・与えられた行列 A を以下の行列に分解すること 下三角行列（ Lower triangular matrix ） 上三角行列（ Upper triangular matrix ）

1. ２．３　三角分解（ＬＵ分解）とＱＲ分解 （１）　ＬＵ分解 ・与えられた行列 A を以下の行列に分解すること 　　下三角行列（Lower triangular matrix） 　　上三角行列（Upper triangular matrix ） ・もっとも単純な方法としてクラウト法がある

2. クラウト法の計算 簡単な例題

3. クラウト法の計算 手計算すると…

4. クラウト法の計算 ①次のように記述することができる Ｎ次元のときの方法 　ここで，下三角行列の対角成分を１にする方法，上三角行列の対角成分を１にする方法の２つが考えられる。 　ここでは，下三角行列の対角成分を１にする。すなわち

5. 考え方 ②右辺を計算することによって したがって，対角成分については， その他の成分については

6. ＶＢでプログラムを作る（１） ①シートの定義（なおＬ＊Ｕを計算する部分を用意しておく）

7. ③結果設定部分と ボタンのClickイベントハンドラ Private A(3, 3) As Double Private L(3, 3) As Double Private U(3, 3) As Double Sub データ設定() With Worksheets("Sheet1") For i = 1 To 3 For j = 1 To 3 A(i, j) = .Cells(i + 1, j + 1) Next Next End With End Sub Sub 結果設定(L, U) With Worksheets("Sheet1") For i = 1 To 3 For j = 1 To 3 .Cells(i + 1, j + 6) = L(i, j) .Cells(i + 1, j + 11) = U(i, j) Next Next End With End Sub Sub ボタン1_Click() データ設定 LU分解 A, L, U, 3 結果設定 L, U End Sub ②データの設定部分

8. ＶＢでプログラムを作る（３） Sub LU分解(A, L, U, N) For i = 1 To N For j = 1 To N L(i, j) = 0 U(i, j) = 0 Next Next L(1, 1) = 1 For j = 1 To N U(1, j) = A(1, j) Next For i = 2 To N U(i, 1) = 0 L(1, i) = 0 L(i, 1) = A(i, 1) / U(1, 1) Next For i = 2 To N L(i, i) = 1 T = A(i, i) For k = 1 To i T = T - L(i, k) * U(k, i) Next U(i, i) = T For j = i + 1 To N U(j, i) = 0: L(i, j) = 0 T = A(j, i) For k = 1 To i T = T - L(j, k) * U(k, i) Next L(j, i) = T / U(i, i) T = A(i, j) For k = 1 To i T = T - L(i, k) * U(k, j) Next U(i, j) = T Next Next End Sub ⑤LU分解処理

9. 結果

10. （２）　ＱＲ分解 ・与えられた行列 A を以下の行列に分解すること。 　　直交行列（Orthogonal matrix） 　　右三角行列（Ｒｉｇｈｔ triangular matrix ）＝上三角行列 を正規直交系とし，列ベクトルとして並べる。 ・もっとも基本的な方法としてグラムシュミット（Gram Schmidt）の直交化法がある

11. グラムシュミットの直交化法 簡単な例題（１） ・行列AとQRの第1列の関係から

12. グラムシュミットの直交化法 ・行列AとQRの第２列の関係から 簡単な例題（２）

13. グラムシュミットの直交化法 ・行列AとQRの第３列の関係から 簡単な例題（３）

15. グラムシュミットの直交化法 簡単な例題（４） ・行列AとQRの第３列の関係から

16. グラムシュミットの直交化法 ・最終的には

17. グラムシュミットの直交化法 ・行列Aをｎ個の列ベクトルに分ける 考え方（１） ・次のように表現できる。

18. グラムシュミットの直交化法 したがって 考え方（２） さらに であるから

19. 一方， は正規直交系であるから のとき のとき から （ の項だけが残る） を計算し， 対角項は として求める

20. グラムシュミットの直交化法 プログラム上は というベクトルを考え， 考え方（３） に対して 非対角項は 対角項は なお，対角項の計算の第2項を計算する際，k = 1であれば j = 1 ～ 0 となり，ループが実行されないので k = 1 と k ≧ 2 の処理を共通化できる

21. ＶＢでプログラムを作る（１） ①シートの定義（なおＱ＊Ｒを計算する部分を用意しておく）

22. ③結果設定部分と 　　ボタン１のClickイベントハンドラ Private A(3, 3) As Double Private Q(3, 3) As Double Private R(3, 3) As Double Sub データ設定() With Worksheets("Sheet1") For i = 1 To 3 For j = 1 To 3 A(i, j) = .Cells(i + 1, j + 1) Next Next End With For i = 1 To 3 For j = 1 To 3 Q(i, j) = 0 R(i, j) = 0 Next Next End Sub Sub 結果設定(Q, R) With Worksheets("Sheet1") For i = 1 To 3 For j = 1 To 3 .Cells(i + 1, j + 6) = Q(i, j) .Cells(i + 1, j + 11) = R(i, j) Next Next End With End Sub Sub ボタン1_Click() データ設定 QR分解 A, Q, R, 3 結果設定 Q, R End Sub ②データの設定部分

23. ＶＢでプログラムを作る（３） Sub QR分解(A, Q, R, N) Dim X() ReDim X(N) For k = 1 To N For i = 1 To N X(i) = A(i, k) Next For j = 1 To k - 1 Rjk = 0 For i = 1 To N Rjk = Rjk + A(i, k) * Q(i, j) Next R(j, k) = Rjk R(k, j) = 0 For i = 1 To N X(i) = X(i) - Rjk * Q(i, j) Next Next T = 0 For i = 1 To N T = T + X(i) * X(i) Next R(k, k) = Sqr(T) For j = 1 To N Q(j, k) = X(j) / R(k, k) Next Next End Sub ⑤LU分解処理

24. 結果