ eatoires selon cette loi, nous reproduisons exactement les fr´ equences de transitions de rating. Nous utilisons une variable al´ eatoire normale centr´ ee r´ eduite X qui s’interpr` ete dans le mod` ele de Merton

27. 3.2. LA MOD´ELISATION DU D´EFAUT D’UNE ENTREPRISE 27 comme le rendement des actifs sur l’horizon consid´ er´ e. Si la r´ ealisation de cette variable est sous un certain seuil, alors le d´ efaut est d´ eclench´ e. Le seuil est pr´ ecis´ ement calibr´ e pour que la probabilit´ e de d´ efaut de l’entreprise corresponde ` a la probabilit´ e que la variable X ait une valeur inf´ erieure ` a ce seuil. Il en sera de mˆ eme pour tous les autre niveaux de rating ; selon la valeur de la r´ ealisation de la variable X la transition s’effectuera soit vers le d´ efaut soit vers un autre niveau de rating. Si nous appelons i le rating en d´ ebut de p´ eriode de l’entreprise, on d´ efinit le seuil Zi,CCC correspondant ` a la transition du rating i au d´ efaut. Nous avons : PDi= P(i,D) = P[X < Zi,CCC] = N(Zi,CCC) Par ailleurs, la probabilit´ e de transition soit vers le rating CCC soit vers le d´ efaut est ´ egale ` a P(i,CCC)+ P(i,D). On en d´ eduit que le seuil qui d´ eclenche une transition vers le rating CCC ou vers le d´ efaut est d´ efini par la relation P(i,CCC)+P(i,D) = P[X < Zi,CCC] = N(Zi,B). On construit ainsi de proche en proche les seuils associ´ es aux diff´ erentes transitions de rating. De fa¸ con g´ en´ erale, les seuils d´ efinissant les transitions s’´ ecrivent :   X  Zi,j= N−1 Pi,k k>j Si on choisit i = BBB, en utilisant la matrice de transition donn´ ee ci-dessus, on obtient le graphique suivant : Z Z Z Z Z Z Z A CCC BB BBB AA B AAA Figure 3.7: Seuils associ´ es aux transitions de rating dans le mod` ele de Merton On d´ eduit de la construction pr´ ec´ edante que la probabilit´ e de transition du rating i vers le rating j (diff´ erent du rating AAA ou du d´ efaut) est donn´ ee par : Pi,j= P[Zi,j< X ≤ Zi,j−1] = N(Zi,j−1) − N(Zi,j) L’interpr´ etation graphique de la courbe en cloche est que l’aire intercept´ ee par la courbe entre les seuils les seuils Zi,j−1et Zi,jest ´ egale ` a la probabilit´ e de transition du rating i vers le rating j.

28. CHAPTER 3. LA MOD´ELISATION DU D´EFAUT 28

29. Chapter 4 La mesure du risque 4.1 Axiomatique du risque Delbaen et al. ont propos´ e 4 propri´ et´ es de coh´ erence que devait satisfaire une bonne mesure de risque. Chacune de ces propri´ et´ es repose sur une intuition financi` ere. • Monotonie : si la probabilit´ e de perte sur un portefeuille est toujours sup´ erieure ` a celle d’un deuxi` eme alors leurs mesures de risque sont dans le mˆ eme sens X ≤ Y ⇒ ρ(X) ≤ ρ(Y ) • Homog´ en´ eit´ e : Le risque double si la taille du portefeuille double ρ(λX) = λρ(X) • Invariance par translation : l’ajout d’une poche d’actif sans risque ` a un portefeuille risqu´ e ne fait que translater la mesure du risque ρ(X + c) = ρ(X) + c • Sous-additivit´ e : cette propri´ et´ e traduit la notion de diversification : le risque sur un portefeuille est plus faible que la somme des risques individuels. ρ(X + Y ) ≤ ρ(X) + ρ(Y ) 4.2 Value at Risk (VaR) La notion de risque, traditionnellement d´ efinie par la volatilit´ e ne tient pas compte dans sa d´ efinition de l’asym´ etrie entre les gains et les pertes. La mesure de risque fait commun´ ement intervenir un niveau de probabilit´ e, niveau sur lequel l’investisseur est particuli` erement averse sur un horizon de temps donn´ e. La VaR est une estimation de la perte potentielle (exprim´ ee dans une unit´ e mon´ etaire) qui peut r´ esulter de la 29

30. 30 CHAPTER 4. LA MESURE DU RISQUE d´ etention d’un portefeuille de produits financiers sur une p´ eriode donn´ ee (un jour, une semaine, etc.), avec un niveau de confiance choisi a priori (95 %, 99 %, etc.). La Value at Risk (VaR) est d´ efinie comme la perte maximale qui survient avec un certain niveau de probabilit´ e que nous noterons q. Math´ ematiquement, cela s’´ ecrit : P [X ≤ −V aRq] = 1 − q La pr´ esence du signe moins dans la d´ efinition de la VaR indique simplement que la mesure de risque est positive. Si nous retenons un seuil de confiance de 99%, la VaR 99% est la perte maximale que l’on subira dans les 99% des cas les plus fr´ equents. Dans le cas d’une perte qui suit une loi de fonction de r´ epartition F sur l’horizon de temps consid´ er´ e, nous en d´ eduisons le lien direct entre la VaR et le quantile de cette loi de distribution au seuil q : V aRq= −F−1(1 − q) Dans le cas d’une perte qui suivrait une loi normale d’esp´ erance µ et d’´ ecart-type σ, nous obtenons la relation suivante : V aRq= −µ + σN−1(1 − q) Cette relation est remarquable car la VaR est toujours proportionnelle ` a l’´ ecart-type des pertes, et ce quel que soit le niveau de confiance retenu. Pour revenir aux axiomes des coh´ erence, la VaR n’est pas une mesure de risque coh´ erente car elle n’est pas sous-additive, comme l’illustre l’exemple suivant. Soit un univers compos´ e de 4 ´ etats du monde de probabili´ es respectives 1%, 49%, 49% et 1%. On consid` ere une banque qui vend un call et un put. Les payoffs dans les 4 ´ etats du monde sont les suivants pour ces options :   La VaR ` a 98% de chaque instrument du portefeuille est nulle mais celle du portefeuille global est ´ egale ` a 8. Notons que la propri´ et´ e de sous-additivit´ e est viol´ ee ` a cause de la conjonction de deux facteurs : l’univers des ´ etats du monde est fortement discontinu et le seuil est pr´ ecis´ ement choisi pour violer la sous-additivit´ e. Il est tr` es rare de se retrouver dans une situation similaire dans le cas d’un portefeuille r´ eel.       4 0 0 0 0 0 0 4     Call = Put =     4.3 Estimation de la VaR Les organismes de tutelle des ´ etablissements financiers imposent un seuil de confiance de 99%, de sorte que la perte observ´ ee ne devrait exc´ eder statistiquement la VaR dans 1% des cas seulement. Par ailleurs, la p´ eriode de d´ etention de 10 jours impos´ ee par la r´ eglementation bancaire correspond au d´ elai estim´ e n´ ecessaire pour retourner la position dans le march´ e. Ainsi, la VaR sur 10 jours ` a 99% n’est autre que le quantile d’ordre 1% de la distribution de probabilit´ e des variations sur 10 jours de la valeur de march´ e d’un portefeuille. Calculer la VaR revient donc ` a

31. 31 4.3. ESTIMATION DE LA VAR estimer un quantile de cette distribution. Trois m´ ethodes d’estimation couramment utilis´ ees en statistique permettent d’estimer la VaR : la m´ ethode historique s’appuyant sur des donn´ ees observ´ ees, la m´ ethode param´ etrique utilisant un mod` ele donn´ e afin d’en d´ eduire des formules ferm´ ees et la m´ ethode de simulation dite de Monte Carlo. 4.3.1 VaR historique Dans cette m´ ethode, la distribution des variations futures des facteurs de risque est assimil´ ee ` a celle observ´ ee sur une p´ eriode pass´ ee. On utilise donc les variations pass´ ees pour r´ e´ evaluer le portefeuille et simuler ses pertes et profits (profit and loss ou P&L). La VaR est ensuite obtenue en lisant le quantile appropri´ e sur l’histogramme des rentabilit´ es simul´ ees. Sur un historique de 500 P&L quotidiens d’un portefeuille (ce qui reprsente un historique de deux ans), la VaR ` a un jour ` a 99% de ce portefeuille est tout simplement ´ egale ` a la cinqui` eme plus basse variation observ´ ee dans l’historique. Ce calcul ne n´ ecessite qu’un historique des cours de l’instrument ou des facteurs de risque sur une p´ eriode donn´ ee, sans qu’aucune hypoth` ese a priori sur la distribution des variations des facteurs de risque ne soit n´ ecessaire. L’avantage de cette m´ ethode est de prendre en compte parfaitement les distributions de rendements des actifs du portefeuille ainsi que leur d´ ependance. Son point faible est que les historiques sont en g´ en´ eral de taille tr` es limit´ ee ou, s’ils sont de grande taille, on peut s’interroger sur la pertinence d’utiliser des donn´ ees historiques tr` es anciennes pour appr´ ehender un risque futur. 4.3.2 VaR param´ etrique Cette m´ ethode repose sur l’hypoth` ese que la loi jointe des facteurs de risque peut ˆ etre approch´ ee par une loi th´ eorique a priori dont l’expression math´ ematique d´ epend d’un nombre r´ eduit de param` etres. On utilise alors les propri´ et´ es de cette loi th´ eorique pour estimer le quantile de la distribution et donc la VaR d’une position ou d’un portefeuille. En raison de sa simplicit´ e, on utilise souvent la loi normale, qui est compl` etement caract´ eris´ ee par deux param` etres : sa moyenne et sa matrice de variance-covariance. Lorsque la variation de la valeur de march´ e d’une position s’exprime comme combinaison lin´ eaire des variations des facteurs de risque, les propri´ et´ es de la loi normale permettent le calcul imm´ ediat de la volatilit´ e de la position ` a partir de la matrice de variance-covariance des facteurs de risque. Le quantile d’ordre q et donc la VaR, est une fonction lin´ eaire de cette volatilit´ e. Malheureusement, l’utilisation de l’approximation gaussienne conduit ` a sous-estimer, parfois dramatiquement, la VaR r´ eelle. On peut alors sp´ ecifier d’autres lois pour les facteurs de risque, en particulier pour tenir compte de l’´ epaisseur des queues de la distribution de la plupart des variables financi` eres. Malheureusement les formules deviennent plus compliqu´ ees et il devient plus difficile de rendre compte avec justesse des d´ ependances entre les variables.

32. 32 CHAPTER 4. LA MESURE DU RISQUE 4.3.3 VaR Monte-Carlo L’estimation de la VaR par simulations de Monte Carlo pr´ esente des points communs avec l’approche historique et la m´ ethode param´ etrique. Dans un premier temps, on sp´ ecifie la distribution jointe des facteurs de risque. Puis, on engendre ` a partir de cette loi, un tr` es grand nombre de sc´ enarios de variations des facteurs de risque. Ces sc´ enarios sont ensuite utilis´ es pour calculer les r´ esultats hypoth´ etiques du portefeuille. La VaR est enfin d´ etermin´ ee de la mˆ eme mani` ere que la VaR historique mais ` a partir de l’´ echantillon simul´ e. Bien que simple dans son principe, cette m´ ethode n´ ecessite une grosse capacit´ e de calcul. Le nombre de simulations ` a effectuer croˆ ıt tr` es vite avec la complexit´ e des produits et le nombre de tirages devient rapidement tr` es important si l’on souhaite obtenir une pr´ ecision acceptable. 4.3.4 Probl` emes des donn´ ees historiques Quelle que soit la m´ ethode utilis´ ee, le calcul de la VaR n´ ecessite des donn´ ees historiques, que ce soit pour disposer de sc´ enarios sur les facteurs de risque ou pour estimer les param` etres de la loi sp´ ecifi´ ee pour ces facteurs. Une difficult´ e majeure concerne le choix de la longueur de la p´ eriode historique utilis´ ee dans l’estimation. Si l’on accepte l’hypoth` ese de stationnarit´ e des facteurs de risque, le calcul de la VaR est d’autant plus pr´ ecis que l’historique dont on dispose est long. Cependant, de nombreuses ´ etudes empiriques portant sur les variables financi` eres montrent l’alternance de p´ eriodes de forte volatilit´ e des march´ es et de p´ eriodes plus calmes. Ainsi, non seulement une des hypoth` eses sous-jacentes ` a l’estimation de la VaR n’est pas v´ erifi´ ee mais la VaR calcul´ ee sur un historique trop long peut ˆ etre fortement biais´ ee et ne pas refl´ eter les niveaux de volatilit´ e du moment. On est alors confront´ e ` a des exigences contradictoires. Comment d´ eterminer dans ces conditions la longueur optimale de la p´ eriode ` a utiliser pour le calcul de la VaR, sachant que les organismes de tutelle impose une p´ eriode historique minimale d’une ann´ ee? Ce probl` eme est quelquefois contourn´ e en pond´ erant les observations pour donner plus de poids aux p´ eriodes plus r´ ecentes. 4.4 Autres mesures de risque 4.4.1 Expected shortfall Il existe d’autres mesures de risque qui sont coh´ erentes au sens des axiomes de coh´ erence des mesures de risque. C’est le cas de l’expected shortfall. Il s’agit d’une mesure de risque associ´ ee ` a un seuil de probabilit´ e mais qui mesure l’esp´ erance de la valeur du portefeuille dans les cas associ´ es ` a ce seuil de probabilit´ e : ESq= E [−X |X ≤ −V aRq]

33. 33 4.4. AUTRES MESURES DE RISQUE Dans le cas de la gaussienne, l’expected shortfall et la VaR sont num´ eriquement tr` es proches pour de niveaux de confiance ´ eloign´ es ; en effet : RN−1(1−q) = −n¡N−1(1 − q)¢ xn(x)dx 1 − q = −n(−V aRq) −∞ ESq= − N(−V aRq)∼ V aRq 1 − q Ce n’est en revanche pas le cas si la variable consid´ er´ ee suit une loi ` a queue ´ epaisse, telle la loi de Pareto par exemple. Dans ce cas, la fonction de r´ epartition s’´ ecrit F(x) = C|x|−α, avec α > 2, et la VaR est ´ egale ` a : ? ¶1/α C V aRq= −F−1(1 − q) = 1 − q Il vient alors pour l’expected shortfall : R−V aRq dxxαC|x|−α−1 1 − q 1 −∞ ESq= − ∼ V aRq+ α − 1V aRq Dans le cas d’une queue ´ epaisse, l’expected shortfall est sensiblement diff´ erent de la VaR, alors que dans le cas d’une queue gaussienne l’expected shortfall converge vers la VaR pour des seuils ´ elev´ es. Nous avons vu que la VaR ´ etait une mesure de risque ” locale ” puisqu’elle n’utilise la fonction de r´ epartition qu’au seuil consid´ er´ e. En revanche, l’expected shortfall utilise toute la fonction de r´ epartition au-del` a du seuil consid´ er´ e, et prend donc en compte toute l’information que nous avons sur la loi de la variable al´ eatoire au-del` a du seuil. En ce sens, nous pouvons consid´ erer que l’expected shortfall est une mesure de risque meilleure que la VaR. 4.4.2 Drawdowns Il existe d’autres mesures de risque associ´ ees aux aspects temporels du risque. En supposant que le prix initial d’un actif est S0, quelle est la probabilit´ e que le pire prix atteint dans le futur soit ´ egal ` a Smin, et combien de temps va durer ce ” drawdown ” (combien de temps va s’´ ecouler entre l’atteinte du min et le retour au nouveau initial) ? Mˆ eme si un investissement est men´ e sur le long terme, l’investisseur a besoin d’estimer son risque de court terme, et il faut introduire dans l’analyse les aspects temporels du risque. Une fa¸ con de le faire est de consid´ erer la distribution des drawdowns, d´ efinis ` a la date t par : D(t) =maxs∈[0,t]Ws Wt o` u Wtest la valeur du portefeuille ` a la date t. Il faut remarquer que ceci est plus un risque d’opportunit´ e qu’un risque de perte puisque le drawdown est d´ efini par rapport au maximum est non par rapport ` a la richesse initiale. Le drawdown est aussi appel´ e VaR sans horizon puisqu’il d´ ecrit la perte sur un horizon non sp´ ecifi´ e ` a l’avance. Il d´ ecrit ´ egalement la frustration de l’investisseur forc´ e de liquider sa position en dessous du maximum qu’il avait atteint dans le pass´ e. Il faut remarquer ´ egalement que le drawdown n’est pas une mesure de risque coh´ erente (elle n’est pas sous-additive). Dans le cas d’une marche al´ eatoire multiplicative (comme le processus lognormal par exemple), on peut montrer que la distribution des drawdowns est une loi de puissance. Appelons π(x) la distribution des rendements de richesse : π(x) = P [ln(Wt+1/Wt) = x]

34. 34 CHAPTER 4. LA MESURE DU RISQUE On montre dans la limite stationnaire, que la loi de distribution de la variable D(t) suit une loi de puissance, et en ´ ecrivant l’´ equation maˆ ıtresse de cette loi de probabilit´ e dans la limite stationnaire, nous obtenons l’´ equation d’auto-consistence satisfaite par le param` etre de queue de cette loi : Z 1 P(D > x) ∼ avec dxπ(x)e−Γx= 1 xΓ Dans le cas d’un processus lognormal, on obtient Γ = 2µ/σ2. 4.4.3 Temps de retour Soit R la rentabilit´ e d’un actif. Formellement, la dur´ ee de retour d’un ´ ev´ enement r est le temps moyen qu’il faut attendre pour que la variable R atteigne ou d´ epasse le niveau r. Soit τ le premier instant o` u R d´ epasse r. En temps discret, si les rentabilit´ es sont ind´ ependantes, la probabilit´ e que τ soit ´ egal ` a une date donn´ ee u est le produit des probabilit´ es que R soit inf´ erieur ` a r pendant les u − 1 premi` eres dates et sup´ erieur ` a r ` a la date u. Si FRest la fonction de r´ epartition de R, on obtient : P(τ = u) = Fu−1 (r)[1 − FR(r)] R E(τ) =P E(τ) =P E(τ) =P u≥1uP(τ = u) R(r) −P 1 1−FR(r) u≥0(u + 1)Fu R(r) u≥1uFu R(r) = u≥0Fu 4.4.4 Cadre g´ en´ eral des mesures de risque coh´ erentes Un moyen g´ en´ eral de d´ efinir de ” bonnes ” mesures de risque consiste ` a introduire une distorsion des fonctions de r´ epartition. Si g : [0,1] → [0,1] est une fonction croissante telle que g(0) = 0 et g(1) = 1, on d´ efinit la fonction de r´ epartition distordue . On d´ efinit alors la mesure de risque : Z0 Z∞ ρ(X) = E∗[X] = E[Xϕ(X)] = − dxg(F(x)) + dx [1 − g(F(x))] −∞ 0 o` u la fonction ϕ est la d´ eriv´ ee de Radon-Nikodym correspondant ` a la distorsion de la mesure de proba- bilit´ e. Un th´ eor` eme indique que si la fonction g est ´ egalement concave (c’est-` a-dire que g est cointinue puisqu’elle est croissante), alors la mesure de risque induite ρ est sous-additive et donc coh´ erente. Dans le cas de la VaR, on a :   Cette fonction est discontinue au niveau de la VaR, ce qui indique qu’il ne s’agit pas d’une mesure de risque coh´ erente. Dans le cas de l’expected shortfall, on montre ais´ ement que la fonction g est continue et s’´ ecrit :   0 si x < V aR  g(x) = 1 si x ≥ V aR 0 si x < V aR  g(x) = si x ≥ V aR u−V aR 1−V aR

35. 35 4.5. CONTRIBUTIONS AU RISQUE Toutefois, dans le cas de l’expected shortfall, la fonction g, tout en ´ etant continue, n’est pas diff´ erentiable au point x = V aR. Pour tout x < V aR, la fonction de distorsion g est ´ egale ` a 0, c’est-` a-dire que l’information contenue au niveau de la fonction de r´ epartition des pertes sur cette r´ egion n’est pas utilis´ ee dans la mesure de risque d´ efinie par l’expected shortfall. Une fonction de distorsion diff´ erentiable sur l’ensemble des r´ eels tout entier permettrait de d´ efinir une mesure de risque qui serait non seulement coh´ erente du point de vue des axiomes de risques, mais ´ egalement qui utiliserait toute l’information sur la r´ epartition de la variable al´ eatoire. La transformation suivante, appel´ ee transfom´ ee de Wang, satisfait cette propri´ et´ e : gλ(x) = N£N−1(x) − λ⁄ Une propri´ et´ e remarquable des mesures de risque obtenues par distorsion de la fonction de r´ epartition est qu’on peut les r´ eexprimer comme une somme pond´ er´ ee de Value at Risk ` a diff´ erents niveaux de confiance. En effet, si on se place dans l’espace des quantiles de la variable al´ eatoire X plutˆ ot que dans l’espace direct de cette variable al´ eatoire, c’est-` a-dire si on pose α = F(x), on obtient : Z∞ avec ˜ ϕ(α) = ϕ¡F−1(α)¢. Z1 ρ(X) = E[Xϕ(X)] = xϕ(x)dF(x) = dα ˜ ϕ(α)V aRα −∞ 0 4.5 Contributions au risque Le cas le plus simple est celui d’un portefeuille gaussien. Dans ce cas, la mesure naturelle du risque est l’´ ecart-type du P&L. Nous notons xila pond´ eration de la ligne i dans le portefeuille et µiet σid´ esignent respectivement le rendement esp´ er´ e et l’´ ecart-type du rendement sur la ligne i. Les corr´ elations deux ` a deux sont ρij. La formule de l’esp´ erance et de la variance du P&L sur l’horizon consid´ er´ e est : E[P&L] =P var[P&L] =P Il se trouve que la somme des covariances de chaque ligne avec le rendement total du portefeuille est ´ egale ` a la variance elle-mˆ eme. Nous en d´ eduisons une formule tr` es simple de la contribution de chaque ligne du portefeuille ` a la variance totale : ixiµi i+ 2P ix2 iσ2 i<jρijxixjσiσj p Cbi=cov(P&Li,P&L) var(P&L) var(P&L) La formuleP fonction gaussienne multivari´ ee. La contribution ` a la variance est la covariance calcul´ ee par la formule ci-dessus. Dans le cas g´ en´ eral, la contribution calcul´ ee en covariance permet ` a coup sˆ ur de r´ epartir le risque total du portefeuille sur chaque ligne. iCbi= var(P&L) est toujours vraie, mˆ eme si les lois de rendements ne suivent pas une p Cbi=cov(P&Li,P&L) var(P&L) ρ(P&L) Toutefois, il existe une infinit´ e de fa¸ cons de faire ceci, et le choix de la covariance bien qu’inspir´ e du cas gaussien est tout ` a fait arbitraire et ne se justifie que par la simplicit´ e de calcul de cette grandeur

36. 36 CHAPTER 4. LA MESURE DU RISQUE d’un point de vue num´ erique, comme nous le verrons ci-dessous. La propri´ et´ e d’homog´ en´ eit´ e de degr´ e 1 des mesures de risque coh´ erentes permet, via la formule d’Euler, de calculer la formule g´ en´ erale des contributions au risque. On obtient en effet : X X ∂ρ ∂xi ρ(x1,...,xN) = = xi Cbi i i Ainsi, la contribution marginale d’une ligne du portefeuille au risque total est la d´ eriv´ ee de la mesure de risque du portefeuille par rapport ` a la taille marginale de la ligne en question. C’est aussi l’augmentation du risque total du portefeuille pour une augmentation de 1 euro de la taille de la ligne consid´ er´ ee. Il existe une autre grandeur int´ eressante dans l’analyse du risque d’un portefeuille ; il s’agit de la con- tribution incr´ ementale d’une ligne, c’est-` a-dire de l’augmentation du risque total du portefeuille si on lui rajoute cette ligne. La formule de la contribution incr´ ementale est donc : ρincr(i) = ρ(x1,...,xi−1,xi,xi+1,...,xN) − ρ(x1,...,xi−1,0,xi+1,...,xN) Dans la limite, o` u la taille de la ligne consid´ er´ ee devient infinit´ esimale par rapport ` a la taille du portefeuille, les deux grandeurs, contribution marginale et contribution incr´ ementale convergent. En revanche, on a toujours une relation d’ordre entre les deux : la contribution marginale est toujours sup´ erieure ` a la contribution incr´ ementale. L’intuition de ce r´ esultat est que rajouter une ligne ` a un portefeuille aura tendance ` a le diversifier alors que rajouter 1 euro ` a une ligne d´ ej` a existante aura tendance ` a le concentrer sur la ligne i. La d´ emonstration de ce r´ esultat tient ` a la convexit´ e des mesures coh´ erentes de risque, convexit´ e provenant des propri´ et´ es de sous additivit´ e et d’homog´ en´ eit´ e. Pour simplifier les notations, la fonction ρ(x1,...,xi−1,xi,xi+1,...,xN) sera not´ ee simplement ρ(xi), les N − 1 autres variables restant inchang´ ees. Nous avons : 2ρ(xi) = ρ((xi+ dxi) + (xi− dxi)) ≤ ρ(xi+ dxi) + ρ(xi− dxi) propri´ et´ e d’homog´ en´ eit´ e propri´ et´ e de sous-additivit´ e On en d´ eduit alors que la mesure de risque est convexe en fonction des pond´ erations du portefeuille, c’est-` a-dire : ∂2ρ ∂x2 i Par cons´ equent, on peut d´ evelopper la contribution incr´ ementale du risque au deuxi` eme ordre : (x1,...,xi−1,xi,xi+1,...,xN) ≥ 0 ∂ρ ∂xi(xi) −1 ∂2ρ ∂x2 ∂ρ ∂xi(xi) ρ(xi) − ρ(0) ∼ xi (xi) ≤ xi 2x2 i i La concavit´ e de la mesure de risque indique que l’euro marginal d’exposition sur la ligne i coˆ ute plus cher que le premier euro. En effet, ceci est intuitif sur le plan financier car le premier euro de la ligne i va plus diversifier le portefeuille que les euros suivants. Le cas de la contribution ` a la VaR est instructif et tr` es utile en pratique. Il est en g´ en´ eral num´ eriquement tr` es compliqu´ e de calculer la d´ eriv´ ee de la VaR par rapport ` a l’exposition sur chaque ligne. Par ailleurs, nous avons vu l’utilisation d’une formule de type covariance n’´ etait pas fond´ ee sur des arguments solides,

37. 37 4.5. CONTRIBUTIONS AU RISQUE et il y a des cas o` u cette utilisation de la VaR conduit ` a des contributions sup´ erieures au risque maximal sur la ligne elle-mˆ eme ! Dans le cas o` u la mesure de risque est la VaR, on d´ emontre le r´ esultat suivant : Cbi= E[P&Li|P&L = V aR] Pour d´ emontrer ce r´ esultat, nous consid´ erons un portefeuille qui est la somme de deux sous-portefeuilles, dont les P&L sont d´ ecrits par les variables X et †Y respectivement. Nous appelons f(x,y) la densit´ e jointe des variables X et Y . Les quantiles du P&L du portefeuille au seuil α en fonction du poids de la ligne mod´ elis´ ee par la variable Y est d´ efini par : "Z∞ # Z∞ P [X + †Y > Q(†,α)] = α = f(x,y)dx dy −∞ Q(†,α)−†y En d´ erivant par rapport ` a †, nous obtenons : •∂Q(†,α) ‚ Z∞ f(Q(†,α) − †,y)dy = 0 − y ∂† −∞ Ce qui donne imm´ ediatement : R∞ −∞yf(Q(†,α) − †,y)dy R∞ ∂Q(†,α) ∂† = −∞yf(Q(†,α) − †,y)dy= E[Y |X + †Y = Q(†,α)] Intuitivement, cette formule signifie que la contribution ` a la VaR de chaque ligne du portefeuille est l’esp´ erance du P&L de chaque ligne conditionnellement au fait que le P&L du portefeuille soit exactement ` a son seuil de VaR. Exemple du portefeuille gaussien homog` ene Consid´ erons un portefeuille de trading de N lignes. Le rendement de chaque ligne du portefeuille sur un horizon de temps donn´ e est not´ e Riet suit une loi normale centr´ ee et de variance σ2 de chaque ligne du portefeuille est xi= 1/N (si bien que la taille globale du portefeuille est 1), et les corr´ elations deux ` a deux des rendements sont toutes identiques ρij= ρ. L’esp´ erance de rendement de ce portefeuille, par lin´ earit´ e de l’esp´ erance est ´ egale ` a 0. Sa variance est quant ` a elle ´ egale ` a : i= σ2. Le poids X X N+N − 1 ρijxixjσiσj=σ2 P= i+ 2 σ2 x2 iσ2 ρσ2 N i i<j La VaR au seuil q s’´ ecrit : V aRq= −σPN−1(1 − q). La contribution ` a cette VaR de la ligne num´ ero i vaut : cov jRj σ2 P ‡ · Ri,P V aRq=V aRq Cbi= N Le capital incr´ emental de la ligne num´ ero i vaut : hp (N − 1)σ2+ (N − 1)(N − 2)ρσ2i p ρincr(i) = −N−1(1 − q) Nσ2+ N(N − 1)ρσ2− /N2

38. 38 CHAPTER 4. LA MESURE DU RISQUE 4.6 Mesurer n’est pas g´ erer Plusieurs difficult´ es concernant la mesure des risques viennent limiter la port´ ee de cet exercice. La premi` ere concerne la longueur requise des historiques. Pour avoir des r´ esultats fiables, il faut disposer d’un historique suffisamment long. La deuxi` eme concerne la mesure des corr´ elations (des d´ ependances) entre actifs, qui a fait l’objet de nombreux d´ eveloppements depuis une dizaine d’ann´ ees, notamment autour de la th´ eorie des copules. Toutefois, si la th´ eorie des copules fournit un cadre conceptuel ` a la notion de d´ ependance, on peut estimer que les applications pratiques ne sont pas ` a la hauteur des d´ eveloppements th´ eoriques qui ont ´ et´ e men´ es. En s’attaquant ` a ces questions, il ne faut toutefois pas perdre de vue que l’objectif du gestionnaire de risques n’est pas seulement de mesurer les risques, mais ´ egalement de les g´ erer. Cette gestion passe par la mise en place d’outils de compr´ ehension fine du risque au niveau d’un porte- feuille. Parmi ceux d´ ej` a d´ evelopp´ es dans certaines institutions, citons l’identification des positions qui ont le plus fort impact sur le risque, l’analyse de la contribution marginale d’une position, l’´ etude des anticipations implicites contenues dans le portefeuille pour d´ etecter les incoh´ erences, enfin et surtout la recherche des meilleures op´ erations pour r´ eduire les expositions. Toute l’expertise de la gestion du portefeuille de la banque va consister ` a trouver le couple rendement / risque optimal compte tenu du projet industriel de la banque.

39. Chapter 5 Simulation Monte-Carlo 5.1 Principe La m´ ethode de Monte-Carlo utilise le lien entre probabilit´ es et volumes dans l’espace probabilis´ e. Alors que la th´ eorie de la mesure exprime la probabilit´ e d’un ´ ev´ enement en termes de volume de cet ´ ev´ enement dans l’univers des r´ ealisations possibles des variables al´ eatoires, la m´ ethode de Monte-Carlo fait exacte- ment le contraire en estimant le volume d’un ´ ev´ enement et en l’interpr´ etant comme une probabilit´ e. La m´ ethode de Monte-Carlo dans sa version la plus ´ el´ ementaire consiste ` a simuler un ´ echantillon de r´ ealisations des variables al´ eatoires, et la fraction des r´ esultats qui appartiennent ` a l’´ ev´ enement consid´ er´ e donne une estimation de son volume. La loi des grands nombres assure la convergence de cette estima- tion lorsque la taille de l’´ echantillon simul´ e tend vers l’infini. Concr` etement, si une exp´ erience al´ eatoire a plusieurs r´ esultats possibles, nous effectuons N tirages, et si on suppose que le r´ esultat num´ ero i a une probabilit´ e pid’apparaˆ ıtre et apparaˆ ıt Nifois, nous avons : Ni N lim N→∞ = pi Soit ` a present une variable al´ eatoire continue X de densit´ e de probabilit´ e f , et nous souhaitons calculer l’esp´ erance de la variable al´ eatoire g(X). Supposons que les (Xi)1≤i≤N constituent un ensemble de N r´ ealisations de la variable al´ eatoire X. La m´ ethode Monte-Carlo repose sur la relation obtenue de la loi des grands nombres : 1 N i=1 Comme l’indique le th´ eor` eme de la limite centrale, cette convergence de la moyenne sur l’´ echantillon vers l’esp´ erance est malheureusement tr` es lente, et l’´ ecart type de l’estimateur de l’esp´ erance d´ ecroˆ ıt comme 1/√N en fonction du nombre de simulations. R´ eduire l’incertitude sur l’estimateur d’un facteur 10 requiert 100 fois plus de simulations. En revanche, l’universalit´ e de la loi des grands nombres fait de la m´ ethode Monte-Carlo une m´ ethode applicable en toutes circonstances, qu’elle qu’en soit la complexit´ e. Sa faiblesse vient uniquement de la lenteur de la convergence des estimateurs. N X lim N→∞ g(Xi) = E [g(X)] La pr´ ecision d’une estimation par m´ ethode Monte-Carlo vient d’une part, comme nous l’avons vu, de la 39

40. 40 CHAPTER 5. SIMULATION MONTE-CARLO taille de l’´ echantillon simul´ e, et d’autre part de la qualit´ e du g´ en´ erateur de nombres al´ eatoires. L’´ el´ ement cl´ e ` a ce niveau est de disposer d’un g´ en´ erateur de nombres al´ eatoires uniformes entre 0 et 1 qui soit tr` es performant ; en particulier il ne doit pas y avoir d’auto-corr´ elations entre ces nombres. probl´ ematique constitue un pan important des math´ ematiques appliqu´ ees. Cette Une fois une variable uniforme U engendr´ ee, il y a plusieurs m´ ethodes pour engendrer une variable al´ eatoire X de fonction densit´ e f : • Inverse de la fonction de r´ epartition : appelons F la fonction de r´ epartition de X. Cette fonction appliqu´ ee ` a la variable X ´ etant une variable uniforme U, on en d´ eduit que l’on peut poser X = F−1(U). Cette m´ ethode est la plus simple lorsqu’on dispose d’une forme explicite pour F. • M´ ethode de rejet : cette m´ ethode est utile pour les variables ` a support compact et dont la fonction de densit´ e reste born´ ee, mais dont la fonction de r´ epartition ne s’exprime pas simplement. C’est par exemple le cas de la loi beta. Soit m tel que pour toute valeur de x, nous ayons f(x) < m. Nous simulons une r´ ealisation de deux variables uniformes U sur [0,1] et V sur l’intervalle [0,m]. Si V < f(U), on garde U et on pose X = U ; dans le cas inverse, on rejette U et on recommence. • Variables normales : elles sont au cœur de la mod´ elisation en finance et requi` erent une m´ ethodologie sp´ ecifique car l’inverse de la fonction de r´ epartition de la loi normale ne s’exprime pas ` a l’aide de fonctions ´ el´ ementaires. Une premi` ere m´ ethode consiste ` a trouver des approximations polynomiales de la fonction de r´ epartition inverse de la loi normale. Une deuxi` eme m´ ethode consiste ` a engendrer deux variables al´ eatoires U1et U2et ` a utiliser la formule de Box-Muller X =√−2lnU1cos(U2). 5.2 M´ ethodes de r´ eduction de variance Lors de simulations Monte-Carlo, il y a une perte d’information due ` a la diff´ erence entre la loi th´ eorique de la variable al´ eatoire consid´ er´ ee et l’histogramme des r´ ealisations simul´ ee de cette variable : • Si la loi poss` ede des sym´ etries, celles-ci sont g´ en´ eralement perdues dans l’histogramme des r´ ealisations • L’´ echantillon al´ eatoire est toujours biais´ e par rapport ` a la vraie distribution • Si les ´ ev` enements qui contribuent le plus ` a la quantit´ e que nous cherchons ` a calculer, mˆ eme un grand nombre de simulation ne seront pas suffisantes pour estimer cette grandeur avec pr´ ecision 5.2.1 Variables antith´ etiques La m´ ethode des variables antith´ etiques a pour but de restaurer dans l’histogramme des r´ ealisations de la variable al´ eatoire, la sym´ etrie de la loi th´ eorique de cette variable. Dans l’exemple d’une variable normale centr´ ee r´ eduite, la loi de probabilit´ e poss` ede une sym´ etrie par rapport ` a la valeur 0. Ainsi, la densit´ e de probabilit´ e de r´ ealisation de X et de −X sont ´ egales. Un estimateur non biais´ e de E [g(X)] est obtenu en

41. 5.2. M´ETHODES DE R´EDUCTION DE VARIANCE 41 introduisant dans l’´ echantillon des r´ ealisations toutes les variables antith´ etiques −X. L’estimateur non biais´ e de cette esp´ erance est : 1 2N i X [g(Xi) + g(−Xi)] Cela permet de doubler la taille de l’´ echantillon sans consommation en temps de calcul suppl´ ementaire. L’efficacit´ e de la m´ ethode d´ epend bien sˆ ur de la forme de la quantit´ e ` a calculer. En particulier, si la fonction g est impaire, une seule simulation donnera le r´ esultat exact, en l’occurence 0. Si cette fonction est paire, la m´ ethode n’aura aucun int´ erˆ et car g(−X) = g(X). Entre ces deux situations extrˆ emes, la m´ ethode des antith´ etiques est utile car elle restaure la sym´ etrie de la loi de distribution dans l’´ echantillon des tirages ` a moindres frais. 5.2.2 Variable de contrˆ ole Lors d’une simulation Monte-Carlo, soit on sur-estime le r´ esultat, soit on le sous-estime. Dans certains cas, il est possible d’avoir une id´ ee approximative de combien on sur-estime ou sous-estime le r´ esultat. En effet, si on connaˆ ıt une quantit´ e proche de celle que nous cherchons ` a estimer pour laquelle nous connaissions la vraie esp´ erance, la m´ ethode de Monte-Carlo nous permettrait de calculer l’erreur que nous commettons sur cette deuxi` eme variable et donc d’avoir une id´ ee de l’erreur commise sur la premi` ere variable. Supposons que nous souhaitions calculer l’esp´ erance a = E [f(X)] dont une estimation est obtenue par simulation Monte-Carlo ˆ a =P f, telle que nous sachions calculer exactement l’esp´ erance b = E [g(X)]. A l’aide de l’´ echantillon ayant servi ` a estimer a, on peut obtenir une estimation Monte-Carlo de b grˆ ace ` a la formule :ˆb =P Si l’estimation Monte Carlo sur-estime la quantit´ e b, il y a des chances que ce soit ´ egalement le cas pour a puisque les fonctions f et g sont proches. On peut donc corriger l’estimateur de a par une quantit´ e proportionnelle ` a b −ˆb. Notre estimateur corrig´ e s’´ ecrit donc : if(Xi)/N. Supposons qu’il existe une fonction g ”proche” de la fonction ig(Xi)/N. ‡ · b −ˆb ˜ a = ˆ a + c Par construction, nous avons bien E [˜ a] = E [ˆ a] = a. Nous choisissons la quantit´ e c de mani` ere ` a minimiser la variance de l’estimateur corrig´ e var(˜ a). Le param` etre c est donc solution de l’´ equation suivante : h ‡ · ‡ˆb ·i d dcvar(˜ a) = d dc ˆ a,ˆb var(ˆ a) − 2ccov + c2var = 0 La valeur optimale de c est donc donn´ ee par : ‡ · ˆ a,ˆb ‡ˆb cov c = · var Ainsi, conform´ ement ` a l’intuition, plus les fonctions f et g sont ”proches”, plus les variables ˆ a etˆb sont corr´ el´ ees, et plus la correction ` a l’estimation sera importante et efficace.

42. 42 CHAPTER 5. SIMULATION MONTE-CARLO 5.2.3 Importance sampling Dans une grande majorit´ e des cas, une fraction importante des simulations Monte-Carlo ne contribue que tr` es peu au r´ esultat d’estimation de la quantit´ e qui nous int´ eresse. C’est en particulier le cas pour l’estimation d’´ ev´ enements rares. Dans ce cas, l’astuce consiste ` a effectuer un changement de probabilit´ e et calculer notre esp´ erance sous cette nouvelle probabilit´ e sous laquelle les ´ ev´ enements qui vont contribuer au r´ esultat sont plus fr´ equents. Cette m´ ethode repose sur la relation suivante : Z L’esp´ erance sous la densit´ e h de la variable corrig´ ee de la d´ eriv´ ee de Radon-Nikodym est ´ egale ` a l’esp´ erance que nous recherchons ; en revanche, la variance de l’estimation sera plus faible que sous la densit´ e f si nous choisissons un changement de probabilit´ e appropri´ e. Le choix de la nouvelle mesure de probabilit´ e est dict´ e par la minimisation de la variance suivante : ( •f(Y ) ‚ Z g(y)f(y) h(y)h(y)dy =˜E E [g(X)] = g(x)f(x)dx = h(Y )g(Y ) "?f(Y ) ¶2# ‚2) •f(Y ) ˜E −˜E min h h(Y )g(Y ) h(Y )g(Y ) La minimisation de la variance ci-dessus requiert une optimisation fonctionnelle qui est tr` es lourde en mettre en œuvre sauf dans de rarissimes cas simples. En pratique, nous limitons le choix des fonctions h parmi des lois normales centr´ ees sur une valeur µ, variable sur laquelle porte l’optimisation. Il est ´ egalement possible d’optimiser sur la variance σ2associ´ e ` a la densit´ e h, ce qui conduit ` a r´ esoudre les ´ equations suivantes (hµ,σ´ etant la densit´ e de la loi normale centr´ ee sur µ et d’´ ecart type σ) : ‰ ‰ A titre d’exemple, nous pouvons consid´ erer le calcul de la probabilit´ e P[X ≤ s] pour s < 0 et X une variable normale centr´ e r´ eduite. Le r´ esultat exact est bien-sˆ ur donn´ e par N(s), mais pour des seuils tr` es n´ egatifs, la m´ ethode Monte-Carlo standard va s’av´ erer tr` es impr´ ecise car peu de tirages vont se retrouver en dessous du seuil s. Nous allons mettre en œuvre la m´ ethode d’importance sampling et changer la densit´ e f(x) = exp(−x2/2)/√2π par la densit´ e : 1 √2πexp Si la variable X a pour densit´ e la fonction f et Y a la densit´ e h, alors on a la relation suivante : h Nous pouvons ´ ecrire la variance de l’estimateur sous la nouvelle mesure de probabilit´ e : ˆZ L’´ equation de maximisation de cette variance par rapport ` a la variable µ s’´ ecrit : •‡ •‡ ·2‚ ·2‚ i2? i2? h h ˜E −˜E f(Y ) hµ,σ(Y )g(Y ) f(Y ) hµ,σ(Y )g(Y ) = 0 ∂ ∂µ ˜E −˜E f(Y ) hµ,σ(Y )g(Y ) f(Y ) hµ,σ(Y )g(Y ) = 0 ∂ ∂σ • ‚ −(x − µ)2 h(x) = ) 2 1{Y ≤s}eµ2/2−µYi E£1{X≤s} ⁄=˜E !2 Z dxe−x2/2 √2π 1 dxe−x2e(x−µ)2/2· 1{x≤s}− = N(s + µ)eµ2− N(s)2 v(µ) = · 1{x≤s} √2π ‡ N(s + µ)eµ2· d v0(µ) = 0 = dµ

43. 5.2. M´ETHODES DE R´EDUCTION DE VARIANCE 43 Dans la limite asymptotique (x → −∞), on peut montrer: N(x) ∼e−x2/2 |x|√2π La d´ emonstration de ce r´ esultat s’obtient en d´ eveloppant la fonction N(x) en s´ erie au voisinage de −∞. Pour cela, on remarque que n0(x) = −xn(x), ce qui nous permet d’effectuer un int´ egration par parties. Il vient alors : N(x) =Rx =Rx = −Rx = −£n(u)1 = −n(x) −∞n(u)du −∞un(u)1 udu −∞n0(u)1 udu ⁄x −∞−Rx ‡ −∞n(u) · 1 u2du u n(x) x2 − O x On d´ emontre ainsi de mani` ere it´ erative : N(x) ∼ −n(x) +n(x) −n(x) + ... x3 x5 x On en d´ eduit dans cette limite que la valeur optimale du changement de probabilit´ e correspond ` a µ∗∼ s. Le changement optimal de probabilit´ e revient ` a centrer la gaussienne au niveau du seuil sur lequel les ´ ev´ enements ”int´ eressants” vont se produire. L’efficacit´ e de la m´ ethode d’importance sampling sera d’autant plus importante que le changement de probabilit´ e sera visible. Dans notre exemple, plus le seuil s sera grand en valeur absolue, plus la valeur de µ∗sera grande en valeur absolue. Dans la m´ ethode de Monte-Carlo standard, le ratio signal sur bruit (ratio entre la valeur de l’esp´ erance et l’incertitude) de l’estimation se calcule ais´ ement : p N(s) N(s)/N pN(s)(1 − N(s))√N ∼ Dans la m´ ethode d’importance sampling, ce ratio signal sur bruit s’´ ecrit : p N(s) N(s) 2|s|/N pN.v (µ∗) q ∼ ¡N(2s)es2− N(s)2¢∼ N L’efficacit´ e de la m´ ethode Monte Carlo d´ epend du seuil retenu car pour un ´ echantillon de taille donn´ ee, le nombre d’´ ev´ enements qui contribuent ` a l’esp´ erance d´ ecroˆ ıt avec le seuil. Ce n’est plus le cas dans la m´ ethode d’importance sampling. On peut introduire le facteur de qualit´ e de la m´ ethode d’importance sampling par rapport ` a la m´ ethode de Monte-Carlo simple. En effet la variance de l’estimation dans la m´ ethode de Monte-Carlo s’´ ecrit : N.N(s).(1 − N(s)) Pour la m´ ethode d’importance sampling, elle s’´ ecrit : ‡ N(2s)es2− N(s)2· N.

44. 44 CHAPTER 5. SIMULATION MONTE-CARLO Le rapport entre la variance de l’estimation en Monte-Carlo et la variance en importance sampling indique le gain en termes de nombres de simulations apport´ e par l’importance sampling pour un niveau de pr´ ecision donn´ e. Ainsi, ce facteur qualit´ e tend asymptotiquement vers augmente exponentiellement ` a l’infini lorsque le seuil s’´ eloigne. Le facteur qualit´ e que nous obtenons dans cet exemple d´ epend du seuil retenu de la fa¸ con suivante : √8π/n(s) , c’est-` a-dire qu’il 300 250 200 150 100 50 0 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 Figure 5.1: Efficacit´ e de la m´ ethode d’importance sampling

45. Chapter 6 Gestion du risque de cr´ edit d’une banque 6.1 Le capital r´ eglementaire Afin de prot´ eger les d´ eposants, premiers cr´ eanciers d’une banque et afin de se pr´ emunir contre une crise financi` ere majeure, chaque pays s’est dot´ e de structures ind´ ependantes - des r´ egulateurs - qui surveillent la bonne sant´ e du syst` eme financier. En France, ce rˆ ole est assur´ e par la Commission Bancaire qui s’assure, par des audits, que les banques nationales satisfont ` a la r´ eglementation bancaire. Le principe g´ en´ eral de la r´ eglementation bancaire est de requ´ erir des r´ eserves de la part des banques afin de couvrir les pertes ´ eventuelles non anticip´ ees, c’est ` a dire au del` a de la perte attendue (la perte moyenne). Le but annonc´ e est double : d’une part prot´ eger les d´ eposants, les bailleurs de fonds des banques (et ne pas r´ epercuter sur eux les pertes subies par la banque, cr´ eant un effet boule de neige), d’autre part cr´ eer des incitations suffisantes pour limiter les investissements risqu´ es. Apr` es quelques balbutiements, une concertation ` a l’´ echelle des pays de G10 a permis de parvenir ` a un consensus sur des premiers accords dits de Bˆ ale qui r´ egissent toutes les banques du G10, les soumettant ainsi ` a des r` egles communes. L’effet a ´ et´ e d’augmenter le niveau de capital d´ etenu par les banques en face de leurs engagements, s´ ecurisant un peu plus le syst` eme financier. Les premiers accords de Bˆ ale (1988) ont ´ et´ e servis par leur simplicit´ e, rendant leur impl´ ementation plus ais´ ee. Le principe est le suivant : chaque banque doit d´ etenir un montant de capital ´ egal ` a 8% du montant nominal de ses actifs. Les actifs concern´ es sont eux-mˆ eme soumis ` a une pond´ eration forfaitaire qui d´ epend uniquement du type de la contrepartie. Ainsi, pour un Etat Souverain membre de l’OCDE, la pond´ eration sera de 0%, signifiant qu’aucun capital r´ eglementaire n’est requis pour un engagement sur un pays membre de l’OCDE, par exemple la France, l’Italie, la Gr` ece Si la contrepartie est une banque d’un pays de l’OCDE, la pond´ eration est de 20% (par exemple ABN AMRO, Soci´ et´ e G´ en´ erale, etc). Pour une entreprise, la pond´ eration est de 100%. On appelle cette pond´ eration le Risk Weight (RW) et les 45

46. CHAPTER 6. GESTION DU RISQUE DE CR´EDIT D’UNE BANQUE 46 actifs pond´ er´ es les Risk Weighted Assets (RWA). On a donc : Regulatory Capital = 8%RWA Faisons un calcul simple de capital r´ eglementaire afin d’illustrer cette r` egle. La Soci´ et´ e G´ en´ erale a prˆ et´ e 100 euros. • 1er cas : la contrepartie est la Gr` ece. La pond´ eration est de 0% et le capital r´ eglementaire ` a d´ etenir est de 8% x 0% x 100 = 0 euro. • 2` eme cas : la contrepartie est la Deutsche Bank. La pond´ eration est de 20% et le capital r´ eglementaire ` a d´ etenir est de 8% x 20% x 100 = 1.6 euros. • 3` eme cas : la contrepartie est British Airways. La pond´ eration est de 100% et le capital r´ eglementaire ` a d´ etenir est de 8% x 100% x 100 = 8 euros. Les accords de Bˆ ale ont eu deux effets pervers. Premi` erement, la pond´ eration est forfaitaire et ind´ ependante du risque r´ eellement encouru. Deux entreprises l’une au bord de la faillite, l’autre en pleine sant´ e seront pond´ er´ es de la mˆ eme fa¸ con, ce qui pourrait pousser une banque peu prudente ` a prˆ eter au plus risqu´ e, ` a la recherche d’un rendement plus ´ elev´ e. De mˆ eme une banque Hong-Kongaise serait pond´ er´ ee ` a 100% alors qu’une banque europ´ eenne serait pond´ er´ ee ` a 20% fut-elle dans une situation financi` ere d´ elicate. Le deuxi` eme effet pervers est qu’une pond´ eration forfaitaire et aussi simple ne peut donner aucune incitation aux banques pour se doter de mesures de risques pr´ ecises qui leur permettent de g´ erer efficacement leurs portefeuilles d’engagements. Un premier amendement est apparu en ce sens en 1991, autorisant les banques ` a utiliser leurs mod` eles internes pour calculer leur capital r´ eglementaires suivant une m´ ethodologie VaR dont nous reparlons dans le paragraphe suivant. Enfin et tout r´ ecemment, une pond´ eration des actifs en accords avec le risque encouru a amen´ e une refonte du calcul du capital r´ eglementaire d´ esormais encadr´ e par les accords Bˆ ale II, entr´ es en application en janvier 2008, malgr´ e l’opposition de certains pays. 6.2 La mesure interne des risques Le capital r´ eglementaire a ´ et´ e jusqu’` a l’adoption des amendements de 1991 une mesure relativement sommaire. Par ailleurs, les amendements de 1991 ne concernent que les activit´ es de march´ e, et non pas celles de cr´ edit pur. Malgr´ e la sophistication r´ ecente du calcul de capital r´ eglementaire ` a travers Bˆ ale II, celui-ci ne peut convenir comme mesure de risque satisfaisante au niveau de la banque. En effet, le capital r´ eglementaire est une mesure additive. En cons´ equence, le capital r´ eglementaire ne capture pas l’effet de diversification recherch´ e par la banque pour ´ equilibrer son portefeuille et que la VaR (Value at Risk) concern´ ee par les amendements de 1991 valorise. La VaR va donc ˆ etre d´ eclin´ ee aux portefeuilles de cr´ edit comme mesure de risque interne sous le nom de Credit VaR. Au contraire des activit´ es de march´ e qui sont constamment valoris´ ee, la Credit VaR

47. 47 6.2. LA MESURE INTERNE DES RISQUES sera un quantile sur la distribution des pertes sur le portefeuille de cr´ edit et non plus un quantile sur la distribution des variations relatives de valorisation du portefeuille. Le Capital Economique, qui correspond au montant de fonds propres id´ ealement engag´ es par la banque en face de toute op´ eration, est la diff´ erence entre la Credit VaR et la perte moyenne sur le portefeuille, celle-ci ´ etant couverte par la facturation des produits vendus. ? ? ? Densité des pertes / Fonction de répartition (Portefeuille Vasicek) 18 1,2 16 1 14 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 0,8 densité 10 0,6 8 6 0,4 4 0,2 2 0 0 8% 11% 14% 17% 20% 23% 26% 29% 32% 35% 38% Perte 2% 5% Densité Cumulative Quantile Perte ? ? ? ? ? ? Figure 6.1: D´ efinition du capital ´ economique Le rˆ ole du capital ´ economique est de prot´ eger les cr´ eanciers de la banque avec un degr´ e de confiance qui est d´ etermin´ e par la direction financi` ere de la banque. En effet, que la banque veuille s’assurer un rating A, AA ou encore AAA, le niveau de capital ´ economique sera diff´ erent et correspondra ` a un fractile de perte de plus en plus proche du fractile 100%, au fur et ` a mesure que nous avancerons vers des ratings de bonne qualit´ e. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . . $ $ & & ' ' $ $ . . & & ' ' $ $ $ $ % % & & ' ' $ $ % % & & ' ' $ $ % % % % ! ! " " # # " " ! ! ( ( ) ) ( ( * * + + # # - - ( ( / / 0 0 ! ! - - " " ) ) ! ! - - 0 0 ! ! " " # # " " ! ! ( ( ) ) ( ( * * + + , , 4 # 4 # - - ( ( / / 0 0 ! ! - - " " ) ) ! ! - - 0 0 , 2 , 2 1 1 2 2 2 2 4 4 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 " " ) ) 0 0 0 0 ! ! " " 0 0 " " ) ) 0 0 0 0 ! ! " " 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 Figure 6.2: Le capital ´ economique prot` ege les cranciers dans 99.9% des cas Bien que la VaR ne soit pas une mesure sous additive, la mesure de risque Capital Economique va b´ en´ eficier de l’effet diversification du portefeuille de la banque. Cette propri´ et´ e notamment implique un probl` eme d’allocation de capital ´ economique, ou de contribution dont nous reparlons dans le paragraphe d´ edi´ e aux contributions et aux mesures de performance. On observera cependant l’int´ erˆ et de diversifier le portefeuille bancaire dans les dimensions g´ eographiques, industrielles et, plus marginalement, temporelles. Le graphe suivant illustre l’effet diversification qui peut intervenir sur le calcul du capital ´ economique au niveau du portefeuille. Sur ce graphe sont repr´ esent´ es -pour diff´ erents poids du portefeuille 1- le capital ´ economique au niveau du portefeuille global compos´ e des deux sous-portefeuilles P1 et P2, ainsi

48. CHAPTER 6. GESTION DU RISQUE DE CR´EDIT D’UNE BANQUE 48 que EC1 + EC2, la somme des deux capitaux ´ economiques qui seraient calcul´ es sur chacun des deux portefeuilles s´ epar´ ement. Notons que la courbe EC1+EC2 (une droite !) illustre parfaitement le calcul du capital r´ eglementaire sur un ensemble de sous portefeuille. Une bonne r` egle de gestion du portefeuille consistera donc ` a rechercher la r´ epartition qui minimise le capital ´ economique au niveau du portefeuille P1 ∪ P2. Les mesures de performance dont nous reparlons ci-apr` es fournissent une incitation suffisante ` a cela. Effet Diversification 0,09 0,08 0,07 EC Total EC 0,06 EC1 + EC2 0,05 0,04 0,03 0% 20% 40% 60% 80% 100% Part Portefeuille 1 Figure 6.3: Effet diversifiant dans un portefeuille compos´ e de deux sous-portefeuilles Le capital disponible va guider le montant des investissements possibles pour la banque. On va donc al- louer ` a chaque ligne m´ etier un certain montant de capital qui lui donnera des limites quant aux op´ erations qu’elle peut traiter. Or, nous l’avons vu, l’effet de diversification nous am` ene ` a nous poser la question de la contribution. En effet, dans notre exemple pr´ ec´ edent, le capital ´ economique au niveau du portefeuille est inf´ erieur ` a la somme des capitaux ´ economiques de chaque sous portefeuille. On va donc rechercher une r` egle de contribution telle que : X Capital Economique (Portefeuille) = Contribution Sous-Portefeuille Sous-Portefeuilles Nous pr´ esentons trois r` egles de r´ epartitions possibles : • La contribution incr´ ementale : cette r` egle permet de d´ efinir la contribution de toute nouvelle op´ eration sur le portefeuille d’engagement de la banque. Cette contribution se d´ efinit comme : Contribution(Op´ eration)=Cap Eco (Portefeuille + Op´ eration) - Cap Eco(Portefeuille) • La contribution marginale en covariance : la r´ epartition se fait proportionnellement ` a la covariance entre les pertes sur l’op´ eration et les pertes sur le portefeuille. Contribution(Op´ eration) =cov(Li,L) Cap Eco (Portefeuille) var(L) • La contribution au quantile : quand la banque fait d´ efaut, combien ai-je perdu sur mon op´ eration, en esp´ erance ? La r´ epartition au quantile est la perte moyenne sur l’op´ eration conditionnellement

49. 49 6.2. LA MESURE INTERNE DES RISQUES au fait que la perte sur le portefeuille est ´ egale ` a la perte au quantile choisi (soit perte moyenne + capital ´ economique), ce qui se traduit ainsi lorsque le capital ´ economique est calcul´ e sur la base d’un quantile de perte ` a 99.9% : Contribution(Op´ eration) = E[Li|LPortefeuille= Perte au quantile 99.9%] − E[Li] La Credit VaR n’est pas une mesure de risque additive. Il est possible de construire un exemple - certainement non-r´ ealiste ! - pour lequel la Credit VaR sur un ensemble de deux sous portefeuilles sera sup´ erieure ` a la somme des Credit VaR sur chacun des deux sous-portefeuilles. Par ailleurs, la Credit VaR ne donne que peu d’information sur la forme de la queue de distribution des pertes sur le portefeuille et ces deux consid´ erations successives motivent la recherche d’une mesure de risque additive qui apporte un surplus d’information sur les risques extrˆ emes. Un candidat id´ eal est la Tail VaR (ou Expected Shortfall - ES) qui est la moyenne des pertes au del` a de la Credit VaR : ESα= E[L|L ≥ Credit VaR(α)] et int` egre comme nous pouvons le voir ci-dessous une information suppl´ ementaire sur la forme de la queue de distribution par rapport ` a la Credit VaR. Densité des pertes / Fonction de répartition (Portefeuille Vasicek) 16 16 14 14 12 12 10 10 densité 8 8 6 6 4 4 2 2 0 0 11% 14% 17% 23% 26% 29% 35% 38% 2% 5% 8% 20% 32% Perte Densité ES Perte Figure 6.4: L’expected Shortfall se d´ efinit comme une perte moyenne au dessus d’un quantile pr´ e-d´ efini Le capital ´ economique est alors la diff´ erence entre la Tail VaR et la perte moyenne, soit : Cap Eco = Expected Shortfall - Perte Moyenne et on pourra adapter les r` egles de contribution vu pr´ ec´ edemment au cas du calcul du capital ´ economique en Expected Shortfall. Le choix d’une r` egle de contribution est un enjeu majeur pour une banque. Il d´ etermine en effet la rentabilit´ e d’une ligne m´ etier et influe donc sur l’allocation strat´ egique des ressources de la banque d´ ecid´ ee par la direction financi` ere.

50. CHAPTER 6. GESTION DU RISQUE DE CR´EDIT D’UNE BANQUE 50 6.3 Les mesures de performance Une mesure de performance va permettre de r´ econcilier risque et profit et de comparer, sur une base commune, plusieurs portefeuilles ayant des caract´ eristiques diff´ erentes. int´ egrera donc : Une mesure de performance • les revenus attendus • les pertes attendues • la mesure de risque de l’op´ eration • ´ eventuellement le coˆ ut de r´ etribution des fonds propres La mesure de risque choisie peutˆ etre r´ eglementaire (le capital r´ eglementaire) ou interne (capital´ economique). Les mesures de performances sont le ROE (Return On Equity), le RAROC (Risk-Adjusted Return on Capital) et l’EVA (Economic Value Added). Dans chaque cas, elle doit relier des fonds mobilis´ es pour couvrir des pertes (le ”capital”) et les revenus esp´ er´ es. L’une des mesures de performance les plus populaires est le RAROC (Risk Adjusted Return On Capital). Le RAROC se d´ efinit comme un rendement sur fonds propres et son expression est la suivante : RAROC =Revenus - Perte moyenne Capital ´ economique Le capital est le capital ´ economique requis par l’op´ eration, c’est ` a dire la contribution de l’op´ eration au capital ´ economique total requis au niveau de la banque. Le RAROC, est une mesure interne de la perfor- mance qui va permettre de s´ electionner les meilleurs projets. Deux remarques s’imposent. Premi` erement, le niveau de capital retenu peut ˆ etre le capital r´ eglementaire qui sera exig´ e par le r´ egulateur, surtout si celui-ci s’av` ere plus ´ elev´ e que le capital ´ economique de l’op´ eration. Deuxi` emement, on voit ici l’importance d’une r` egle d’attribution ”juste”. En effet, une r´ epartition en covariance pourrait par exemple p´ enaliser des op´ erations dont le capital ´ economique requis (par une r` egle de r´ epartition en covariance) serait sup´ erieur au capital ´ economique requis par une r` egle de r´ epartition au quantile, p´ enalisant de fait la ligne m´ etier impliqu´ ee dans l’op´ eration. Une seconde cons´ equence serait une mauvaise orientation de la banque dans ses choix d’investissement si celle-ci avait pour objectif de maximiser son RAROC au niveau global. Le RAROC s’exprime comme un rendement sur les fonds propres engag´ es par la banque dans l’op´ eration. Il se veut donc une mesure de performance au service des actionnaires. Dans les revenus, on pourra inclure les revenus g´ en´ er´ es par l’op´ eration auxquel on retranche les coˆ uts sous-jacents (r´ etribution des interm´ ediaires financiers, etc). On devra donc, pour respecter le principe de mesure au service des actionnaires, retrancher aux revenus le coˆ ut de la dette. Celui-ci, en g´ en´ eral, est faible pour une banque bien not´ ee et sera omis de la formulation du RAROC. Le coˆ ut de r´ emun´ eration des fonds propres est, en revanche, beaucoup plus ´ elev´ e. Il compense en effet un risque plus important (dans le cas d’un capital ´ economique ` a 99.9%, les fonds propres doivent couvrir les